Cho số phức z1 thỏa mãn z1−22−z1+12=1 và số phức z2 thỏa mãn z2−4−i=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của z1−z2

Câu hỏi:

Cho số phức $z_1$ thỏa mãn ${\left|z_1-2\right|}^2-{\left|z_1+1\right|}^2=1$ và số phức $z_2$ thỏa mãn $\left|z_2-4-i\right|=\sqrt{5}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|z_1-z_2\right|$

A.$\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

B.$\sqrt{5}.$

C.$2\sqrt{5}.$

D.$\frac{3\sqrt{5}}{5}.$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án DGọi  $M\left(x;y\right)$ là điểm biểu diễn số phức $z_1$ . Khi đó ${\left|z_1-2\right|}^2-{\left|z_1+i\right|}^2=1$$\begin{array}{l}\iff {\left(x-2\right)}^2+y^2-x^2-{\left(y+1\right)}^2=1\\ \iff -4x-2y+2=0\\ \iff 2x+y-1=0\end{array}$Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức $z_1$  là đường thẳng $\Delta :2x+y-1=0$ .Gọi $N\left(a;b\right)$  là điểm biểu diễn số phức $z_2$  . Khi đó $\left|z_2-4-i\right|=\sqrt{5}$$\iff {\left(a-4\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2=5$Suy ra tâp hợp các điểm N biểu diễn số phức  $z_2$ là đường tròn $\left(C\right):{\left(x-4\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5$  có tâm  $I\left(4;1\right)$, bán kính $R=\sqrt{5}$ .Nhận thấy  $d\left(I;\Delta \right)=\frac{\left|2.4+1-1\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}$$=\frac{8\sqrt{5}}{5}>\sqrt{5}=R$ nên đường thẳng $\Delta$  và đường tròn (C)  không cắt nhau. Lại có $\left|z_1-z_2\right|=\left|\left(x-a\right)+\left(y-b\right)i\right|$$=\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2}=MN$ . Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{N}_{\min }\iff MN=d\left(I;\Delta \right)-R$  . Vậy ${\left|z_1-z_2\right|}_{\min }=\frac{8\sqrt{5}}{5}-\sqrt{5}$$=\frac{3\sqrt{5}}{5}$  .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số nào sau đây đồng biến trên R

   A.$y=x^3-3x+1.$

   B.$y=3x^3+2x.$

   Đáp án chính xác

   C.$y=x^2+2.$

   D.$y=2x^4+x^2.$

   Trả lời:

   Đáp án B
   Các hàm số đã cho đều có tập xác định là $D=ℝ$ .
   Với phương án A: $y^{‘}=3x^2-3;y^{‘}=0$$\iff x=\pm 1$Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  $\left(-\infty ;-1\right)$và $\left(1;+\infty \right)$ . Loại A.
   Với phương án B:  $y^{‘}=9x^2+2>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$nên hàm số đồng biến trên R  . Chọn B. 
   Với phương án C: $y^{‘}=2x;y^{‘}=0\iff x=0$  . Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$  . Loại C.
   Với phương án D: $y^{‘}=8x^3+2x=2x\left(4x^2+1\right);$$y^{‘}=0\iff x=0$ . Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$  . Loại D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Đồ thị hàm số y=2x−1x+2 có các đường tiệm cận là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$ có các đường tiệm cận là

   A.$y=-2;x=-2.$

   B.$y=2;x=-2.$

   Đáp án chính xác

   C.$y=-2;x=2.$

   D.$y=2;x=2.$

   Trả lời:

   Đáp án BĐồ thị hàm số có tiệm cận ngang là  y=2 và đường tiệm cận đứng là x=-2  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giá trị cực đại của hàm số y=x3−3x−2 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị cực đại của hàm số $y=x^3-3x-2$ là

   A. 0.

   Đáp án chính xác

   B. 1

   C. -1

   D. 2

   Trả lời:

   Đáp án AĐạo hàm $y^{‘}=3x^2-3;y^{‘}=0$$\iff x=\pm 1$  . Ta có bảng biến thiên sau đây:Quan sát bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=-1\to y_{CĐ}=0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

   A.$y=-x^3-3x+1.$

   B.$y=-x^3+3x-1.$

   C.$y=x^3+3x+1.$

   D.$y=x^3-3x+1.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DQuan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị là của hàm số bậc ba và có dạng chữ N nên hệ số a>0. Loại A, BMặt khác, đồ thị có hai điểm cực trị nên loại C. Do ${y^{‘}}_{\left(C\right)}=3x^2+3>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$ nên hàm số   $y=x^3+3x+1$ đồng biến trên R   và không có cực trị.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tập nghiệm của bất phương trình log3x≤log132x là nửa khoảng a;b. Giá trị của a2+b2 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{3}x\le {\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x\right)$ là nửa khoảng $\left(a;b\right]$. Giá trị của $a^2+b^2$ là

   A. 1

   B. 4

   C.$\frac{1}{2}.$

   Đáp án chính xác

   D. 8

   Trả lời:

   Đáp án CTa có $\begin{array}{l}{\log }_{3}x\le {\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x\right)\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{3}x\le -{\log }_3\left(2x\right)\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{3}x+{\log }_3\left(2x\right)\le 0\end{array}\right.\end{array}$$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_3\left(2x^2\right)\le 0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ 2x^2\le 1\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\le x\le \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.\\ \iff 0<x\le \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\begin{array}{l}\left(0;\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\to a=\mathrm{0,}b=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \to a^2+b^2=\frac{1}{2}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====