Bài 14. Phương trình mặt phẳng
Nắm vững cách viết phương trình mặt phẳng, các trường hợp đặc biệt, vị trí tương đối và công thức tính khoảng cách.
Lý thuyết mặt phẳng
1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương
Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ có giá vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ được gọi là vectơ pháp tuyến (VPT) của $(\alpha)$.
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Mặt phẳng đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có VPT $\vec{n} = (A; B; C)$ có phương trình:
$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$
Khai triển: $Ax + By + Cz + D = 0$ (với $D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0$).
Các trường hợp đặc biệt:
| Đặc điểm mặt phẳng | Dạng phương trình |
|---|---|
| Đi qua gốc tọa độ $O$ | $Ax + By + Cz = 0$ ($D=0$) |
| Song song hoặc chứa trục $Ox$ | $By + Cz + D = 0$ ($A=0$) |
| Song song hoặc trùng mp $(Oxy)$ | $Cz + D = 0$ ($A=B=0$) |
3. Một số công thức liên quan
① Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
Nếu $(\alpha)$ cắt $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ thì phương trình là:
$$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$$
② Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ $M_0(x_0; y_0; z_0)$ đến mp $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ là:
$$d(M_0, P) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
Các dạng bài tập
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng
Phương pháp giải:
- Xác định một điểm thuộc mặt phẳng.
- Xác định 1 vectơ pháp tuyến (trực tiếp hoặc qua tích có hướng).
- Dùng công thức $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.
Ví dụ:
Trung điểm $I(1; 0; 2)$. Vectơ $\overrightarrow{AB} = (-2; -2; 2) = -2(1; 1; -1)$. Chọn VPT $\vec{n} = (1; 1; -1)$.
PT: $1(x-1) + 1(y-0) - 1(z-2) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0$.
Dạng 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Phương pháp giải:
Dựa vào hai VPT $\vec{n}_1(A_1; B_1; C_1)$ và $\vec{n}_2(A_2; B_2; C_2)$:
- Song song: $\vec{n}_1 = k\vec{n}_2$ và $D_1 \neq kD_2$.
- Cắt nhau: $\vec{n}_1$ không cùng phương $\vec{n}_2$.
- Vuông góc: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$.