Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A (1; 1; 1), B (0; 1; 2), C (-2; 1; 4) và mặt phẳng (P): x – y + z + 2 = 0. Tìm điểm N ∈ (P) sao cho S = 2NA2 + NB2 + NC2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A (1; 1; 1), B (0; 1; 2), C (-2; 1; 4) và mặt phẳng (P): x – y + z + 2 = 0. Tìm điểm N ∈ (P) sao cho S = 2NA² + NB² + NC² đạt giá trị nhỏ nhất.

$\mathbf{A}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathrm{N}\left(–\frac{4}{3};2;\frac{4}{3}\right)$

B. N (-2; 0; 1)

$\mathbf{C}\mathbf{.} \mathrm{N}\left(–\frac{1}{2};\frac{5}{4};\frac{3}{4}\right)$

D. N (-1; 2; 1)

Đáp án chính xác

Trả lời:

Chọn D
Với mọi điểm I ta có:

Suy ra tọa độ điểm I là (0; 1; 2). 
Khi đó , do đó S nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P) (chú ý: I là điểm cố định không đổi)
Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) là: 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(0;1;3), N(10;6;0) và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z -10 = 0. Điểm I(-10; a; b) thuộc mặt phẳng (P) sao cho |IM – IN| lớn nhất. Khi đó tổng T = a + b bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(0;1;3), N(10;6;0) và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z -10 = 0. Điểm I(-10; a; b) thuộc mặt phẳng (P) sao cho |IM – IN| lớn nhất. Khi đó tổng T = a + b bằng:

   A. T = 5

   B. T = 1

   C. T = 2

   Đáp án chính xác

   D. T = 6

   Trả lời:

   Chọn C
   Ta có:
   
   Nên hai điểm M và N nằm cùng phía so với mặt phẳng (P)
   Ta luôn có: , nên |IM – IN| lớn nhất khi và chỉ khi I là giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (P).
   Đường thẳng MN có vec-tơ chỉ phương , nên phương trình đường thẳng MN là: 
   Tọa độ giao điểm I của đường thẳng MN với mặt phẳng (P) ứng với t là nghiệm phương trình:
   10t – 2(1+5t) + 2(3-3t) – 10 = 0 <=> t = -1

   Do đó I (-10; -4; 6), từ đó ta có a = -4 và b = 6, nên T = -4 + 6 = 2.
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 4z -16 = 0 và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 2 = 0. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y – 4z -16 = 0 và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 2 = 0. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là:

   A. r =$\sqrt{6}$

   B. r = 2$\sqrt{2}$

   C. r = 4

   Đáp án chính xác

   D. r = 2$\sqrt{3}$

   Trả lời:

   Chọn C
   Mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y – 4z -16 = 0 có tâm I (1; -2; 2) bán kính R = 5
   Khoảng cách từ I (1; -2; 2) đến mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 2 = 0 là 
   Mặt phẳng  cắt mặt cầu  theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là: 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0 và đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x + 2y – 2z – 4 = 0 và (β): 2x – 2y – z + 1 = 0. Đường thẳng Δ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 8 khi:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x² + y² + z² + 4x – 6y + m = 0 và đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x + 2y – 2z – 4 = 0 và (β): 2x – 2y – z + 1 = 0. Đường thẳng Δ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 8 khi:

   A. m = 12

   B. m = -12

   Đáp án chính xác

   C. m = -10

   D. m = 5

   Trả lời:

   Chọn B
   Phương trình (S): x² + y² + z² + 4x – 6y + m = 0 là phương trình mặt cầu <=> m < 13
   Khi đó (S) có tọa độ tâm I (-2;3;0) bán kính 
   Gọi M (x;y;z) là điểm bất kỳ thuộc Δ.
   Tọa độ M thỏa mãn hệ: 
   Đặt y = t ta có: 
   $\iff \left\{\begin{array}{l}x=–2+2t\\ y=–3+2t\end{array}\right.$
   => Δ có phương trình tham số: 
   Δ đi qua điểm N (-2; 0; -3) và có vectơ chỉ phương 
   
    
   Giả sử mặt cầu (S) cắt Δ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8. Gọi (C) là đường tròn lớn chứa đường thẳng Δ. Khi đó IC² = R² – AC² = 13 – m – 4² = -m – 3
   Có: $\overrightarrow{IN}=$ (0;-3;-3)
   $\left[\overrightarrow{IN}, \overrightarrow{u}\right]=\left(–3; –6; 6\right)\Rightarrow \left|\left[\overrightarrow{IN}, \overrightarrow{u}\right]\right|=9; \left|\overrightarrow{u}\right|=3d\left(I, ∆\right) = \frac{\left|\left[\overrightarrow{IN}, \overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{9}{3}=3$
   Vậy mặt cầu (S) cắt Δ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8 khi $IC = d\left(I, ∆\right)$
   <=> -m – 3 = 9 <=> m = -12

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC = a√6. Góc giữa mặt phẳng (AB'C) và mặt phẳng (BCC'B') bằng 600. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC = a√6. Góc giữa mặt phẳng (AB’C) và mặt phẳng (BCC’B’) bằng 60⁰. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’?

   $\mathbf{A}\mathbf{.}\mathbf{ }V=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$

   $\mathbf{B}\mathbf{.} V=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

   $\mathbf{C}. V=\frac{3a^3\sqrt{3}}{4}$

   $\mathbf{D}\mathbf{.}\mathbf{ }V=\frac{3a^3\sqrt{3}}{2}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   
   Vì tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC = a√6 nên AB = AC = a√3.
   Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A (0;0;0), B (0; a√3; 0), C (a√3;0;0), A’ (0;0;z) (z > 0).

   
   VTPT của (BCC’B’) là:
   $\overrightarrow{n_1}=\frac{1}{za\sqrt{3}}\left[\overrightarrow{CB};\overrightarrow{BB‘}\right]=\frac{1}{za\sqrt{3}}\left(za\sqrt{3}; za\sqrt{3}; 0\right)=\left(1;1;0\right)$
   
    VTPT của mặt phẳng (B’AC) là:
   
   Vì góc giữa mặt phẳng (BCC’B’) và mặt phẳng (B’AC)  bằng $60°$  nên:
   
   Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (0; -2; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 3 = 0. Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là 2π. Viết phương trình mặt cầu (S).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (0; -2; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 3 = 0. Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là 2π. Viết phương trình mặt cầu (S).

   A.$( S ) : x^2+{(y+1)}^2+{(z+1)}^2=3$

   B. $\left(S\right) : x^2+{(y+2)}^2+{(z+1)}^2=1$

   C . $\left(S\right) : x^2+{(y+2)}^2+{(z–1)}^2=3$

   Đáp án chính xác

   D. $\left(S\right) : x^2+{(y+2)}^2+{(z+1)}^2=2$

   Trả lời:

   Chọn C
   Ta có h = d(I, (P)) = 1 
   Gọi (C) là đường tròn giao tuyến có bán kính r.
   Vì S = r².π = 2π <=> r = √2
   Mà R² = r² + h² = 3 => R = √3
   Vậy phương trình mặt cầu tâm I (0; -2; 1) và bán kính R = √3 là
   $x^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z–1\right)}^2=3$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====