Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA=a3. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD. Khoảng cách giữa hai đường SD và HK bằng: 

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $a,SA=a\sqrt{3}.$ Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD. Khoảng cách giữa hai đường SD và HK bằng: 

A. $\frac{a\sqrt{105}}{5}$

B. $\frac{a\sqrt{105}}{20}$

C. $\frac{a\sqrt{105}}{30}$

Đáp án chính xác

D. $\frac{a\sqrt{105}}{10}$

Trả lời:

Vì tam giác SAB cân nên $SH\perp AB$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)=AB\\ SH\subset \left(SAB\right),SH\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right).$
Vì HK là đường trung bình của tam giác SBD nên $HK//BD\Rightarrow HK//\left(SBD\right)\supset SD.$
$\Rightarrow d\left(SD;HK\right)=d\left(HK;\left(SBD\right)\right)=d\left(H;\left(SBD\right)\right).$
Gọi O, M lần lượt là trung điểm của BD, SO
Ta có $SC\perp BD$ (do ABCD là hình vuông), HM // AC (do HM là đường trung bình của $\Delta ABO$)
$\Rightarrow HM\perp BD$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}BD\perp HM\\ BD\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow BD\perp \left(SHM\right).$
Trong (SHM) kẻ $HI\perp SM$ ta có $\left\{\begin{array}{l}HI\perp SM\\ HI\perp BD\end{array}\right.\Rightarrow HI\perp \left(SBD\right)\Rightarrow d\left(H;\left(SBD\right)\right)=HI.$
Vì ABCD là hình vuông cạnh $a\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow HM=\frac{1}{2}AO=\frac{a\sqrt{2}}{4}.$
Ta có: $HD=\sqrt{A{H}^2+H{D}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+a^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$
Xét tam giác vuông SHD có: $SH=\sqrt{S{D}^2-H{D}^2}=\sqrt{3a^2-\frac{5a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}.$
Xét tam giác vuông SHM có: $HI=\frac{SH.HM}{\sqrt{S{H}^2+H{M}^2}}=\frac{\frac{a\sqrt{7}}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{\frac{7a^2}{4}+\frac{a^2}{8}}}=\frac{a\sqrt{105}}{30}.$
Vậy $d\left(HK;SD\right)=\frac{a\sqrt{105}}{30}.$
Chọn C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình nón có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 8. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình nón có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 8. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

   A. $120\pi .$

   B. $64\pi .$

   C. $60\pi .$

   Đáp án chính xác

   D. $80\pi .$

   Trả lời:

   Hình nón có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 8 nên đường sinh là $l=\sqrt{r^2+h^2}=10.$
   Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: $S_{xq}=\pi rl=60\pi .$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hai số phức z1=3−4i và z2=2+i. Số phức z1+iz2 bằng: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai số phức $z_1=3-4i$ và $z_2=2+i.$ Số phức $z_1+i{z}_2$ bằng: 

   A. 5 – 3i

   B. 5 + 3i

   C. 2 – 2i

   Đáp án chính xác

   D. 2 + 2i

   Trả lời:

   Ta có $\left\{\begin{array}{l}{z}_1=3-4i\\ z_2=2+i\end{array}\right.\Rightarrow z_1+i{z}_2=2-2i.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(5; 4; -3) đến trục Ox bằng 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(5; 4; -3) đến trục Ox bằng 

   A. 4                             

   B. 5                             

   Đáp án chính xác

   C. 3                             

   D. 25

   Trả lời:

   Khoảng cách từ A(5; 4; -3) xuống trục Ox bằng $\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}=5.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình fx=log2021 là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình $f\left(x\right)=\log 2021$ là:
   

   A. 1

   B. 2                             

   C. 3                             

   Đáp án chính xác

   D. 0

   Trả lời:

   Số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=\log 2021$ là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng $y=\log 2021.$
   Ta có $\log 2021\approx 3,3$
   Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình $f\left(x\right)=\log 2021$ có 3 nghiệm phân biệt.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là 8, chiều cao là 6. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng    
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là 8, chiều cao là 6. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng    

   A. 16                           

   B. 36                           

   C. 48                           

   Đáp án chính xác

   D. 24

   Trả lời:

   Khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 8 và chiều cao bằng 6 nên thể tích khối là $V=S_d.h=48.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====