Cho hàm số y=fx=x3+3x−4. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình fx3=fx+m3+m có đúng hai nghiệm phân biệt?

Câu hỏi:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3+3x-4$. Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để phương trình ${\left(f\left(x\right)\right)}^3=\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}+m$ có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. Vô số.

B. 2.

Đáp án chính xác

C. 4.

D. 5.

Trả lời:

Đáp án B
Đặt $u=\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}\Rightarrow u^3=f\left(x\right)+m$ . Khi đó, ${\left(f\left(x\right)\right)}^3=u+m$
$\Rightarrow u^3+u={\left(f\left(x\right)\right)}^3+f\left(x\right)\left(*\right)$

Xét hàm số $g\left(x\right)=x^3+x\Rightarrow g^{‘}\left(x\right)=3x^2+1>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$
Þ Hàm số $y=g\left(x\right)$  luôn đồng biến trên $ℝ$
$\iff \left(*\right)\iff u=f\left(x\right)\iff {\left(f\left(x\right)\right)}^3-m=f\left(x\right)\iff {\left(f\left(x\right)\right)}^3-f\left(x\right)=m\left(**\right)$

Đặt $t=f\left(x\right)\Rightarrow \left(**\right)\iff t^3-t=m$
Xét hàm số $y=f\left(x\right)=x^3+3x-4\Rightarrow f^{‘}\left(x\right)=3x^2+3>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$
Þ Hàm số $y=f\left(x\right)$  luôn đồng biến trên $ℝ$
Þ Mỗi giá trị của t cho duy nhất một nghiệm của phương trình $x^3+3x-4=t$
Þ Phương trình ${\left(f\left(x\right)\right)}^3=\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}+m$ có đúng hai nghiệm phân biệt thì phương trình $t^3-t=m$ có đúng hai nghiệm phân biệt.
Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3-t\Rightarrow f^{‘}\left(t\right)=3t^2-1$
$f^{‘}\left(t\right)=0\iff t=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có phương trình $t^3-t=m$ có đúng hai nghiệm phân biệt $\iff m=\pm \frac{2\sqrt{3}}{9}$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho số phức z=1+i . Số phức nghịch đảo của z có điểm biểu diễn là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho số phức $z=1+i$ . Số phức nghịch đảo của $z$ có điểm biểu diễn là

   A. $\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$.

   Đáp án chính xác

   B. $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.

   C. $\left(1;-1\right)$.

   D. $\left(-1;-1\right)$.

   Trả lời:

   Đáp án A
   Ta có: $\frac{1}{z}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$  Þ Điểm biểu diễn của số phức $\frac{1}{z}$  là  $\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a thì có diện tích bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh $a$ thì có diện tích bằng

   A. $a^3$.

   B. $\frac{4\pi a^3}{3}$.

   C. $3\pi a^2$.

   Đáp án chính xác

   D. $12\pi a^2\sqrt{3}$.

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có $R=OD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow S=4\pi {\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=3\pi a^2$ .
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Hàm số y=fx  liên tục và có đạo hàm trên ℝ , đồ thị hàm số y=f’x  như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y=fx là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=f\left(x\right)$  liên tục và có đạo hàm trên $ℝ$ , đồ thị hàm số $y=f^{‘}\left(x\right)$  như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$ là
   
    

   A. 0.

   B. 1.

   C. 2.

   Đáp án chính xác

   D. 3.

   Trả lời:

   Đáp án C
   Từ hình vẽ thấy $f^{‘}\left(x\right)=0$  có 2 nghiệm và $f^{‘}\left(x\right)=0$  đổi dấu khi đi qua hai nghiệm
   Þ hàm số $y=f\left(x\right)$  có 2 điểm cực trị.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Họ nguyên hàm của hàm số fx=cos2x  là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cos 2x$  là

   A. $-\frac{1}{2}\sin 2x+C$.

   B. $\sin 2x+C$.

   C. $\frac{1}{2}\sin 2x+C$.

   Đáp án chính xác

   D. $-\sin 2x+C$.

   Trả lời:

   Đáp án C
   Có $\int \cos 2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x+C$  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Hàm số y=x.lnx đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=x.\ln x$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

   A. $\left(\frac{1}{e};+\infty \right)$.

   Đáp án chính xác

   B. $\left(0;+\infty \right)$.

   C. $\left(0;\frac{1}{e}\right)$.

   D. $\left(0;1\right)$.

   Trả lời:

   Đáp án A
   Ta có $y^{‘}=\ln x+1$ . Hàm số đồng biến $\iff y^{‘}>0\iff \ln x>-1\iff x>\frac{1}{e}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====