Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(9; 3; 1) bán kính bằng 3 . Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc 2 trục Ox, Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng 132 . Gọi A là tiếp điểm của MN và (s), giá trị AM. AN bằng

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(9; 3; 1) bán kính bằng 3 . Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc 2 trục Ox, Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng $\frac{13}{2}$ . Gọi A là tiếp điểm của MN và (s), giá trị AM. AN bằng

A. 12$\sqrt{3}$ .

B. 18.

Đáp án chính xác

C. 28$\sqrt{3}$ .

D. 39.

Trả lời:

Đáp án đúng là: A
I(9; 3 ; 1)  d  = 3 = R Þ (S) tiếp xúc với (Oxz)
Gọi M( a; 0; 0) Î Ox$\iff$
N(0; 0; b) Î Oz
MN tiếp xúc với (S) tại A nên A là hình chiếu của I lên (Oxz)
Suy ra A(9; 0; 1)
Gọi K là trung điểm MN Þ K$\left(\frac{a}{2};0;\frac{b}{2}\right)$
Gọi H là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN Þ OH =$\frac{13}{2}$ Þ HK MN
Gọi T là trung điểm OM Þ$\left.\begin{array}{c}OM\perp KT\\ OM\perp HT\end{array}\right\}$ Þ OM (KHT)
Þ OM  HK Þ HK (OMN)
Mà IA (OMN) Þ HK// IA
Ta có :$\overrightarrow{AI}$  = (0; 3; 0)
 $\overrightarrow{KH}$=$\left(x_H-\frac{a}{2};y_H-0;z_H-\frac{b}{2}\right)$
 $\overrightarrow{AI}$cùng phương $\overrightarrow{KH}$ nên $\left\{\begin{array}{c}{x}_H=\frac{a}{2}\\ y_H=c(c\ne 0)\\ z_H=\frac{b}{2}\end{array}\right.$
$\Rightarrow$H $\left(\frac{a}{2};c;\frac{b}{2}\right)$
ỌH = $\frac{13}{2}$$\Rightarrow$$\frac{a^2}{2}$ + c² +$\frac{b^2}{4}$ =  $\frac{169}{4}$ (1)
HI = OH =$\frac{13}{2}$$\Rightarrow$${\left(\frac{a}{2}-9\right)}^2$ +${\left(c-3\right)}^2$ +${\left(\frac{b}{2}-1\right)}^2$ =$\frac{169}{4}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{a^2}{2}$ + c² +$\frac{b^2}{4}$ =${\left(\frac{a}{2}-9\right)}^2$ +${\left(c-3\right)}^2$ +
${\left(\frac{b}{2}-1\right)}^2$
$\Rightarrow$9a + b + 6c = 91 (3)
 $\overrightarrow{AM}$= (a − 9; 0; −1)
 $\overrightarrow{AN}$= (−9; 0; b − 1)
A, M, N thẳng hàng $\frac{a-9}{-9}=\frac{-1}{b-1}$
(a − 2)(b − 1) = 9
ab − a − 9b + 9 = 9
ab − a − 9b = 0
a(b − 1) = 9b
a =$\frac{9b}{b-1}$
Từ (3)$\Rightarrow$ 9.$\frac{9b}{b-1}$ + b + 6c = 91
$\frac{81b}{b-1}$+ b + 6c = 91
$\frac{b^2+80b}{b-1}$+ 6c = 91 6c = 91 −$\frac{b^2+80b}{b-1}$ =$\frac{-b^2+11b-91}{b-1}$
c =$\frac{-b^2+11b-91}{6(b-1)}$
Ta có a² + 4c² + b² = 169
$\iff$+ 4${\left(\frac{-b^2+11b-91}{6(b-1)}\right)}^2$ + b² = 169

$\iff$9.81b² + (b⁴ + 121b² +8281− 22b³ + 182b² − 2002b) + 9b²(b − 1)² = 169 . 9 . (b − 1)²
$\iff$729b² + b⁴ +121b² +8281 − 22b³ + 182b² − 2002b + 9b⁴ − 18b³ +9b² = 1521b² − 3042b +1521
$\iff$10b⁴ − 40b³ − 480b² + 1040b +6760 = 0
$\left[\begin{array}{c}b=1+3\sqrt{3}\Rightarrow a=\frac{9\left(1+3\sqrt{3}\right)}{3\sqrt{3}}=9+\sqrt{3}\\ b=1-3\sqrt{3}\Rightarrow a==\frac{9\left(1-3\sqrt{3}\right)}{-3\sqrt{3}}=9-\sqrt{3}\end{array}\right.$

+ Trường hợp 1: a = 9 +$\sqrt{3}$ ; b = 1 + 3 Þ$\overrightarrow{AM}$ =$\left(\sqrt{3};0;-1\right)$ Þ AM = 2
Þ$\overrightarrow{AN}$ =$\left(-9;0;3\sqrt{3}\right)$ ÞAN =$\sqrt{108}$
AM.AN = 2.$\sqrt{108}$  = 12$\sqrt{3}$
+ Trường hợp 2: a = 9 −$\sqrt{3}$ ; b = 1 − 3$\sqrt{3}$ Þ$\overrightarrow{AM}$ =$\left(-\sqrt{3};0;-1\right)$ Þ AM = 2
Þ$\overrightarrow{AN}$ =$\left(-9;0;-3\sqrt{3}\right)$ Þ AN =$\sqrt{108}$
AM.AN = 2. $\sqrt{108}$  = 12$\sqrt{3}$
 
 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hàm số nào dưới đây có bảng biển thiên như sau
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số nào dưới đây có bảng biển thiên như sau
   

   A. y = x³ − 3x.

   Đáp án chính xác

   B. y = −x³ + 3x.

   C. y = x² − 2x.

   D. y = −x² + 2x.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: A
   Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy:
   ∙ Đây là hàm y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0). Loại đáp án C và D.
   ∙ = −¥ Þ a < 0. Loại đáp án A.
   Do đó hàm số thỏa mã là y = −x³ +3x .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Nếu ∫03f(x)dx = 6 thì ∫0313f(x)+2  dx bằng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Nếu $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 6 thì $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[\frac{1}{3}f\left(x\right)+2\right]$  dx bằng?

   A. 8.

   Đáp án chính xác

   B. 5.

   C. 9.

   D. 6.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: A
   Ta có $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[\frac{1}{3}f\left(x\right)+2\right]$ dx = $\frac{1}{3}$$\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ +$\underset{0}{\overset{3}{\int }}2dx$ = $\frac{1}{3}$. 6 + ${\left.2x\right|}_0^3$ = 2 + 6 = 8 .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Phần ảo của số phức z = (2 − i)(1 + i)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phần ảo của số phức z = (2 − i)(1 + i)

   A. 3.

   B. 1.

   Đáp án chính xác

   C. −1.

   D. −3.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   Ta có z = (2 − i)(1 + i) = 3 + i.
   Vậy phần ảo của số phức z là 1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Khẳng định nào dưới đây đúng ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khẳng định nào dưới đây đúng ?

   A. = xe^x + C.

   B. = e^x+1  + C

   C. = −e^x+1 + C.

   D. = e^x + C.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: D
   Ta có = e^x + C .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = ax⁴ + bx² + c có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
   

   A. 1.

   B. 4.

   C. −1.

   D. 3.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: D
   Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy giá trị cực tiểu bằng 3 .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====