Có bao nhiêu số phức z đôi một khác nhau thỏa mãn z+i=2 và z−24 là số thực?

Câu hỏi:

Có bao nhiêu số phức z đôi một khác nhau thỏa mãn $\left|z+i\right|=2$ và ${\left(z-2\right)}^4$ là số thực?

A. 4                             

B. 5                             

Đáp án chính xác

C. 7                             

D. 6

Trả lời:

Phương pháp:
– Từ giả thiết $\left|z+i\right|=2$ suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z
– Từ giả thiết ${\left(z-2\right)}^4$ là số thực chứng minh hoặc z – 2 là số thực, hoặc z – 2 là số thuần ảo, hoặc z – 2 có phần thực bằng cộng trừ phần ảo.
– Sử dụng phương pháp hình học.
Cách giải:
Vì $\left|z+i\right|=2\Rightarrow \left|z-\left(-i\right)\right|=2$ nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; -1), bán kính R = 2.
Gọi $z-2=x+yi$ ta có:
${\left(z-2\right)}^2={\left(x+yi\right)}^4={\left(x^2-y^2+2xyi\right)}^2$
$={\left(x^2-y^2\right)}^2+4xy\left(x^2-y^2\right)i-4x^2{y}^2$
$=x^4-8x^2{y}^2+y^4+4xy\left(x^2-y^2\right)i$
Vì ${\left(z-2\right)}^2$ là số thực nên $4xy\left(x^2-y^2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ y=0\\ \left|x\right|=\left|y\right|\end{array}\right.$
TH1: $x=0\Rightarrow z-2=yi\Rightarrow z=2+yi\Rightarrow$ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x = 2 trừ điểm (2; 0).
TH2: $y=0\Rightarrow z-2=z\iff z=x+2\Rightarrow$ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y = 0 trừ điểm (-2; 0).
TH3: $\left|x\right|=\left|y\right|\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=y\Rightarrow z-2=x+xi\Rightarrow z=x+2+xi\\ x=-y\Rightarrow z-2=x-xi\Rightarrow z=x+2-xi\end{array}\right.\Rightarrow$ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng $\left[\begin{array}{l}y=x-2\\ y=-x+2\end{array}\right.$ trừ điểm $\left(0;-2\right),\left(2;0\right),\left(0;2\right),\left(-2;0\right)$.
Ta có hình vẽ:

Vậy có 5 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng AB và B’D’ bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng AB và B’D’ bằng:

   A. ${30}^0$

   B. ${135}^0$

   C. ${45}^0$

   Đáp án chính xác

   D. ${90}^0$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Sử dụng: $a//a‘\Rightarrow \angle \left(a;b\right)=\angle \left(a‘;b‘\right)$
   Cách giải:
   
   Ta có B’D’ // BD nên $\angle \left(AB;B‘D‘\right)=\angle \left(AB;BD\right)$
   Vì ABCD là hình vuông nên $\angle ABD={45}^0.$
   Vậy $\angle \left(AB;B‘D‘\right)={45}^0.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Biết ∫01fxdx=13 và ∫01gxdx=43. Khi đó ∫01gx−fxdx bằng: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=\frac{4}{3}.$ Khi đó $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)dx$ bằng: 

   A. $-\frac{5}{3}$

   B. $\frac{5}{3}$

   C. -1

   D. 1

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Sử dụng tính chất tích phân: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$
   Cách giải:
   $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1.$
    
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tập xác định của hàm số y=logx+log3−x là: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập xác định của hàm số $y=\log x+\log \left(3-x\right)$ là: 

   A. $\left(3;+\infty \right)$

   B. (0; 3)

   Đáp án chính xác

   C. $\left[3;+\infty \right)$

   D. [1; 3]

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Hàm số $y=\log x$ xác định khi x > 0.
   Cách giải:
   Hàm số $y=\log x+\log \left(3-x\right)$ xác định khi $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ 3-x>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x<3\end{array}\right.\iff 0<x<3.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   A. (0; 1)

   B. (-2; -1)

   C. (-1; 0)

   Đáp án chính xác

   D. (-1; 3)

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Dựa vào đồ thị xác định các khoảng đồ thị đi lên từ trái qua phải.
   Cách giải:
   Dựa vào đồ thị và các đáp án ta thấy hàm số y = f(x) đồng biến trên (-1; 0)
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho góc ở đỉnh của một hình nón bằng 600. Gọi r, h, l lần lượt là bán kính đáy, đường cao, đường sinh của hình nón đó. Khẳng định nào sau đây đúng? 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho góc ở đỉnh của một hình nón bằng ${60}^0.$ Gọi r, h, l lần lượt là bán kính đáy, đường cao, đường sinh của hình nón đó. Khẳng định nào sau đây đúng? 

   A. l = 2r

   Đáp án chính xác

   B. h = 2r

   C. l = r

   D. h = r

   Trả lời:

   Phương pháp:
   – Cho góc ở đỉnh của một hình nón bằng $\alpha$ thì $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{r}{h}$ với r, h lần lượt là bán kính đáy, đường cao của hình nón.
   – Sử dụng công thức: $l^2=h^2+r^2.$
   Cách giải:
   Vì góc ở đỉnh của một hình nón bằng ${60}^0$ nên $\tan {30}^0=\frac{r}{h}\iff \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{r}{h}\iff h=\sqrt{3}r.$
   Lại có $l^2=h^2+r^2\Rightarrow l^2=3r^2+r^2\iff l=2r.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====