Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = 3a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BC = 4a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CA = 5a\), các mặt bên tạo với đáy góc \({60^0}\), hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) thuộc miền trong tam giác ABC. Tính thể tích hình chóp \(S.ABC\).
A.\(2{a^3}\sqrt 3 \)
Đáp án chính xác
B.\(6{a^3}\sqrt 3 \)
C.
D.\(2{a^3}\sqrt 2 \)
Trả lời:
Phương pháp giải:
– Gọi H là hình chiếu của S thuộc miền trong tam giác \(ABC\), chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).
– Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
– Sử dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(r = \frac{S}{p}\), với \(S,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} p\) lần lượt là diện tích và nửa chu vi tam giác.
– Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao khối chóp.
– Tính thể tích khối chóp \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}}\).
Giải chi tiết:
Vì chóp \(S.ABC\) có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau và hình chiếu của S thuộc miền trong tam giác \(ABC\) nên hình chiếu của S là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).
Gọi H là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Xét \(\Delta ABC\) có \(A{B^2} + B{C^2} = C{A^2} = 25{a^2}\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại B (định lí Pytago đảo).
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(HK//BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {K \in AB} \right)\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SH}\\{AB \bot HK}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AB \bot SK\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB}\\{SK \subset \left( {SAB} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} SK \bot AB}\\{HK \subset \left( {ABC} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} HK \bot AB}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH = {60^0}\).
Vì HK là bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) nên \(HK = \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{p_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.3a.4a}}{{\frac{{3a + 4a + 5a}}{2}}} = a\).
Xét tam giác vuông \(SHK\) ta có \(SH = HK.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .\frac{1}{2}.3a.4a = 2\sqrt 3 {a^3}\).
Đáp án A
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}\) và \({d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 2}}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng này bằng:
Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}\) và \({d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 2}}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng này bằng:
A.\(\frac{{\sqrt {17} }}{{16}}\)
B.\(\frac{{\sqrt {17} }}{4}\)
C.\(\frac{{16}}{{\sqrt {17} }}\)
Đáp án chính xác
D.16
Trả lời:
Phương pháp giải:
Cho đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \({M_1}\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} ;\) đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \({M_2}\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} .\) Khi đó ta có khoảng cách giữa \({d_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}\) được tính bởi công thức: \(d\left( {{d_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,{\mkern 1mu} \overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,{\mkern 1mu} \overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}.\)
Giải chi tiết:
Ta có:
\({d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}\) \( \Rightarrow {d_1}\) đi qua \({M_1}\left( {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} – 1} \right)\) và có 1 VTCP là: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1; – 2} \right).\)
\({d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 2}}\) \( \Rightarrow {d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3} \right)\) và có 1 VTCP là: \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2; – 2} \right).\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 4} \right)}\\{\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3} \right)}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow d\left( {{d_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,{\mkern 1mu} \overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,{\mkern 1mu} \overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\) \( = \frac{{\left| {2 + 2 + 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{16}}{{\sqrt {17} }}.\)
Đáp án C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = x + 3\) và parabol \(y = 2{x^2} – x – 1\) bằng:
Câu hỏi:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = x + 3\) và parabol \(y = 2{x^2} – x – 1\) bằng:
A.9
Đáp án chính xác
B.\(\frac{{13}}{6}\)
C.\(\frac{{13}}{3}\)
D.\(\frac{9}{2}\)
Trả lời:
Phương pháp giải:
– Xét phương trình hoành độ tìm 2 đường giới hạn \(x = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = b\).
– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,{\mkern 1mu} x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \).
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x + 3 = 2{x^2} – x – 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = – 1}\end{array}} \right.\).
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là \(S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {x + 3 – 2{x^2} + x + 1} \right|dx} = 9\).
Đáp án A.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Phương trình \({z^4} = 16\) có bao nhiêu nghiệm phức?
Câu hỏi:
Phương trình \({z^4} = 16\) có bao nhiêu nghiệm phức?
A. 0
B. 4
Đáp án chính xác
C. 2
D. 1
Trả lời:
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} – {b^2} = \left( {a – b} \right)\left( {a + b} \right)\).
Giải chi tiết:
Ta có
\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {z^4} = 16\) \( \Leftrightarrow {z^4} – 16 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{z^2} – 4} \right)\left( {{z^2} + 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z^2} = 4}\\{{z^2} = – 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = \pm 2}\\{z = \pm 2i}\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức.
Đáp án B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số \(y = {x^3} – m{x^2} – {m^2}x + 8.\) Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = {x^3} – m{x^2} – {m^2}x + 8.\) Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?
A. 3
B. 5
C. 4
Đáp án chính xác
D. 6
Trả lời:
Phương pháp giải:
– Giải phương trình \(y’ = 0\) xác định các giá trị cực trị theo m.
– Chia các TH, tìm các giá trị cực tiểu tương ứng và giải bất phương trình \({y_{CT}} < 0\).
Giải chi tiết:
Ta có \(y’ = 3{x^2} – 2mx – {m^2}\); \(y’ = 0\) có \(\Delta ‘ = {m^2} + 3{m^2} = 4{m^2} \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m\).
Để hàm số có cực tiểu, tức là có 2 điểm cực trị thì phương trình \(y’ = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow m \ne 0\)
Khi đó ta có \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{m + 2m}}{3} = m \Rightarrow y = – {m^3} + 8}\\{x = \frac{{m – 2m}}{3} = – \frac{m}{3} \Leftrightarrow y = \frac{{5{m^3}}}{{27}} + 8}\end{array}} \right.\)
Khi đó yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m >0}\\{{y_{CT}} = – {m^3} + 8 >0 \Leftrightarrow m < 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{{y_{CT}} = \frac{{5{m^3}}}{{27}} + 8 >0 \Leftrightarrow m >- \frac{6}{{\sqrt[3]{5}}}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < m < 2}\\{ – \frac{6}{{\sqrt[3]{5}}} < m < 0}\end{array}} \right.\)
Lại có \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { – 3; – 2; – 1;1} \right\}\). Vậy có 4 giá trị của mthỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\)
Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\)
A. 4
B. 2
Đáp án chính xác
C. 5
D. 0
Trả lời:
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) nghịch biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\) khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y’ < 0}\\{ – \frac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)}\end{array}} \right.\)
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – m} \right\}\).
Ta có \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}} \Rightarrow y’ = \frac{{{m^2} – 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\).Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 1;1} \right)\) thì
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y’ < 0}\\{ – m \notin \left( { – 1;1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} – 4 < 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ – m \le – 1}\\{ – m \ge 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ – 2 < m < 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 1}\\{m \le – 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le m < 2}\\{ – 2 < m \le – 1}\end{array}} \right.\).
Lại có \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = \pm 1\).
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====