Trong mặt phẳng (α) cho hai tia Ox, Oy và ∠xOy=600. Trên tia Oz vuông góc với mặt phẳng (α) tại O, lấy điểm S sao cho SO = a. Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên hai tia Ox, Oy sao cho OM + ON = a (a > 0 và M, N khác O). Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của O trên hai cạnh SM, SN. Mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK có diện tích nhỏ nhất bằng 

Câu hỏi:

Trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cho hai tia Ox, Oy và $\angle xOy={60}^0.$ Trên tia Oz vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ tại O, lấy điểm S sao cho SO = a. Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên hai tia Ox, Oy sao cho OM + ON = a (a > 0 và M, N khác O). Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của O trên hai cạnh SM, SN. Mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK có diện tích nhỏ nhất bằng 

A. $\frac{2\pi a^2}{3}$

B. $\pi a^2$

C. $2\pi a^2$

D. $\frac{\pi a^2}{3}$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN, D’ là điểm đối xứng với I qua O
Ta có:
$\left\{\begin{array}{l}DM\perp OM\\ DM\perp SO\end{array}\right.\Rightarrow DM\perp \left(SOM\right)\Rightarrow DM\perp OH$
$\left\{\begin{array}{l}OH\perp DM\\ OH\perp SM\end{array}\right.\Rightarrow OH\perp \left(SDM\right)\Rightarrow OH\perp HD$
$\Rightarrow \angle OHD={90}^0\Rightarrow IO=IH=ID.$
Chứng minh tương tự ta có $OK\perp \left(SDN\right)\Rightarrow OK\perp KD\Rightarrow \angle OKD={90}^0\Rightarrow IO=IK=ID.$
$\Rightarrow IO=IM=IN=IH=IK\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện MNHOK.
Gọi P và Q là trung điểm OM và ON nên P và Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OHM và OKN.
Ta có bán kính mặt cầu này là:
$R=IO=R_{\Delta OMN}=\frac{MN}{2\sin \angle MON}$
$=\frac{\sqrt{O{M}^2+O{N}^2-2OM.ON.\cos OMN}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{O{M}^2+O{N}^2-OM.ON}}{\sqrt{3}}$
Ta có: $O{M}^2+O{N}^2-OM.ON={\left(OM+ON\right)}^2-3OM.ON=a^2-3OM.ON$
Lại có $OM.ON\le \frac{{\left(OM+ON\right)}^2}{4}=\frac{a^2}{4}$ nên $O{M}^2+O{N}^2-OM.ON\ge a^2-3\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{4}.$
Do đó ta có $R\ge \frac{\sqrt{\frac{a^2}{4}}}{\sqrt{3}}=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$
Vậy $S=4\pi R^2\ge 4\pi .{\left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{\pi a^2}{3}.$
Chọn D.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình nón có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 8. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình nón có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 8. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

   A. $120\pi .$

   B. $64\pi .$

   C. $60\pi .$

   Đáp án chính xác

   D. $80\pi .$

   Trả lời:

   Hình nón có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 8 nên đường sinh là $l=\sqrt{r^2+h^2}=10.$
   Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: $S_{xq}=\pi rl=60\pi .$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hai số phức z1=3−4i và z2=2+i. Số phức z1+iz2 bằng: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai số phức $z_1=3-4i$ và $z_2=2+i.$ Số phức $z_1+i{z}_2$ bằng: 

   A. 5 – 3i

   B. 5 + 3i

   C. 2 – 2i

   Đáp án chính xác

   D. 2 + 2i

   Trả lời:

   Ta có $\left\{\begin{array}{l}{z}_1=3-4i\\ z_2=2+i\end{array}\right.\Rightarrow z_1+i{z}_2=2-2i.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(5; 4; -3) đến trục Ox bằng 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(5; 4; -3) đến trục Ox bằng 

   A. 4                             

   B. 5                             

   Đáp án chính xác

   C. 3                             

   D. 25

   Trả lời:

   Khoảng cách từ A(5; 4; -3) xuống trục Ox bằng $\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}=5.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình fx=log2021 là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình $f\left(x\right)=\log 2021$ là:
   

   A. 1

   B. 2                             

   C. 3                             

   Đáp án chính xác

   D. 0

   Trả lời:

   Số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=\log 2021$ là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng $y=\log 2021.$
   Ta có $\log 2021\approx 3,3$
   Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình $f\left(x\right)=\log 2021$ có 3 nghiệm phân biệt.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là 8, chiều cao là 6. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng    
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là 8, chiều cao là 6. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng    

   A. 16                           

   B. 36                           

   C. 48                           

   Đáp án chính xác

   D. 24

   Trả lời:

   Khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 8 và chiều cao bằng 6 nên thể tích khối là $V=S_d.h=48.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====