Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x – 3} \right)^{2020}}\left( {{\pi ^{2x}} – {\pi ^x} + 2021} \right)\left( {{x^2} – 2x} \right),\forall x \in \mathbb{R}.\) Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} – 8x + m} \right)\) có đúng ba điểm cực trị \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 50.\) Khi đó tổng các phần tử của \(S\) bằng  

Câu hỏi:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {\left( {x – 3} \right)^{2020}}\left( {{\pi ^{2x}} – {\pi ^x} + 2021} \right)\left( {{x^2} – 2x} \right),\forall x \in \mathbb{R}.\) Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} – 8x + m} \right)\) có đúng ba điểm cực trị \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 50.\) Khi đó tổng các phần tử của \(S\) bằng  

A. 17.

B. 33.

C. 35.

D. 51.

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án D.
Ta có: \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x – 3} \right)^{2020}}\left( {{\pi ^{2x}} – {\pi ^x} + 2021} \right)\left( {{x^2} – 2x} \right) = 0\left( * \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\{\pi ^{2x}} – {\pi ^x} + 2021 = 0\\{x^2} – 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 2\\x = 0\end{array} \right.\) (trong đó \(x = 3\) là nghiệm bội chẵn).
Suy ra: \(y’ = \left( {2x – 8} \right).f’\left( {{x^2} – 8x + m} \right),y’ = 0 \Leftrightarrow \left( {2x – 8} \right).f’\left( {{x^2} – 8x + m} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x – 8 = 0\\f’\left( {{x^2} – 8x + m} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\{x^2} – 8x + m = 3{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{x^2} – 8x + m = 2{\rm{ }}\left( 2 \right)\\{x^2} – 8x + m = 0{\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\{x^2} – 8x = 3 – m{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{x^2} – 8x = 2 – m{\rm{ }}\left( 2 \right)\\{x^2} – 8x = – m{\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Xét hàm số \(y = h\left( x \right) = {x^2} – 8x,h’\left( x \right) = 2x – 8,h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – 8 = 0 \Leftrightarrow x = 4.\)
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = h\left( x \right).\)

Vì \(x = 3\) là nghiệm bội chẵn của phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) nên nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) không phải là điểm cực trị của hàm số.
Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số có đúng ba điểm cực trị khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt đồng thời phương trình \(\left( 3 \right)\) vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất \(x = 4.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 – m >- 16\\ – m \le – 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 18\\m \ge 16\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {16;17} \right\}\).
Nếu \(x = 4\) là nghiệm của phương trình \(\left( 3 \right)\) thì \(m = 16,\) suy ra phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} – 8x + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 – \sqrt 2 \\x = 4 + \sqrt 2 \end{array} \right.\) (không thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 50).\)
Nếu \(m = 17\) thì phương trình \(\left( 3 \right)\) vô nghiệm, phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} – 8x + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 5\end{array} \right.\) (thỏa mãn: \({3^2} + {4^2} + {5^2} = 50).\)
Vậy \(S = \left\{ {17} \right\}.\)

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Số đỉnh của một khối lăng trụ tam giác là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số đỉnh của một khối lăng trụ tam giác là 

   A.9.

   B. 3.

   C. 6.

   Đáp án chính xác

   D. 12.

   Trả lời:

   Đáp án C.
   
   Khối lăng trụ tam giác có 6 đỉnh.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Đạo hàm của hàm số \(y = {x^4}\) là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đạo hàm của hàm số \(y = {x^4}\) là 

   A.\(y’ = 4{x^3}.\)

   Đáp án chính xác

   B.\(y’ = 0.\)

   C.\(y’ = 4{x^2}.\)

   D. \(y’ = 4x.\)

   Trả lời:

   Đáp án A.
   Ta có: \(y’ = \left( {{x^4}} \right)’ = 4{x^3}.\)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên sau:  Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên sau:
   
    Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

   A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng \( – 1.\)

   B. Hàm số có đúng một cực trị.

   C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.

   D. Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và đạt cực tiểu tại \(x = 1.\)

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D.
   Từ bảng biến thiên ta thấy, tính từ trái qua phải:
   Dấu của \(y’\) đổi dấu từ (+) sang (-) khi qua \(x = 0,\) nên tại \(x = 0\) hàm số đạt cực đại.
   Dấu của \(y’\) đổi dấu từ (-) sang (+) khi qua \(x = 1,\) nên tại \(x = 1\) hàm số đạt cực tiểu.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \left( {1 – x – {x^3}} \right)\) bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \left( {1 – x – {x^3}} \right)\) bằng

   A.\( – 1.\)

   B. 3.

   Đáp án chính xác

   C.\( – 3.\)

   D. 1.

   Trả lời:

   Đáp án B.
   Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \left( {1 – x – {x^3}} \right) = 1 – \left( { – 1} \right) – {\left( { – 1} \right)^3} = 3.\)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy \(B = 6\) và chiều cao \(h = 3.\) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối lăng trụ có diện tích đáy \(B = 6\) và chiều cao \(h = 3.\) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

   A. 18.

   Đáp án chính xác

   B. 54.

   C. 36.

   D. 2.

   Trả lời:

   Đáp án A.
   Thể tích khối lăng trụ là \(V = Bh = 6.3 = 18.\)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====