🟡 Trung bình 90 phút
Bài 17. Phương trình mặt cầu
Tìm hiểu về các dạng phương trình mặt cầu, điều kiện để một phương trình là phương trình mặt cầu, vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng.
Chương: Chương 5: Phương pháp tọa độ trong không gian
Lý thuyết mặt cầu
1. Các dạng phương trình mặt cầu
① Dạng chính tắc (hoặc dạng chuẩn):
Mặt cầu tâm $I(a; b; c)$ bán kính $R$ có phương trình:
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$
② Dạng tổng quát:
$$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$$
Điều kiện để đây là phương trình mặt cầu: $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$. Khi đó tâm $I(a, b, c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu $S(I, R)$ và mặt phẳng $(P)$. Gọi $d = d(I, P)$:
- $d > R$: Mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.
- $d = R$: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại một điểm (điểm đó là hình chiếu của $I$ lên $(P)$).
- $d < R$: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu $S(I, R)$ và đường thẳng $\Delta$. Gọi $h = d(I, \Delta)$:
- $h > R$: Không có điểm chung.
- $h = R$: Tiếp xúc (đường thẳng là tiếp tuyến).
- $h < R$: Cắt tại hai điểm phân biệt. Đoạn dây cung có độ dài $L = 2\sqrt{R^2 - h^2}$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu
Phương pháp giải:
Cần tìm Tâm và Bán kính:
- Tâm là trung điểm đường kính (nếu biết đường kính).
- Bán kính là khoảng cách từ tâm đến tiếp diện (nếu tiếp xúc).
- Bán kính là khoảng cách từ tâm đến các điểm trên mặt cầu.
Ví dụ:
Viết phương trình mặt cầu đường kính $AB$ với $A(1; 2; 3), B(3; 0; 1)$.
Tâm $I$ là trung điểm $AB \Rightarrow I(2; 1; 2)$.
Vectơ $\overrightarrow{IA} = (-1; 1; 1) \Rightarrow R^2 = 3$.
PT: $(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = 3$.