Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB=a,ACB^=300 và SA=SB=SD với D là trung điểm BC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 3a4.Tính cos góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC. 

Câu hỏi:

Hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ với $AB=a,\widehat{ACB}={30}^0$ và $SA=SB=SD$ với $D$ là trung điểm $BC.$ Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng $\frac{3a}{4}.$Tính cos góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBC\right)$. 

A. $\frac{2\sqrt{5}}{11}.$

B. 3

C. $\frac{\sqrt{65}}{13}.$

Đáp án chính xác

D. $\frac{\sqrt{5}}{33}.$

Trả lời:

Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $D$ là trung điểm $BC$ và $\widehat{ACB}={60}^0$ nên tam giác $ABD$ đều cạnh $a$ và $BC=2a,CA=a\sqrt{3}.$
Dựng $SH\perp \left(ABC\right)$ với $H\in \left(ABC\right)$.
$\Rightarrow H$ là tâm tam giác đều $BAD$ do $SA=SB=SD.$
Gọi hình chiếu của $H$ lên $AB,AC$ thứ tự là $E,F$.
Gọi $M$ là trung điểm đoạn $BD.$
$\Rightarrow AM=\sqrt{B{A}^2-B{M}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
$\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ và $HE=HM=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$
Ta có: $SH\perp BC,AM\perp BC$ nên $BC\perp \left(SAM\right).$
Kẻ $MN\perp SA\left(N\in SA\right)$ thì $MN$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $BC$ hay $MN=\frac{3a}{4}.$
$\Rightarrow NA=\sqrt{M{A}^2-M{N}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$
Trong tam giác $SAM$ có $MN,SH$ là hai đường cao nên $AH.AM=AN.AS.$
$\Rightarrow AS=\frac{AH.AM}{AN}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=a.$
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại $A$ và các trục tọa độ như hình vẽ với tia $Ox$ trùng với tia $AB,$ tia $Oy$ trùng với tia $AC$ và tia $Oz$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và có hướng theo $\overrightarrow{HS}.$ Các đơn vị trên các trục bằng nhau và bằng $a.$
Khi đó: $A\left(0;0;0\right),B\left(1;0;0\right),C\left(0;\sqrt{3};0\right)$.
Do $HF=AE=\frac{a}{2},HE=HM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ và $SH=a$ nên $S\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{6};1\right).$
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(SAC\right)$ là
                                                   $\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS}\right]=\left(\sqrt{3};0;\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)$.
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(SBC\right)$ là
                                                   $\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{SC}\right]=\left(-\sqrt{3};-1;\frac{-\sqrt{3}}{3}\right).$
Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBC\right),$ ta có:
                                                   $\cos \alpha =\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\sqrt{65}}{13}.$
Chọn đáp án C.
 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Một tổ học sinh có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh của tổ đó tham gia đội xung kích? 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một tổ học sinh có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh của tổ đó tham gia đội xung kích? 

   A. $4!$

   B.$C_5^4+C_7^4$

   C.$A_{12}^4$

   D.$C_{12}^4$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Số cách chọn 4 học sinh của tổ đó tham gia đội xung kích là $C_{12}^4$

   Chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Câu 2: Cấp số cộng un có số hạng tổng quát un=2n+3.  Số hạng thứ 10 có giá trị bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Câu 2: Cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng tổng quát $u_n=2n+3.$  Số hạng thứ 10 có giá trị bằng

   A. 23 

   Đáp án chính xác

   B. 280

   C. 140

   D. 20

   Trả lời:

   Ta có số hạng thứ 10 là $u_{10}=2.10+3=23.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Hàm số y=fx có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số y=fx đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
   

   A.$\left(-\infty ;0\right)$

   B.$\left(2;+\infty \right)$

   C.$\left(1;5\right)$

   D.$\left(0;2\right)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right),$ hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;2\right).$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y=fx có bảng biến thiên như sau
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau
   

   A.$x=5$

   B.$x=2$

   Đáp án chính xác

   C.$x=1$

   D.$x=0$

   Trả lời:

   Nhìn bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=2.$

   Chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y=fx có đạo hàm trên ℝ. Biết rằng hàm số y=f’x có đồ thị như hình bên. Đặt gx=fx+x. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $ℝ.$ Biết rằng hàm số $y=f‘\left(x\right)$ có đồ thị như hình bên. Đặt $g\left(x\right)=f\left(x\right)+x.$ Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?
   

   A. Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu

   B. Hàm số không có điểm cực đại và có một điểm cực tiểu.

   C. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

   D. Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $ℝ$ nên hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)+x$ cũng có đạo hàm trên $ℝ$ và $g‘\left(x\right)=f‘\left(x\right)+1;g‘\left(x\right)=0\iff f‘\left(x\right)=-1.$
   Dựa vào đồ thị $f‘\left(x\right)$ ta có $f‘\left(x\right)=-1$ có ba nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ với $x_1<x_2<x_3.$
   Bảng biến thiên của $g\left(x\right):$
   
   Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
   Chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====