Bài 11. Nguyên hàm
Nắm vững khái niệm nguyên hàm, bảng công thức, tính chất và phương pháp tìm nguyên hàm bằng biến đổi đại số. Ứng dụng nguyên hàm vào bài toán chuyển động và kinh tế.
Lý thuyết
1. Khái niệm và tính chất nguyên hàm
$F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$.
Ký hiệu: $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ ($C\in\mathbb{R}$: hằng số tích phân).
- $\left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x)$ — vi phân và tích phân là hai phép toán ngược nhau.
- $\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx$ — đưa hằng số ra ngoài.
- $\int[f(x)\pm g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$ — tuyến tính.
2. Bảng nguyên hàm và công thức mở rộng
| Hàm số $f(x)$ | Nguyên hàm $\int f(x)\,dx$ | Mở rộng $\int f(ax+b)\,dx$ |
|---|---|---|
| $x^\alpha\ (\alpha\neq-1)$ | $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$ | $\dfrac{(ax+b)^{\alpha+1}}{a(\alpha+1)}+C$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|+C$ | $\dfrac{1}{a}\ln|ax+b|+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ | $\dfrac{e^{ax+b}}{a}+C$ |
| $a^x\ (a>0,a\neq1)$ | $\dfrac{a^x}{\ln a}+C$ | $\dfrac{a^{cx}}{c\ln a}+C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+C$ | $-\dfrac{\cos(ax+b)}{a}+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ | $\dfrac{\sin(ax+b)}{a}+C$ |
| $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x+C$ | $\dfrac{\tan(ax)}{a}+C$ |
| $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ | $-\cot x+C$ | $-\dfrac{\cot(ax)}{a}+C$ |
3. Ứng dụng nguyên hàm vào thực tế
① Bài toán chuyển động
| Biết | Tìm | Phương pháp |
|---|---|---|
| Gia tốc $a(t)$ | Vận tốc $v(t)$ | $v(t)=\int a(t)\,dt+C$; dùng $v(t_0)$ tìm $C$ |
| Vận tốc $v(t)$ | Quãng đường $s(t)$ | $s(t)=\int v(t)\,dt+C$; dùng $s(t_0)$ tìm $C$ |
② Bài toán kinh tế
| Biết | Tìm | Công thức |
|---|---|---|
| Chi phí biên $C'(q)$ | Hàm chi phí $C(q)$ | $C(q)=\int C'(q)\,dq$; dùng $C(0)$ tìm hằng số |
| Doanh thu biên $R'(q)$ | Hàm doanh thu $R(q)$ | $R(q)=\int R'(q)\,dq$; thường $R(0)=0$ |
Các dạng bài tập
Dạng 1: Nguyên hàm cơ bản từ bảng công thức
Phương pháp giải:
- Khai triển biểu thức về tổng các số hạng cơ bản (nhân tung, hằng đẳng thức, chia phân thức).
- Áp dụng tính chất tuyến tính: $\int(f\pm g)=\int f\pm\int g$.
- Dùng bảng nguyên hàm và quy tắc hàm hợp tuyến tính $\int f(ax+b)=\dfrac{F(ax+b)}{a}+C$.
Ví dụ:
$=3\cdot\dfrac{x^3}{3}-2\ln|x|+5e^x+C=x^3-2\ln|x|+5e^x+C$.
$\int\cos(2x-1)\,dx=\dfrac{\sin(2x-1)}{2}+C$.
$\int e^{3x}\,dx=\dfrac{e^{3x}}{3}+C$.
Dạng 2: Nguyên hàm thỏa điều kiện cho trước
Phương pháp giải:
- Tìm họ nguyên hàm: $F(x)=G(x)+C$.
- Thay điều kiện $F(x_0)=k$ để tìm giá trị cụ thể của $C$.
- Viết kết quả hoàn chỉnh.
Ví dụ:
$F(x)=x^4-2x^3+2x+C$. $F(1)=1-2+2+C=1+C=3\Rightarrow C=2$.
Vậy $F(x)=x^4-2x^3+2x+2$.
Dạng 3: Ứng dụng nguyên hàm vào bài toán thực tế
Phương pháp giải:
- Nhận diện đại lượng cần tìm là nguyên hàm của đại lượng nào ($v=\int a\,dt$; $s=\int v\,dt$; $C=\int C'\,dq$).
- Tìm họ nguyên hàm.
- Dùng điều kiện ban đầu (tại $t=0$ hoặc $q=0$) để tìm hằng số $C$.
- Tính giá trị yêu cầu.
Ví dụ:
$v(t)=\int(6t-4)dt=3t^2-4t+C_1$. $v(0)=C_1=10\Rightarrow v(t)=3t^2-4t+10$.
$s(t)=\int(3t^2-4t+10)dt=t^3-2t^2+10t+C_2$. $s(0)=C_2=0\Rightarrow s(t)=t^3-2t^2+10t$.
$C(q)=\int(3q^2-4q+10)\,dq=q^3-2q^2+10q+C_0$. $C(0)=C_0=5$.
$C(q)=q^3-2q^2+10q+5$. $C(4)=64-32+40+5=77$ triệu đồng.