Cho hàm số f(x)=2020x−2020−x. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình f(log2x−m)+f(log23x)=0 có nghiệm x∈(1;16) 

Câu hỏi:

Cho hàm số $f\left(x\right)={2020}^x-{2020}^{-x}.$ Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình $f({\log }_{2}x-m)+f\left({\log }_2^{3}x\right)=0$ có nghiệm $x\in (1;16)$ 

A.68

B.65

C.67

Đáp án chính xác

D.69

Trả lời:

Xét hàm số $f\left(x\right)={2020}^x-{2020}^{-x}.$
Tập xác định: $D=ℝ.$
Ta có: $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D;f(-x)={2020}^{-x}-{2020}^x=-({2020}^x-{2020}^{-x})=-f\left(x\right)$
Vậy hàm số $f\left(x\right)={2020}^x-{2020}^{-x}$ là hàm số lẻ.
Lại có:
$f‘\left(x\right)={2020}^x.\ln 2020-{2020}^{-x}.\ln 2020.(-x)‘={2020}^x.\ln 2020+{2020}^{-x}.\ln 2020>0\forall x\in D$
Do đó hàm số $f\left(x\right)={2020}^x-{2020}^{-x}$ luôn đồng biến trên R
Theo đề bài ta có:
$f({\log }_{2}x-m)+f\left({\log }_2^{3}x\right)=0$
$\iff f({\log }_{2}x-m)=-f\left({\log }_2^{3}x\right)$
$\iff f({\log }_{2}x-m)=f(-{\log }_2^{3}x)$ (Do $f\left(x\right)$ là hàm số lẻ)
Mặt khác hàm số $f\left(x\right)$ luôn đồng biến trên R nên phương trình có nghiệm duy nhất:
${\log }_{2}x-m=-{\log }_2^{3}x\iff m={\log }_2^{3}x+{\log }_{2}x$
Đặt ${\log }_{2}x=1.$ Với $x\in (1;16)\Rightarrow t\in (0;4).$
Yêu cầu bài toán trở thành, tìm m để phương trình:
$m=t^3+t$ có nghiệm $t\in (0;4).$
Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+t$ trên khoảng $(0;4)$
Ta có: $f‘\left(t\right)=3t^2+t>0\forall t$ nên hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên $(0;4)$
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, để phương trình có nghiệm trên khoảng $(0;4)$ thì: $0<m<68$
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình $f({\log }_{2}x-m)+f\left({\log }_2^{3}x\right)=0$ có nghiệm $x\in (1;16)$ là: $m=67$.
Đáp án C

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

   

   Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

   A.Hàm số đạt cực đại tại $x=0$và cực tiểu tại $x=2.$

   Đáp án chính xác

   B.Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng $-2.$

   C.Hàm số có ba điểm cực trị.

   D.Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2.

   Trả lời:

   Quan sát đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ta có hàm số đạt cực đại tại $x=0$và cực tiểu tại $x=2.$
   Đáp án A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình nón có chiều cao bằng 3 (cm), góc giữa trục và đường sinh bằng 600. Thể tích khối nón bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình nón có chiều cao bằng 3 (cm), góc giữa trục và đường sinh bằng ${60}^0.$ Thể tích khối nón bằng

   A.$V=27\pi \left(c{m}^3\right).$

   Đáp án chính xác

   B.$V=9\pi \left(c{m}^3\right).$

   C.$V=18\pi \left(c{m}^3\right).$

   D.$V=54\pi \left(c{m}^3\right).$

   Trả lời:

   Bán kính đáy của hình nón là $r=3.\tan {60}^0=3\sqrt{3}.$ Vậy thể tích khối nón đó là
   $V=\frac{1}{3}.\pi .{\left(3\sqrt{3}\right)}^2.3=27\pi \left(c{m}^3\right).$
   Đáp án A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Số cách chọn 5 học sinh trong một lớp có 25 học sinh nam và 16 học sinh nữ là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số cách chọn 5 học sinh trong một lớp có 25 học sinh nam và 16 học sinh nữ là 

   A.$C_{41}^5$

   Đáp án chính xác

   B.$C_{25}^5$

   C.$A_{41}^5$

   D.$C_{25}^5+C_{16}^5$

   Trả lời:

   Số cách chọn 5 học sinh trong một lớp có 25 học sinh nam và 16 học sinh nữ là $C_{41}^5.$
   Đáp án A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Công thức tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao h là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Công thức tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy là $B$ và chiều cao h là

   A.$V=\frac{1}{3}Bh.$

   B.$V=Bh.$

   Đáp án chính xác

   C.$V=\frac{1}{2}Bh.$

   D.$V=\frac{2}{3}Bh.$

   Trả lời:

   Công thức tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy là Bvà chiều cao hlà $V=Bh.$
   Đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=(m+1)x−2x−m đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{(m+1)x-2}{x-m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

   A.1

   B.2

   Đáp án chính xác

   C.0

   D.3

   Trả lời:

   Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{m\right\}.$
   Ta có: $y‘=\frac{-m(m+1)+2}{{(x-m)}^2}=\frac{-m^2-m+2}{{(x-m)}^2}.$
   Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $\iff y‘>\mathrm{0,}\forall x\in D\iff -m^2-m+2>0\iff -2<m<1.$
   Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\{-1;0\}.$
   Đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====