Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:x−11=y−12=z2  và mặt phẳng α:x−2y+2z−5=0.  Gọi (P) là mặt phẳng chứa  Δ và tạo với α  một góc nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng ax+by+cx+d=0a,b,c,d∈ℤ;a,b,c,d

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$  và mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-2y+2z-5=0.$  Gọi (P) là mặt phẳng chứa  $\Delta$ và tạo với $\left(\alpha \right)$  một góc nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng $ax+by+cx+d=0\left(a,b,c,d\in \mathbb{Z};a,b,c,d<5\right).$  Khi đó tích abcd bằng

A. $-60.$

B. $-120.$

Đáp án chính xác

C. $120.$

D. $60.$

Trả lời:

Đáp án B
 $\left(\alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;2\right).$
 $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $2x-y-1=0;y-z-1=0.$
(P) là mặt phẳng chứa $\Delta$  nên phương trình (P) có dạng $m\left(2x-y-1\right)+n\left(y-z-1\right)=0;\left(m^2+n^2>0\right).$
$\Rightarrow 2mx+\left(n-m\right)y-nz-m-n=0$
$\cos \left(\left(P\right),\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|4m-4n\right|}{3\sqrt{5m^2-2mn+2n^2}}.$

+ Với n = 0: $\cos \left(\left(P\right),\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|4m\right|}{3\sqrt{5m^2}}=\frac{4}{3\sqrt{5}}$
+ Với $n\ne 0:\cos \left(\left(P\right),\left(\alpha \right)\right)=\frac{4\left|\frac{m}{n}-1\right|}{\sqrt[3]{5{\left(\frac{m}{n}\right)}^2-2\frac{m}{n}+2}}.$
Đặt $t=\frac{m}{n},\cos \left(\left(P\right),\left(\alpha \right)\right)=\frac{4\left|t-1\right|}{3\sqrt{5t^2-2t+2}}=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{t^2-2t+1}{5t^2-2t+2}}$
Xét $f\left(t\right)=\frac{t^2-2t+1}{5t^2-2t+2}$
$f^{‘}\left(t\right)=\frac{8t^2-6t-2}{{\left(5t^2-2t+2\right)}^2};f^{‘}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$

(P) là mặt phẳng tạo với $\left(\alpha \right)$  một góc nhỏ nhất nên $\cos \left(\left(P\right),\left(\alpha \right)\right)=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{4\sqrt{5}}{9}$
Khi đó $t=-\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{m}{n}=-\frac{1}{4}.$
Chọn $m=1;n=-4$  ta được phương trình mặt phẳng $\left(P\right):2x-5y+4z+3=0.$

Khi đó $a=2;b=-5;c=4;d=3\Rightarrow abcd=-120.$
 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên Khẳng định nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên
   
   Khẳng định nào sau đây là đúng?

   A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2

   Đáp án chính xác

   B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3

   C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4

   D. Hàm số đạt cực đại tại x = –2

   Trả lời:

   Đáp án A
   Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $y^{‘}$  đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x = 2, do đó hàm số cực đại tại x = 2.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Nếu log8a+log4b2=5 và log4a2+log8b=7  thì giá trị của ab là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Nếu ${\log }_{8}a+{\log }_4{b}^2=5$ và ${\log }_4{a}^2+{\log }_{8}b=7$  thì giá trị của ab là

   A. $2^9.$

   Đáp án chính xác

   B. $2^{18}.$

   C. 8

   D. 2

   Trả lời:

   Đáp án A
   Điều kiện $a>\mathrm{0,}b>0.$
   $\left\{\begin{array}{l}{\log }_{8}a+{\log }_4{b}^2=5\\ {\log }_4{a}^2+{\log }_{8}b=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}{\log }_{2}a+{\log }_{2}b=5\\ {\log }_{2}a+\frac{1}{3}{\log }_{2}b=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\log }_{2}a=6\\ {\log }_{2}b=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2^6.\\ b=2^3.\end{array}\right.$

   Vậy $ab=2^9.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đồ thị sau đây là của hàm số nào?
   

   A. $y=x^4+2x^2-3.$

   B. $y=x^4-3x^2-3.$

   C. $y=x^4-2x^2-3.$

   Đáp án chính xác

   D. $y=-\frac{1}{4}{x}^4+3x^2-3.$

   Trả lời:

   Đáp án C
   Đồ thị có$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty \Rightarrow$ D sai.
   Hàm số có các điểm cực trị là $x=\mathrm{0,}x=\pm 1\Rightarrow$ A, B sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng 20. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng 20. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho

   A. $d=-5.$

   Đáp án chính xác

   B. $d=4.$

   C. $d=-4.$

   D. $d=5.$

   Trả lời:

   Đáp án A
   Gọi năm số hạng của cấp số cộng đã cho là: $u_1;u_2;u_3;u_4;u_5.$
   Theo đề bài ta có: $u_1-u_5=20\iff u_1-\left(u_1+4d\right)=20\iff d=-5.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A1;−2;1  và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 1 = 0. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm $A\left(1;-2;1\right)$  và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 1 = 0. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng

   A. $\frac{2}{3}.$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{1}{3}.$

   C. 1.

   D. 2.

   Trả lời:

   Đáp án A
   Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng $d\left(A,\left(P\right)\right)=\frac{\left|1-4+2-1\right|}{3}=\frac{2}{3}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====