Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;3;0,B0;−2;0,M65;−2;2 và đường thẳng d:x=ty=0z=2−t. Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất thì độ dài CM bằng

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left(2;3;0\right),B\left(0;-\sqrt{2};0\right),$$M\left(\frac{6}{5};-\sqrt{2};2\right)$ và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=2-t\end{array}\right.$. Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất thì độ dài CM bằng

A.$2\sqrt{3}.$

B.4

C.2

Đáp án chính xác

D.$\frac{2\sqrt{6}}{5}.$

Trả lời:

Đáp án CDo AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi tổng $\left(AC+BC\right)$  nhỏ nhất.Do$\begin{array}{l}C\in d\Rightarrow C\left(t;0;2-t\right)\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AC=\sqrt{2{\left(t-2\right)}^2+9}\\ BC=\sqrt{t^2+{\left(2-t\right)}^2+2}\\ =\sqrt{2{\left(1-t\right)}^2+4}\end{array}\right.\end{array}$ Suy ra $AC+BC$$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}t-2\sqrt{2}\right)}^2+9}$$+\sqrt{{\left(\sqrt{2}-\sqrt{2}t\right)}^2+4}$  .Đặt  $\overrightarrow{u}=\left(\sqrt{2}t-2\sqrt{2};3\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{2}t;2\right)$ . Áp dụng bất đẳng thức $\left|\overrightarrow{u}\right|+\left|\overrightarrow{v}\right|\ge \left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|$  , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$  cùng hướng ta được:$\sqrt{{\left(\sqrt{2}t-2\sqrt{2}\right)}^2+9}$$+\sqrt{{\left(\sqrt{2}-\sqrt{2}t\right)}^2+4}\ge$$\sqrt{{\left(-\sqrt{2}\right)}^2+5^2}=\sqrt{27}$Dấu “=” xảy ra $\iff \frac{\sqrt{2}t-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{2}t}=\frac{3}{2}$$\iff \frac{t-2}{1-t}=\frac{3}{2}\iff t=\frac{7}{5}$ . Suy ra $C\left(\frac{7}{5};0;\frac{3}{5}\right)$ .Vậy$CM=\sqrt{{\left(\frac{7}{5}-\frac{6}{5}\right)}^2+{\left(0+\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}-2\right)}^2}=2$  

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số nào sau đây đồng biến trên R

   A.$y=x^3-3x+1.$

   B.$y=3x^3+2x.$

   Đáp án chính xác

   C.$y=x^2+2.$

   D.$y=2x^4+x^2.$

   Trả lời:

   Đáp án B
   Các hàm số đã cho đều có tập xác định là $D=ℝ$ .
   Với phương án A: $y^{‘}=3x^2-3;y^{‘}=0$$\iff x=\pm 1$Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  $\left(-\infty ;-1\right)$và $\left(1;+\infty \right)$ . Loại A.
   Với phương án B:  $y^{‘}=9x^2+2>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$nên hàm số đồng biến trên R  . Chọn B. 
   Với phương án C: $y^{‘}=2x;y^{‘}=0\iff x=0$  . Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$  . Loại C.
   Với phương án D: $y^{‘}=8x^3+2x=2x\left(4x^2+1\right);$$y^{‘}=0\iff x=0$ . Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$  . Loại D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Đồ thị hàm số y=2x−1x+2 có các đường tiệm cận là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$ có các đường tiệm cận là

   A.$y=-2;x=-2.$

   B.$y=2;x=-2.$

   Đáp án chính xác

   C.$y=-2;x=2.$

   D.$y=2;x=2.$

   Trả lời:

   Đáp án BĐồ thị hàm số có tiệm cận ngang là  y=2 và đường tiệm cận đứng là x=-2  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giá trị cực đại của hàm số y=x3−3x−2 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị cực đại của hàm số $y=x^3-3x-2$ là

   A. 0.

   Đáp án chính xác

   B. 1

   C. -1

   D. 2

   Trả lời:

   Đáp án AĐạo hàm $y^{‘}=3x^2-3;y^{‘}=0$$\iff x=\pm 1$  . Ta có bảng biến thiên sau đây:Quan sát bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=-1\to y_{CĐ}=0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

   A.$y=-x^3-3x+1.$

   B.$y=-x^3+3x-1.$

   C.$y=x^3+3x+1.$

   D.$y=x^3-3x+1.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DQuan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị là của hàm số bậc ba và có dạng chữ N nên hệ số a>0. Loại A, BMặt khác, đồ thị có hai điểm cực trị nên loại C. Do ${y^{‘}}_{\left(C\right)}=3x^2+3>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$ nên hàm số   $y=x^3+3x+1$ đồng biến trên R   và không có cực trị.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tập nghiệm của bất phương trình log3x≤log132x là nửa khoảng a;b. Giá trị của a2+b2 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{3}x\le {\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x\right)$ là nửa khoảng $\left(a;b\right]$. Giá trị của $a^2+b^2$ là

   A. 1

   B. 4

   C.$\frac{1}{2}.$

   Đáp án chính xác

   D. 8

   Trả lời:

   Đáp án CTa có $\begin{array}{l}{\log }_{3}x\le {\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x\right)\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{3}x\le -{\log }_3\left(2x\right)\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{3}x+{\log }_3\left(2x\right)\le 0\end{array}\right.\end{array}$$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_3\left(2x^2\right)\le 0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ 2x^2\le 1\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\le x\le \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.\\ \iff 0<x\le \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\begin{array}{l}\left(0;\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\to a=\mathrm{0,}b=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \to a^2+b^2=\frac{1}{2}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====