Cho bất phương trình log3a11+log17x2+3ax+10+4.log3ax2+3ax+12≥0. Giá trị thực của tham số a để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào sau đây?

Câu hỏi:

Cho bất phương trình ${\log }_{3a}11+{\log }_{\frac{1}{7}}\left(\sqrt{x^2+3ax+10}+4\right).{\log }_{3a}\left(x^2+3ax+12\right)\ge 0.$ Giá trị thực của tham số $a$ để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào sau đây?

A. $\left(-1;0\right)$

B. $\left(1;2\right)$

C. $\left(0;1\right)$

Đáp án chính xác

D. $\left(2;+\infty \right)$

Trả lời:

Đặt $m=3a$ khi đó bất phương trình đã cho trở thành
${\log }_{m}11+{\log }_{\frac{1}{7}}\left(\sqrt{x^2+mx+10}+4\right).{\log }_m\left(x^2+mx+12\right)\ge 0$        $\left(1\right)$
Điều kiện của bất phương trình là $m>0;m\ne 1;x^2+mx+10\ge 0.$ Ta có:
$\left(1\right)\iff \frac{1-{\log }_7\left(\sqrt{x^2+mx+10}+4\right).{\log }_{11}\left(x^2+mx+12\right)}{{\log }_{11}m}\ge 0$         $\left(2\right)$
Đặt $u=x^2+mx+\mathrm{10,}u\ge 0.$
* Với $0<m<1.$ Ta có
            $\left(2\right)\iff f\left(u\right)={\log }_7\left(\sqrt{u}+4\right).{\log }_{11}\left(u+2\right)\ge 1=f\left(9\right).$      $\left(3\right)$
Vì $f\left(u\right)$ là hàm tăng trên $\left(0;+\infty \right)$ nên từ $\left(3\right)$ ta có
            $f\left(u\right)\ge f\left(9\right)\iff u\ge 9\iff x^2+mx+1\ge 0.$       $\left(4\right)$
$\left(4\right)$ vô số nghiệm vì $\Delta =m^2-4<0$ với $\forall m\in \left(0;1\right).$ Suy ra $0<m<1$ không thỏa bài toán.
* Với $m>1.$ Ta có
            $\left(2\right)\iff f\left(u\right)\le f\left(9\right)\iff 0\le u\le 9\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+mx+10\ge 0\left(5\right)\\ x^2+mx+1\le 0\left(6\right)\end{array}\right.$
Xét $\left(6\right)$, ta có $\Delta =m^2-4.$
            + $m^2-4<0\iff 1<m<2$ thì $\left(6\right)$ vô nghiệm. Không thỏa bài toán.
            + $m^2-4>0\iff m>2$ thì $\left(6\right)$ có nghiệm là đoạn $\left[x_1;x_2\right]$, lúc này $\left(5\right)$ nhận hơn 1 số của $\left[x_1;x_2\right]$ làm nghiệm. Không thỏa bài toán.
            + $m^2-4=0\iff m=2$ thì $\left(6\right)$ có nghiệm duy nhất $x=-1$ và $x=-1$ thỏa $\left(5\right).$ Do đó bất phương trình có nghiệm duy nhất là $x=-1.$
Vậy $m=2\iff a=\frac{2}{3}.$
Chọn đáp án C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Một tổ học sinh có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh của tổ đó tham gia đội xung kích? 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một tổ học sinh có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh của tổ đó tham gia đội xung kích? 

   A. $4!$

   B.$C_5^4+C_7^4$

   C.$A_{12}^4$

   D.$C_{12}^4$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Số cách chọn 4 học sinh của tổ đó tham gia đội xung kích là $C_{12}^4$

   Chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Câu 2: Cấp số cộng un có số hạng tổng quát un=2n+3.  Số hạng thứ 10 có giá trị bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Câu 2: Cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng tổng quát $u_n=2n+3.$  Số hạng thứ 10 có giá trị bằng

   A. 23 

   Đáp án chính xác

   B. 280

   C. 140

   D. 20

   Trả lời:

   Ta có số hạng thứ 10 là $u_{10}=2.10+3=23.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Hàm số y=fx có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số y=fx đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
   

   A.$\left(-\infty ;0\right)$

   B.$\left(2;+\infty \right)$

   C.$\left(1;5\right)$

   D.$\left(0;2\right)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right),$ hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;2\right).$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y=fx có bảng biến thiên như sau
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau
   

   A.$x=5$

   B.$x=2$

   Đáp án chính xác

   C.$x=1$

   D.$x=0$

   Trả lời:

   Nhìn bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=2.$

   Chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y=fx có đạo hàm trên ℝ. Biết rằng hàm số y=f’x có đồ thị như hình bên. Đặt gx=fx+x. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $ℝ.$ Biết rằng hàm số $y=f‘\left(x\right)$ có đồ thị như hình bên. Đặt $g\left(x\right)=f\left(x\right)+x.$ Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?
   

   A. Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu

   B. Hàm số không có điểm cực đại và có một điểm cực tiểu.

   C. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

   D. Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $ℝ$ nên hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)+x$ cũng có đạo hàm trên $ℝ$ và $g‘\left(x\right)=f‘\left(x\right)+1;g‘\left(x\right)=0\iff f‘\left(x\right)=-1.$
   Dựa vào đồ thị $f‘\left(x\right)$ ta có $f‘\left(x\right)=-1$ có ba nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ với $x_1<x_2<x_3.$
   Bảng biến thiên của $g\left(x\right):$
   
   Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
   Chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====