Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông có cạnh bằng a. Gọi AB và CD là hai đường kính tương ứng của hai đáy. Biết góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 300. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Câu hỏi:

Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông có cạnh bằng a. Gọi AB và CD là hai đường kính tương ứng của hai đáy. Biết góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng ${30}^0$. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

A.$\frac{a^3}{12}$

Đáp án chính xác

B.$\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

C.\(\frac{{{a^3}}}{6}\)

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Trả lời:

Vì AB, CD lần lượt là đường kính hai đáy nên khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là $d(AB;CD)=d=h$. Mà thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh a nên $h=AB=CD=a$.
Khi đó ta có $V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB.CD.d.\sin \alpha =\frac{1}{6}.a.a.a.\sin {30}^0=\frac{a^3}{12}$.
Đáp án A.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ bên dưới?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ bên dưới?
   

   A.$y=\frac{x}{1-x}$

   Đáp án chính xác

   B.$y=\frac{x+1}{1-x}$

   C.$y=\frac{x+1}{x-1}$

   D.$y=\frac{x}{x-1}$

   Trả lời:

   Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị có đường TCN y=1 và TCĐ x=1.
   Do đó loại đáp án A và B.
   Đồ thị hàm số đi qua điểm O(0;0) nên loại đáp án C.
   Đáp án A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm tất cả các điểm M nằm trên đồ thị hàm số y=x−2x+1 mà tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đó song song với đường thẳng d:y=3x+10.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các điểm M nằm trên đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ mà tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đó song song với đường thẳng $d:y=3x+10$.

   A.$M(3;\frac{1}{4})$

   B.$M(0;-2)$ hoặc \(M\left( { – 2;4} \right)\)

   Đáp án chính xác

   C.$M(-2;4)$

   D. $M(-\frac{5}{2};3)$

   Trả lời:

   TXĐ: $D=ℝ\backslash \{-1\}$.
   Gọi $M(x_0;\frac{x_0-2}{x_0+1})(x_0\ne -1)$ thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$.
   Ta có $y=\frac{x-2}{x+1}\Rightarrow y^{‘}=\frac{3}{{(x+1)}^2}$ nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M(x_0;\frac{x_0-2}{x_0+1})$ có hệ số góc là $k=y^{‘}\left(x_0\right)=\frac{3}{{(x_0+1)}^2}$.
   Vì tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng $d:y=3x+10$nên \(\frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = 1\)
   $\iff [\begin{array}{l}{x}_0+1=1\\ x_0+1=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}_0=0\\ x_0=-2\end{array}\left(tm\right)$$\Rightarrow [\begin{array}{l}M(0;-2)\\ M(-2;4)\end{array}$
   Đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{1 – x}}\) và điểm I(1;−1). Tìm tất cả các điểm M nằm trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với IM.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{1 – x}}\) và điểm $I(1;-1)$. Tìm tất cả các điểm M nằm trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với IM.

   A.$M(1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2})$ và $M(1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2})$.

   Đáp án chính xác

   B.$M(-1;0)$ và $M(3;-2)$.

   C.$M(\sqrt{2};-3-2\sqrt{2})$ và $M(-\sqrt{2};2\sqrt{2}-3)$.

   D.$M(2;-3)$ và $M(0;1)$.

   Trả lời:

   TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{1\right\}$.
   Gọi $M(x_0;\frac{x_0+1}{1-x_0})(x_0\ne 1)$ thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{1-x}$.
   Ta có $y=\frac{x+1}{1-x}\Rightarrow y^{‘}=\frac{2}{{(1-x)}^2}$ nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M(x_0;\frac{x_0+1}{1-x_0})$ có hệ số góc là $k=y^{‘}\left(x_0\right)=\frac{2}{{(1-x_0)}^2}$.
   ⇒ Phương trình tiếp tuyến tại M là: $y=\frac{2}{{(1-x_0)}^2}(x-x_0)+\frac{x_0+1}{1-x_0}$$\iff \frac{2}{{(1-x_0)}^2}x-y-\frac{2x_0}{{(1-x_0)}^2}+\frac{x_0+1}{1-x_0}=0$, có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}=(1;\frac{2}{{(1-x_0)}^2})$.
   Ta có: $\overrightarrow{IM}=(x_0-1;\frac{x_0+1}{1-x_0}+1)=(x_0-1;\frac{2}{1-x_0})$.
   Vì tiếp tuyến tại M vuông góc với IM nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{IM}=0$.
   \( \Leftrightarrow \left( {{x_0} – 1} \right) + \frac{4}{{{{\left( {1 – {x_0}} \right)}^3}}} = 0\)$\iff \frac{4}{{(1-x_0)}^3}=1-x_0\iff {(1-x_0)}^4=4$
   $\iff [\begin{array}{l}1-x_0=\sqrt{2}\\ 1-x_0=-\sqrt{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}_0=1-\sqrt{2}\\ x_0=1+\sqrt{2}\end{array}$
   ⇒ $M(1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2})$ và $M(1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2})$.
   Đáp án A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Mệnh đề nào dưới đây về hàm số y=(x2−4)2+1 là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Mệnh đề nào dưới đây về hàm số $y={(x^2-4)}^2+1$ là đúng?

   A. Nghịch biến trên $(-2;2)$

   B. Đồng biến trên $ℝ$

   C. Đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và\(\left( {2; + \infty } \right)\)

   D. Đồng biến trên $(-2;0)$ và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   TXĐ: $D=ℝ$.
   Ta có: $y={(x^2-4)}^2+1\Rightarrow y^{‘}=2(x^2-4).2x$.
   Cho $y^{‘}=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2-4=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 2\end{array}$.
   BXD y’:
   
   Dựa vào BXD ta thấy hàm số đồng biến trên \(\left( { – \infty ; – 2} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {0;2} \right)\); nghịch biến trên $(-2;0);(2;+\infty )$.
   Đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 1. Tính thể tích khối càu nội tiếp trong hình nón.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 1. Tính thể tích khối càu nội tiếp trong hình nón.

   A.$\frac{\pi }{6}$

   B.$\frac{4\sqrt{3}\pi }{27}$

   Đáp án chính xác

   C.$\frac{4\pi }{81}$

   D.$\frac{\sqrt{3}\pi }{54}$

   Trả lời:

   
   Giả sử thiết diện qua trục là tam giác SAB và O là tâm mặt đáy của hình nón, ta có tam giác SAB đều cạnh 1 nên $SO=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
   Gọi I là tâm khối cầu nội tiếp trong hình nón, dễ thấy O chính là tâm tam giác đều SAB, do đó bán kính khối cầu là $R=IO=\frac{2}{3}SO=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
   Vậy thể tích khối cầu nội tiếp trong hình nón là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^3=\frac{4\sqrt{3}\pi }{27}$.
   Đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====