Câu hỏi:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2}\) tại 3 điểm phân biệt \(A,B,C\) \((B\) nằm giữa \(A\) và \(C)\) sao cho \(AB = 2BC.\) Tính tổng các phần tử thuộc \(S.\)
A. \( – 4.\)
Đáp án chính xác
B.\(\frac{{7 – \sqrt 7 }}{7}.\)
C. \( – 2.\)
D. 0.
Trả lời:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = m\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2}\) là \({x^3} – 3{x^2} – m = 0\left( * \right).\)
Gọi \({x_1},{x_2},{x_3}\left( {{x_1} < {x_2} < {x_3}} \right)\) lần lượt là 3 nghiệm của (*), theo giả thiết ta giả sử \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right),C\left( {{x_3};{y_3}} \right)\) khi đó
\(AB = 2BC \Leftrightarrow \left| {{x_2} – {x_1}} \right| = 2\left| {{x_3} – {x_2}} \right|\)
\( \Leftrightarrow {x_2} – {x_1} = 2\left( {{x_3} – {x_2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 4{x_2} – {x_3} \Leftrightarrow {x_3} = 4{x_2} – 3\) (theo ĐL Vi-et cho PT(*) có \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 3).\)
Thay nghiệm \({x_3} = 4{x_2} – 3\) vào (*) ta có phương trình \({\left( {4{x_2} – 3} \right)^3} – 3{\left( {4{x_2} – 3} \right)^2} = m\)
Lại có \({x_2}\) cũng là nghiệm của \(\left( * \right)\) nên \(x_2^3 – 3x_2^2 = m\) do đó ta có phương trình
\({\left( {4{x_2} – 3} \right)^3} – 3{\left( {4{x_2} – 3} \right)^2} = x_2^3 – 3x_2^2\)
\( \Leftrightarrow 64x_2^3 – 144x_2^2 + 108x_2^{} – 27 – 3\left( {16x_2^2 – 24{x_2} + 9} \right) = x_2^3 – 3x_2^2\)
\( \Leftrightarrow 63x_2^3 – 189x_2^3 + 180{x_2} – 54 = 0\)
\( \Leftrightarrow 7x_2^3 – 21x_2^3 + 20{x_2} – 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{{7 + \sqrt 7 }}{7}\\{x_2} = 1\\{x_2} = \frac{{7 – \sqrt 7 }}{7}\end{array} \right.\)
Với \({x_2} = 1\) suy ra \({x_3} = 1\) (loại).
Với \({x_2} = \frac{{7 \pm \sqrt 7 }}{7} \Rightarrow m = – \frac{{48 \pm 20\sqrt 7 }}{{49}}.\)
Thử lại trực tiếp ta thấy \(m = – \frac{{98 + 20\sqrt 7 }}{{49}}\) và \(m = – \frac{{98 – 20\sqrt 7 }}{{49}}\) là thỏa mãn được yêu cầu bài toán.
Vậy \(S = \left\{ { – \frac{{98 – 20\sqrt 7 }}{{49}}; – \frac{{98 + 20\sqrt 7 }}{{49}}} \right\}\) và tổng các phần tử thuộc tập \(S\) là \( – 4.\)
Đáp án A
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 4} \frac{{{x^2} + 3x – 4}}{{{x^2} + 4x}} = \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \({a^2} – {b^2}.\)
Câu hỏi:
Cho giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 4} \frac{{{x^2} + 3x – 4}}{{{x^2} + 4x}} = \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \({a^2} – {b^2}.\)
A. \( – 9\).
B. 41.
C. 9.
Đáp án chính xác
D. 14.
Trả lời:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 4} \frac{{{x^2} + 3x – 4}}{{{x^2} + 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 4} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 4} \frac{{x – 1}}{x} = \frac{5}{4}.\)
\( \Rightarrow a = 5;b = 4\)
\( \Rightarrow {a^2} – {b^2} = 25 – 16 = 9.\)
Đáp án C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hình chóp \(S.ABC\) có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\) biết \(AB = AC = a,BC = a\sqrt 3 .\) Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right).\)
Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\) biết \(AB = AC = a,BC = a\sqrt 3 .\) Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right).\)
A.\({45^0}.\)\(\angle SCA\)
B.\({30^0}.\)
C.
Đáp án chính xác
D. \({90^0}.\)
Trả lời:
\(\left\{ \begin{array}{l}SA = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right)\\AB \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {AB,AC} \right)\)
\(\Delta ABC\) có: \(\cos \widehat A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} – B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = – \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat A = {120^0}.\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)} \right) = {60^0}.\)
Đáp án C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào
Câu hỏi:
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào
A.\(y = \left( {x – 1} \right){\left( {x – 2} \right)^2}.\)
B.\(y = \left( {x – 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}.\)
C.\(y = {\left( {x – 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right).\)
Đáp án chính xác
D. \(y = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right).\)
Trả lời:
Do đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại điểm \(\left( {1;0} \right)\) nên đường cong là đồ thị của hàm số \(y = {\left( {x – 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right).\)
Đáp án C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SD = \frac{{3a}}{2},\) hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB.\) Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABCD.\)
Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SD = \frac{{3a}}{2},\) hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB.\) Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABCD.\)
A. \(\frac{{{a^3}}}{4}.\)
B.\(\frac{{2{a^3}}}{3}.\)
C.\(\frac{{{a^3}}}{3}.\)
Đáp án chính xác
D. \(\frac{{{a^3}}}{2}.\)
Trả lời:
Gọi \(H\) là trung điểm cạnh \(AB.\) Khi đó \(SH \bot \left( {ABCD} \right).\)
Tam giác \(AHD\) vuông tại \(H\) có \(D{H^2} = A{H^2} + A{D^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + {a^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}.\)
Tam giác \(SHD\) vuông tại \(H\)có \(S{H^2} = S{D^2} – D{H^2} = \frac{{9{a^2}}}{4} – \frac{{5{a^2}}}{4} = {a^2} \Rightarrow SH = a.\)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}a.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{3}\) (đvtt).
Đáp án C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = {\log _3}x.\) Tìm điều kiện của \({x_0}\) để điểm \(M\) nằm phía trên đường thẳng \(y = 2.\)
Câu hỏi:
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = {\log _3}x.\) Tìm điều kiện của \({x_0}\) để điểm \(M\) nằm phía trên đường thẳng \(y = 2.\)
A.\({x_0} >9.\)
Đáp án chính xác
B.\({x_0} >0.\)
C.\({x_0} < 2.\)
</>D. \({x_0} >2.\)
Trả lời:
Điểm \(M\) nằm phía trên đường thẳng \(y = 2\) khi \({y_0} >2 \Leftrightarrow {\log _3}{x_0} >2 \Leftrightarrow {x_0} >9.\)
Đáp án A====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====