Có bao nhiêu giá trị nguyên a∈1;20 sao cho bất phương trình 2xa+1xa+7≥9x+1x nghiệm đúng với mọi x∈0;+∞? 

Câu hỏi:

Có bao nhiêu giá trị nguyên $a\in \left[1;20\right]$ sao cho bất phương trình $2\left(x^a+\frac{1}{x^a}+7\right)\ge 9\left(x+\frac{1}{x}\right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left(0;+\infty \right)?$ 

A. 17.                          

B. 18.                          

Đáp án chính xác

C. 20.                          

D. 19.

Trả lời:

Trường hợp a = 1: bất phương trình đã cho trở thành
$2\left(x+\frac{1}{x}+7\right)\ge 9\left(x+\frac{1}{x}\right)\iff x+\frac{1}{x}-2\le 0\iff \frac{{\left(x-1\right)}^2}{2}\le 0\iff x=1$ (do x > 0)
$\Rightarrow a=1$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp a = 2: bất phương trình đã cho trở thành
$2\left(x^2+\frac{1}{x^2}+7\right)\ge 9\left(x+\frac{1}{x}\right)\iff 2{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-9\left(x+\frac{1}{x}\right)+10\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}\ge \frac{5}{2}\\ x+\frac{1}{x}\le 2\end{array}\right.$
 
$\iff \left[\begin{array}{l}2x^2-5x+2\ge 0\\ x^2-2x+1\le 0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x\ge 2\\ 0<x\le \frac{1}{2}\\ x=1\end{array}\right.$(do x > 0).
$\Rightarrow a=2$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp $a\ge 3:$
Xét hàm số $f\left(a\right)=2\left(x^a+\frac{1}{x^a}+7\right)=2\left(x^a+x^{-a}+7\right)$ với x là tham số dương.
Ta có: $f‘\left(a\right)=2\left(x^a.\ln x-x^{-a}.\ln x\right)=2\left(x^a-\frac{1}{x^a}\right)\ln x.$
+) Nếu 0 < x < 1 thì $x^a\le x^3<1<\frac{1}{x^a}$ và $\ln x<0\Rightarrow f‘\left(a\right)>0,\forall a\ge 3.$
+) Nếu x = 1 thì f'(a) = 0
+) Nếu x > 1 thì $x^a\ge x^3>1>\frac{1}{x^a}$ và $\ln x>0\Rightarrow f‘\left(a\right)>0,\forall a\ge 3.$
Từ đó suy ra $f‘\left(a\right)\ge 0,\forall a\ge 3,$ tức là hàm số f(a) đồng biến trên nửa khoảng $\left[3;+\infty \right).$
$\Rightarrow f\left(a\right)\ge f\left(3\right)\iff 2\left(x^a+\frac{1}{x^a}+7\right)\ge 2\left(x^3+\frac{1}{x^3}+7\right)=2{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^3-6\left(x+\frac{1}{x}\right)+14.$
Đặt $t=x+\frac{1}{x}$ (điều kiện: $t\ge 2,$ do $x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2),$ ta được:
$2\left(x^a+\frac{1}{x^a}+7\right)\ge 2t^3-6t+14=\left(t-2\right)\left(2t^2+4t-7\right)+9t\ge 9t,\forall t\ge 2$
$\Rightarrow 2\left(x^a+\frac{1}{x^a}+7\right)\ge 9\left(x+\frac{1}{x}\right),\forall x>0.$
 
Suy ra với $a\ge 3$ thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \left(0;+\infty \right).$
Mặt khác, do a nguyên và $a\in \left[1;20\right]$ nên $a\in \left\{3;\mathrm{\dots };20\right\}.$
Vậy có 18 giá trị nguyên của a thỏa mãn.
Chọn B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai số phức z1=5−3i,z2=−1+2i. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z1+z2 bằng 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai số phức $z_1=5-3i,z_2=-1+2i.$ Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z_1+z_2$ bằng 

   A. 5                             

   B. 4                             

   C. 3                             

   Đáp án chính xác

   D. 7

   Trả lời:

   Ta có $z_1+z_2=4-i.$ Tổng phần thực và phần ảo của $z_1+z_2$ bằng 3.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Số phức nghịch đảo của z = 3 + 4i là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số phức nghịch đảo của z = 3 + 4i là 

   A. $\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i.$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i.$

   C. 4 + 3i

   D. 3 – 4i

   Trả lời:

   Số phức nghịch đảo của z = 3 + 4i là $\frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{3^2+4^2}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. ∫01x2dx bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx$ bằng

   A. $\frac{1}{3}$

   Đáp án chính xác

   B. -1

   C. 2

   D. 1

   Trả lời:

   Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.=\frac{1}{3}.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. ∫01x2dx bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx$ bằng

   A. $\frac{1}{3}$

   Đáp án chính xác

   B. -1

   C. 2

   D. 1

   Trả lời:

   Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.=\frac{1}{3}.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Với x > 0 đạo hàm của hàm số y=log5x là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với x > 0 đạo hàm của hàm số $y={\log }_{5}x$ là

   A. $y‘=\frac{x}{\ln 5}.$

   B. $y‘=\frac{1}{x}.$

   C. $y‘=\frac{1}{x\ln 5}.$

   Đáp án chính xác

   D. $y‘=\frac{\ln 5}{x}.$

   Trả lời:

   Ta có: $y‘=\left({\log }_{5}x\right)‘=\frac{1}{x\ln 5}.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====