Cho hình chóp S.ABCD  có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=2a, AD=2a , SA vuông góc với đáy và SA=2a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SAC ?

Câu hỏi:

Cho hình chóp $S.ABCD$  có đáy ABCD là hình chữ nhật $AB=\sqrt{2}a,AD=2a$ , SA vuông góc với đáy và $SA=\sqrt{2}a$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $\left(SAC\right)$ ?

A. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

Trả lời:

Đáp án B
Cách 1: Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC khi đó $\left(MPQ\right)//\left(SAC\right)$$\Rightarrow \left(MN,\left(SAC\right)\right)=\left(MN,\left(MPQ\right)\right)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên PQ $\Rightarrow NH\perp \left(MPQ\right)$
Suy ra: $\left(MN,\left(MPQ\right)\right)=\widehat{NMH}$
 
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}NH=\frac{2S_{NPQ}}{PQ}=\frac{2.\frac{1}{4}{S}_{ABCS}}{\frac{AC}{2}}=\frac{S_{ABCD}}{AC}=\frac{AB.BC}{\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}}=\frac{a\sqrt{2}.2a}{a\sqrt{6}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}\\ MN=\sqrt{A{M}^2+A{N}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\end{array}\right.$
Suy ra: $MH=\sqrt{M{N}^2-N{H}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)}^2}=\frac{\sqrt{6}a}{3}$
Suy ra $\cos \widehat{NMP}=\frac{MH}{MN}=\frac{a\sqrt{6}}{3}:a\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

 
Cách 2: Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ và cho a = 1.
Khi đó: $A\left(0;0;0\right),B\left(\sqrt{2};0;0\right),C\left(\sqrt{2};2;0\right),D\left(0;2;0\right),S\left(0;0;\sqrt{2}\right)$
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}M\left(\frac{\sqrt{2}}{2};0;\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ N\left(0;1;0\right)\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{NM}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};-1;\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AC}=\left(\sqrt{2};2;0\right)\\ \overrightarrow{AS}=\left(0;0;\sqrt{2}\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS}\right]=\left(2\sqrt{2};-2;0\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(SAC\right)}}=\left(\sqrt{2};-1;0\right)$
Suy ra $\sin \left(MN,\left(SAC\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u_{MN}}.\overrightarrow{n_{\left(SAC\right)}}\right|}{\left|\overrightarrow{u_{MN}}\right|.\left|\overrightarrow{n_{\left(SAC\right)}}\right|}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\Rightarrow \cos \left(MN,\left(SAC\right)\right)=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tính thể tích V của khối trụ có bán kính và chiều cao đều bằng 6a.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính thể tích V của khối trụ có bán kính và chiều cao đều bằng 6a.

   A. $V=72\pi a^3$

   B. $V=9\pi a^3$

   C. $V=216\pi a^3$

   Đáp án chính xác

   D. $V=72\pi a^3$

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có: $V=h.\pi R^2=6a.\pi .{\left(6a\right)}^2=216\pi a^3$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số y=fx  có bảng biến thiên như hình bên. Tổng các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có bảng biến thiên như hình bên. Tổng các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số bằng:
   

   A. 1

   B. -1

   C. -4

   D. -2

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{y}_{CÐ}=3\\ y_{CT}=-5\end{array}\right.\Rightarrow y_{CÐ}+y_{CT}=-2$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:x−12=y+1−2=z1 , một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1}$ , một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là:

   A. $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;0\right)$

   B. $\overrightarrow{u}=\left(2;-2;0\right)$

   C. $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;1\right)$

   D. $\overrightarrow{u}=\left(2;-2;1\right)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Vectơ chỉ phương của d là: $\overrightarrow{u}=\left(2;-2;1\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
   

   A. $y=\frac{x+3}{x}$

   B. $y=x^3+3x^2$

   C. $y=x^4-3x^2$

   D. $y=x^3-6x^2+9x$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   +) Đồ thị đi qua điểm $O\left(0;0\right)$  và có 2 điểm cực trị  $\Rightarrow$loại A, C.
   +) Đồ thị đi qua điểm $\left(3;0\right)$ , suy ra loại B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho ∫02fxdx=4  và ∫20gxdx=1 , khi đó ∫02fx+2gxdx bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=4$  và $\underset{2}{\overset{0}{\int }}g\left(x\right)dx=1$ , khi đó $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[f\left(x\right)+2g\left(x\right)\right]dx$ bằng

   A. 3

   B. 2

   Đáp án chính xác

   C. 5

   D. 6

   Trả lời:

   Đáp án B
   Ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[f\left(x\right)+2g\left(x\right)\right]dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx-2\underset{2}{\overset{0}{\int }}g\left(x\right)dx=4-2.1=2$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====