Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tổng hợp khảo sát toàn diện và vẽ đồ thị hàm bậc ba, bậc bốn trùng phương và hàm phân thức. Nhận dạng đồ thị qua hình vẽ và ứng dụng tìm số nghiệm phương trình.
Lý thuyết
1. Sơ đồ khảo sát hàm số (5 bước)
- TXĐ: Tìm tập xác định.
- Sự biến thiên: Tính $y'$, giải $y'=0$, xét dấu $y'$, tìm cực trị, tính giới hạn/tiệm cận, lập bảng biến thiên.
- Điểm đặc biệt: Giao $Oy$ (cho $x=0$), giao $Ox$ (giải $y=0$).
- Vẽ đồ thị: Vẽ tiệm cận (nét đứt), đánh dấu cực trị, vẽ đường cong trơn theo bảng biến thiên.
- Kết luận: Ghi nhận tính chất (đồng biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận).
2. Hàm bậc ba: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$
Tính chất
- TXĐ: $\mathbb{R}$
- $y'$: $3ax^2+2bx+c$ (bậc 2)
- Cực trị: Nếu $\Delta'>0$: có 2 cực trị; $\Delta'\leq0$: không có cực trị
- Giới hạn: $a>0$: $-\infty\to+\infty$; $a<0$: $+\infty\to-\infty$
- Đồ thị: Dạng chữ S, đối xứng qua điểm uốn
Hình 1: $a>0$, có 2 cực trị
• Nhánh $x\to+\infty$ đi lên → $a>0$; đi xuống → $a<0$.
• Có 1 đỉnh CĐ + 1 đáy CT → hàm bậc 3 có 2 cực trị.
• Không có CĐ, CT → $\Delta'\leq0$, hàm đơn điệu.
3. Hàm bậc bốn trùng phương: $y = ax^4 + bx^2 + c$
Tính chất
- TXĐ: $\mathbb{R}$; Hàm chẵn → đối xứng qua $Oy$
- $y'$: $4ax^3+2bx=2x(2ax^2+b)$
- Cực trị tại $x=0$ luôn xảy ra
- $ab<0$: có thêm $x=\pm\sqrt{-\frac{b}{2a}}$ → 3 cực trị
- $ab\geq0$: chỉ 1 cực trị tại $x=0$
Hình 2: $a>0,ab>0$ – dạng chữ U
4. Hàm phân thức bậc 1/bậc 1: $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$
Tính chất nhanh
- TXĐ: $\mathbb{R}\setminus\{-d/c\}$
- $y'$: $\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ — không đổi dấu → không có cực trị
- TCĐ: $x=-d/c$; TCN: $y=a/c$
- Tâm đối xứng: $I(-d/c;\ a/c)$
- $ad-bc>0$: đồng biến; $ad-bc<0$: nghịch biến (trên mỗi nhánh)
Hình 3: $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, 2 nhánh hyperbola
• Có 2 nhánh, không cắt nhau → phân thức bậc 1/bậc 1.
• Tiệm cận đứng phải → $-d/c>0$ → $c,d$ trái dấu.
• Tiệm cận ngang trên $Ox$ → $a/c>0$ → $a,c$ cùng dấu.
5. Ứng dụng: Số nghiệm phương trình $f(x) = m$
Phương pháp
Số nghiệm của $f(x)=m$ bằng số giao điểm của đồ thị $y=f(x)$ với đường thẳng $y=m$ (nằm ngang).
- Nếu $m$ nằm giữa cực tiểu và cực đại → 3 nghiệm (hàm bậc 3 có 2 cực trị).
- Nếu $m=y_{CT}$ hoặc $m=y_{CĐ}$ → 2 nghiệm.
- Nếu $m>y_{CĐ}$ hoặc $m
Các dạng bài tập
Dạng 1: Dạng 1: Khảo sát hàm bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$
Phương pháp giải:
- TXĐ: $\mathbb{R}$.
- $y'=3ax^2+2bx+c$; giải $y'=0$, lập bảng biến thiên.
- Tìm $y_{CĐ}$, $y_{CT}$ bằng cách thay $x$ vào $y$.
- Giao $Oy$: $(0;d)$; giao $Ox$: giải $y=0$.
- Vẽ đồ thị dạng chữ S.
Ví dụ:
1. TXĐ: $\mathbb{R}$.
2. Biến thiên: $y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)=0 \Leftrightarrow x=\pm1$.
$\lim_{x\to-\infty}y=-\infty$; $\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$.
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $+\infty$ | |
| $y'$ | + | 0 | − | 0 | + |
| $y$ | $-\infty$↗ | 4 | ↘ | 0 | ↗$+\infty$ |
CĐ tại $(-1;4)$; CT tại $(1;0)$.
3. Điểm đặc biệt: Giao $Oy$: $(0;2)$. Giao $Ox$: $y=0 \Rightarrow (x-1)^2(x+2)=0 \Rightarrow x=1$ hoặc $x=-2$.
1. TXĐ: $\mathbb{R}$.
2. Biến thiên: $y'=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$.
$\lim_{x\to-\infty}y=+\infty$; $\lim_{x\to+\infty}y=-\infty$ (vì $a=-1<0$).
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $2$ | $+\infty$ | |
| $y'$ | − | 0 | + | 0 | − |
| $y$ | $+\infty$↘ | 0 | ↗ | 4 | ↘$-\infty$ |
CT tại $(0;0)$; CĐ tại $(2;4)$. Giao $Ox$: $x=0$ hoặc $x=3$.
Dạng 2: Dạng 2: Khảo sát hàm bậc bốn trùng phương $y=ax^4+bx^2+c$
Phương pháp giải:
- TXĐ: $\mathbb{R}$; hàm chẵn → xét $x\geq0$ rồi đối xứng.
- $y'=4ax^3+2bx=2x(2ax^2+b)$.
- Xét dấu tích $ab$: $ab<0$ → 3 cực trị; $ab\geq0$ → 1 cực trị.
- Vẽ đồ thị chữ U (nếu $a>0$) hoặc chữ M, W tương ứng.
Ví dụ:
1. TXĐ: $\mathbb{R}$; hàm chẵn, đối xứng $Oy$.
2. Biến thiên: $y'=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)=0 \Leftrightarrow x\in\{-1;0;1\}$.
$ab=(1)(-2)=-2<0$ → có 3 cực trị. $a=1>0$ → $\lim_{x\to\pm\infty}y=+\infty$.
$y(-1)=0$ (CT); $y(0)=1$ (CĐ); $y(1)=0$ (CT). Đồ thị dạng chữ W.
Dạng 3: Dạng 3: Khảo sát hàm phân thức $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$
Phương pháp giải:
- TXĐ: $\mathbb{R}\setminus\{-d/c\}$.
- $y'=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$: không có nghiệm → không có cực trị.
- TCĐ: $x=-d/c$; TCN: $y=a/c$; tâm đối xứng $I(-d/c;\ a/c)$.
- Giao trục tọa độ, vẽ 2 nhánh hyperbola.
Ví dụ:
1. TXĐ: $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
2. Biến thiên: $y'=\frac{2\cdot(-1)-1\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{-3}{(x-1)^2}<0$, $\forall x\neq1$. Hàm nghịch biến trên mỗi nhánh.
Tiệm cận: TCĐ: $x=1$; TCN: $y=2$. Tâm $I(1;2)$.
3. Giao trục: $Oy$: $(0;-1)$; $Ox$: $-1/2;0$.
Dạng 4: Dạng 4: Đọc đồ thị – Tìm số nghiệm phương trình $f(x)=m$
Phương pháp giải:
Số nghiệm của $f(x)=m$ = số giao điểm của $y=f(x)$ và đường thẳng $y=m$.
- Xác định $y_{CĐ}$ và $y_{CT}$ từ bảng biến thiên hoặc đồ thị.
- So sánh $m$ với $y_{CĐ}$, $y_{CT}$.
- Kết luận số nghiệm.
Ví dụ:
$f'(x)=3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm1$. $f(-1)=3$ (CĐ); $f(1)=-1$ (CT).
Để 3 nghiệm: $y_{CT}