Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn lnx+15y+1≤25y4+10y3−x2y2−2y2x, với y≤2022? 

Câu hỏi:

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn $\ln \frac{x+1}{5y+1}\le 25y^4+10y^3-x^2{y}^2-2y^{2}x,$ với $y\le 2022?$ 

A. 10246500               

B. 10226265               

Đáp án chính xác

C. 2041220                 

D. 10206050 

Trả lời:

Ta có: $25y^4+10y^3-x^2{y}^2-2y^{2}x$
$=25y^4+10y^3+y^2-x^2{y}^2-2y^{2}x-y^2$
$=\left(25y^4+10y^3+y^2\right)-\left(x^2{y}^2+2y^{2}x+y^2\right)$
$=y^2\left(25y^2+10y+1\right)-y^2\left(x^2+2x+1\right)$
$=y^2\left[{\left(5y+1\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2\right]$
Do đó: $\ln \frac{x+1}{5y+1}\le 25y^2+10y^3-x^2{y}^2-2y^{2}x$
$\Rightarrow \ln \left(x+1\right)-\ln \left(5y+1\right)\le y^2\left[{\left(5y+1\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2\right]$
+) TH1: $x+1>5y+1$ thì vế phải âm (không thỏa mãn).
+) TH2: $x+1\le 5y+1$ thì vế trái không dương, vế phải không âm nên sẽ luôn thỏa mãn khi
$\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x+1>0\\ 5y+1>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x+1<0\\ 5y+1<0\end{array}\right.\end{array}\right.\\ x+1\le 5y+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>-1\\ y>-\frac{1}{5}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x<-1\\ y<-\frac{1}{5}\end{array}\right.\end{array}\right.\\ x\le 5y\end{array}\right..$ Do x, y là số nguyên dương nên ta có:
$\left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>-1\\ y>-\frac{1}{5}\end{array}\right.\\ x\le 5y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ y\ge 1\\ x\le 5y\end{array}\right.\left(y\le 2022;x,y\in \mathbb{Z}\right).$
 
Vậy $y\in \left[1;2022\right],x\in \left[1;10110\right].$
Ứng với mỗi y nguyên dương có 5y cặp (x, y) Do đó số cặp:
$5\left(1+2+3+\mathrm{\dots }+2022\right)=\frac{\mathrm{5.2022.2023}}{2}=10226265$ cặp.
Chọn B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tìm các số thực a và b thỏa mãn 2a + (b + i)i = 1 + 2i 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm các số thực a và b thỏa mãn 2a + (b + i)i = 1 + 2i 

   A. a = 0, b = 2

   B. a = 1, b = 2

   Đáp án chính xác

   C. a = 0, b = 1

   D. $a=\frac{1}{2},b=1.$

   Trả lời:

   Ta có $2a+\left(b+i\right)i=1+2i\iff \left(2a-1\right)+bi=1+2i\iff \left\{\begin{array}{l}2a-1=1\\ b=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}\right..$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Hàm số y=3x có đạo hàm là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=3^x$ có đạo hàm là

   A. $y‘=3^x.$

   B. $y‘=\frac{3^x}{\ln 3}.$

   C. $y‘=x{.3}^{x-1}.$

   D. $y‘=3^x\ln 3.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Ta có $y‘=\left(3^x\right)‘=3^x\ln 3.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Mặt cầu S:x+12+y−22+z−12=9 có tọa độ tâm I là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9$ có tọa độ tâm I là 

   A. (1; -2; -1)

   B. (-1; 2; 1)

   Đáp án chính xác

   C. (1; -2; 1)

   D. (1; 2; 1)

   Trả lời:

   Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9$ có tọa độ tâm I(-1; 2; 1)
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là

   A. $V=\frac{1}{3}Bh.$

   Đáp án chính xác

   B. $V=\frac{1}{6}Bh.$

   C. V = Bh

   D. $V=\frac{1}{2}Bh.$

   Trả lời:

   Thể tích của khối chóp là $V=\frac{1}{3}Bh.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Thể tích của khối cầu có bán kính b bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thể tích của khối cầu có bán kính b bằng

   A. $\frac{4\pi b^3}{3}$

   Đáp án chính xác

   B. $4\pi b^3$

   C. $\frac{\pi b^3}{3}$

   D. $2\pi b^3$

   Trả lời:

   Thể tích của khối cầu là $\frac{4\pi b^3}{3}.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====