Câu hỏi:
Xét các số thực \(a,{\rm{ }}b\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{3} < b < a < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}\left( {\frac{{3b – 1}}{4}} \right) + 12\log _{\frac{b}{a}}^2a – 3.\)
A. 13.
B. \(\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}.\)
C. 9.
Đáp án chính xác
D. \(\sqrt[3]{2}.\)
Trả lời:
Đáp án C
Ta có \(\frac{{3b – 1}}{4} \le {b^3} \Leftrightarrow 4{b^3} – 3b + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {b + 1} \right)\left( {4{b^2} – 4b + 1} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {b + 1} \right){\left( {2b – 1} \right)^2} \ge 0\) luôn đúng với \(\frac{1}{3} < b < 1.\)
\( \Rightarrow {\log _a}\left( {\frac{{3b – 1}}{4}} \right) \ge {\log _a}{b^3}\) (vì \(a < 1\)) \( \Rightarrow {\log _a}\left( {\frac{{3b – 1}}{4}} \right) \ge 3{\log _a}b\).
Biến đổi \({\log _{\frac{b}{a}}}a = \frac{1}{{{{\log }_a}\frac{b}{a}}} = \frac{1}{{{{\log }_a}b – 1}}\)
\( \Rightarrow P \ge 3{\log _a}b + \frac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b – 1} \right)}^2}}} – 3 = 3\left( {{{\log }_a}b – 1} \right) + \frac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b – 1} \right)}^2}}}\).
Bài ra \(\frac{1}{3} < b < a < 1 \Rightarrow {\log _a}b > 1\).
Đặt \(t = {\log _a}b – 1 > 0 \Rightarrow P \ge 3t + \frac{{12}}{{{t^2}}} = \frac{{3t}}{2} + \frac{{3t}}{2} + \frac{{12}}{{{t^2}}} \ge 3.\sqrt {\frac{{3t}}{2}.\frac{{3t}}{2}.\frac{{12}}{{{t^2}}}} = 9\).
Dấu “=” xảy ra \(\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{2}\\\frac{{3t}}{2} = \frac{{12}}{{{t^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{2}\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{2}\\b = {a^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{2}\\a = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\end{array} \right.\).
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y – 3z + 3 = 0.\) Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
Câu hỏi:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y – 3z + 3 = 0.\) Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
A. \(\vec n = \left( {1; – 2;3} \right).\)
B. \(\vec n = \left( {1;2; – 3} \right).\)
Đáp án chính xác
C. \(\vec n = \left( { – 1;2; – 3} \right).\)
D. \(\vec n = \left( {1;2;3} \right).\)
Trả lời:
Đáp án B
Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y – 3z + 3 = 0\) có một VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; – 3} \right)\).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho a và b là hai số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Câu hỏi:
Cho a và b là hai số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. \(\ln \left( {a{b^3}} \right) = \ln a + \frac{1}{3}\ln b.\)
B. \(\ln \left( {a{b^3}} \right) = \ln a – \frac{1}{3}\ln b.\)
C. \(\ln \left( {a{b^3}} \right) = \ln a + 3\ln b.\)
Đáp án chính xác
D. \(\ln \left( {a{b^3}} \right) = \ln a – 3\ln b.\)
Trả lời:
Đáp án C
Ta có \(\ln \left( {a{b^3}} \right) = \ln a + \ln {b^3} = \ln a + 3\ln b\).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?A. \(\left( {1;2} \right).\)
B. \(\left( { – \infty ;1} \right).\)
Đáp án chính xác
C. \(\left( {1; + \infty } \right).\)
D. \(\left( { – \infty ;5} \right).\)
Trả lời:
Đáp án B
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { – \infty ;1} \right)\).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) và \(f\left( 0 \right) = – 1;{\rm{ }}f\left( 2 \right) = 2.\) Tích phân \(\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} \) bằng
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) và \(f\left( 0 \right) = – 1;{\rm{ }}f\left( 2 \right) = 2.\) Tích phân \(\int\limits_0^2 {f’\left( x \right)dx} \) bằng
A. −1.
B. 1.
C. −3.
D. 3.
Đáp án chính xác
Trả lời:
Đáp án D
Ta có \(\int\limits_0^2 {f’\left( x \right)dx} = f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_0\end{array} \right. = f\left( 2 \right) – f\left( 0 \right) = 3\).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Tính môđun của số phức z thỏa mãn \(z\left( {1 – i} \right) + 2i = 1.\)
Câu hỏi:
Tính môđun của số phức z thỏa mãn \(z\left( {1 – i} \right) + 2i = 1.\)
A. \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)
B. \(\frac{{\sqrt {13} }}{2}.\)
C. \(\frac{{\sqrt {10} }}{2}.\)
Đáp án chính xác
D. \(\frac{{\sqrt {17} }}{2}.\)
Trả lời:
Đáp án C
Ta có \(z = \frac{{1 – 2i}}{{1 – i}} = \frac{3}{2} – \frac{1}{2}i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====