Có bao nhiêu số nguyên m≤100 để hàm số y=6sinx−8cosx+5mx đồng biến trên ℝ?

Câu hỏi:

Có bao nhiêu số nguyên $m\le 100$ để hàm số $y=6\sin x-8\cos x+5mx$ đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$?

A. 100 số

B. 99 số

Đáp án chính xác

C. 98 số

D. Đáp án khác

Trả lời:

Đáp án BXét hàm số hàm số $y=6\sin x-8\cos x+5mx$Tập xác định: $\mathrm{ℝ}$Ta có $y^{‘}=6\cos x+8\sin x+5m$Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathrm{ℝ}\iff y^{‘}\ge 0, \forall x\in ℝ\iff 5m\ge -6\cos x-8\sin x, \forall x\in ℝ\left(1\right)$Cách 1:Ta lại có:${\left(-6\cos x-8\sin x\right)}^2\le \left({\left(-6\right)}^2+{\left(-8\right)}^2\right)\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)=100, \forall x\in ℝ\iff -10\le -6\cos x-8\sin x\le 10, \forall x\in ℝ$Do đó $\left(1\right)\iff 5m\ge 10\iff m\ge 2$Kết hợp với điều kiện $m\le 100$ ta được $2\le m\le 100$Vì m là số nguyên nên có 99 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.Cách 2:Ta có: $-6\cos x-8\sin x=-10\left[\sin \left(x+\alpha \right)\right]$Mà $-1\le \sin \left(x+\alpha \right)\le 1, \forall x\in ℝ$Suy ra: $-10\le -10\left[\sin \left(x+\alpha \right)\right]\le 10, \forall x\in ℝ$Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathrm{ℝ}\iff y^{‘}\ge 0, \forall x\in ℝ\iff 5m\ge \underset{ℝ}{\max }\left(-6\cos x-8\sin x\right)$$\iff 5m\ge 10\iff m\ge 2$Kết hợp với điều kiện $m\le 100$ ta được $2\le m\le 100$Vậy có 99 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm f'x=5×2 trên R. Chọn kết luận đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm $f‘\left(x\right)=\sqrt{5}{x}^2$ trên R. Chọn kết luận đúng:

   A. Hàm số đồng biến trên R.

   Đáp án chính xác

   B. Hàm số không xác định tại x = 0.

   C. Hàm số nghịch biến trên R.

   D. Hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ và nghịch biến trên  $\left(–\infty ;0\right)$.

   Trả lời:

   Ta có: $f‘\left(x\right)=\sqrt{5}{x}^2\ge 0,\forall x\in R$ và $f‘\left(x\right)=0\iff x=0$ nên hàm số đồng biến trên R.Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số y = f (x) nghịch biến và có đạo hàm trên (-5;5). Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f (x) nghịch biến và có đạo hàm trên (-5;5). Khi đó:

   A. $f\left(3\right)>0$

   B. $f‘\left(0\right)\le 0$

   Đáp án chính xác

   C. $f‘\left(0\right)>0$

   D. $f\left(0\right)=0$

   Trả lời:

   Vì y = f(x) nghịch biến trên (-5;5) nên  $f‘\left(x\right)\le 0,\forall x\in \left(–5;5\right)$Vậy  $f‘\left(0\right)\le 0$Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:

   A. Hàm số nghịch biến trên $\left(–\infty ;2\right)$

   B. Hàm số nghịch biến trên $\left(–2;0\right)$

   C. $f\left(x\right)\ge 0,\forall x\in R$

   Đáp án chính xác

   D. Hàm số đồng biến trên $\left(0;3\right)$

   Trả lời:

   A, B sai vì hàm số chỉ nghịch biến trên các khoảng $\left(–\infty ;–2\right)$ và  (0;2)D sai vì hàm số chỉ đồng biến trên khoảng $\left(–2;0\right)$ và  $\left(2;+\infty \right)$C đúng vì giá trị thấp nhất của y trên bảng biến thiên là 0.Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

   A. $\left(–2;–1\right)$

   Đáp án chính xác

   B. $\left(–\infty ;–2\right)$

   C. $\left(0;2\right)$

   D. $\left(0;+\infty \right)$

   Trả lời:

   Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(–2;0\right)$ và  $\left(2;+\infty \right)$Mà khoảng $\left(–2;–1\right)$ nằm trong khoảng (- 2;0) nên hàm số đã cho cũng nghịch biến trên $\left(–2;–1\right)$Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục trên -∞;+∞, có bảng biến thiên như hình sau. Mệnh đề nào sau đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục trên $\left(–\infty ;+\infty \right)$, có bảng biến thiên như hình sau. Mệnh đề nào sau đây đúng?

   A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$

   B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(–\infty ;–2\right)$

   Đáp án chính xác

   C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(–\infty ;1\right)$

   D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(–1;+\infty \right)$

   Trả lời:

   Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:Hàm số đồng biến trên $\left(1;+\infty \right)$Hàm số đồng biến trên $\left(–\infty ;–1\right)$ do đó cũng đồng biến trên $\left(–\infty ;–2\right)$Trên các khoảng $\left(–\infty ;1\right)$ và $\left(–1;+\infty \right)$ hàm số không đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến)Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====