Câu hỏi:
Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x – 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} – y.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y\) là
A. \(\min P = – 63.\)
B.\(\min P = – 91.\)
C. \(\min P = 9 + 3\sqrt {15} .\)
D. \(\min P = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}.\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Đáp án D.
Theo giả thiết: \(x – 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} – y\left( * \right).\)
Điều kiện: \(x \ge – 1,y \ge – 2.\)
Ta có: \(P = x + y \Leftrightarrow y = P – x,\) thế vào \(\left( * \right)\) ta được:
\(3\sqrt {x + 1} + 3\sqrt {P – x + 2} = P{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x \ge – 1.\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P \ge 0\\2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {P – x + 2} \right)} = \frac{{{P^2}}}{9} – P – 3\end{array} \right.\)
Để có nghiệm thì \(\frac{{{P^2}}}{9} – P – 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P \ge \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}\\P \le \frac{{9 – 3\sqrt {21} }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow P \ge \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}.\)
Với giá trị nhỏ nhất \(P = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x = – 1,\) suy ra:
\( \Rightarrow y = P – x = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2} + 1 = \frac{{11 + 3\sqrt {21} }}{2}.\)
Mặt khác, ta lại có:\(P = x + y \Leftrightarrow x = P – y,\) thế vào (*) ta được:
\(P = 3\sqrt {P – y + 1} + 3\sqrt {y + 2} \) \(\left( 2 \right)\)
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\) để phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(y \ge – 2.\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P \ge 0\\2\sqrt {\left( {y + 2} \right)\left( {P – y + 1} \right)} = \frac{{{P^2}}}{9} – P – 3\end{array} \right.\)
Để có nghiệm thì \(\frac{{{P^2}}}{9} – P – 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P \ge \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}\\P \le \frac{{9 – 3\sqrt {21} }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow P \ge \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}.\)
Với giá trị nhỏ nhất \(P = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}\) thì phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(y = – 2,\) suy ra:
\( \Rightarrow x = P – y = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2} + 2 = \frac{{13 + 3\sqrt {21} }}{2}.\)
Vậy \({P_{\min }} = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = – 1\\y = \frac{{11 + 3\sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13 + 3\sqrt {21} }}{2}\\y = – 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Số đỉnh của một khối lăng trụ tam giác là
Câu hỏi:
Số đỉnh của một khối lăng trụ tam giác là
A.9.
B. 3.
C. 6.
Đáp án chính xác
D. 12.
Trả lời:
Đáp án C.
Khối lăng trụ tam giác có 6 đỉnh.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Đạo hàm của hàm số \(y = {x^4}\) là
Câu hỏi:
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^4}\) là
A.\(y’ = 4{x^3}.\)
Đáp án chính xác
B.\(y’ = 0.\)
C.\(y’ = 4{x^2}.\)
D. \(y’ = 4x.\)
Trả lời:
Đáp án A.
Ta có: \(y’ = \left( {{x^4}} \right)’ = 4{x^3}.\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng \( – 1.\)
B. Hàm số có đúng một cực trị.
C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.
D. Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và đạt cực tiểu tại \(x = 1.\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Đáp án D.
Từ bảng biến thiên ta thấy, tính từ trái qua phải:
Dấu của \(y’\) đổi dấu từ (+) sang (-) khi qua \(x = 0,\) nên tại \(x = 0\) hàm số đạt cực đại.
Dấu của \(y’\) đổi dấu từ (-) sang (+) khi qua \(x = 1,\) nên tại \(x = 1\) hàm số đạt cực tiểu.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \left( {1 – x – {x^3}} \right)\) bằng
Câu hỏi:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \left( {1 – x – {x^3}} \right)\) bằng
A.\( – 1.\)
B. 3.
Đáp án chính xác
C.\( – 3.\)
D. 1.
Trả lời:
Đáp án B.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \left( {1 – x – {x^3}} \right) = 1 – \left( { – 1} \right) – {\left( { – 1} \right)^3} = 3.\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho khối lăng trụ có diện tích đáy \(B = 6\) và chiều cao \(h = 3.\) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Câu hỏi:
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy \(B = 6\) và chiều cao \(h = 3.\) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. 18.
Đáp án chính xác
B. 54.
C. 36.
D. 2.
Trả lời:
Đáp án A.
Thể tích khối lăng trụ là \(V = Bh = 6.3 = 18.\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====