Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD bằng φ, với cosφ=13. Thể tích khối chóp đã cho bằng 

Câu hỏi:

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a.$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(SCD\right)$ bằng $\phi ,$ với $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{3}}.$ Thể tích khối chóp đã cho bằng 

A. $\frac{2a^3}{3}.$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}.$

Đáp án chính xác

C. $a^3\sqrt{2}$

D. $\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{3}.$

Trả lời:

Đặt $AD=x$ với $x>0.$
Trong mặt phẳng $\left(SAC\right):$ kẻ $AH\perp SB$ tại $H;$ trong mặt phẳng $\left(SAD\right)$, kẻ $AK\perp SD$ tại $K.$
Dễ dàng chứng minh được $AH\perp \left(SBC\right)$, $AK\perp \left(SCD\right)$ và $H$ là trung điểm của $SB.$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ
Ta có: $A\left(0;0;0\right),B\left(a;0;0\right),S\left(0;0;a\right),D\left(0;x;0\right),H\left(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}\right)$
Suy ra: $\overrightarrow{SD}=\left(0;x;-a\right),\overrightarrow{AS}=\left(0;0;a\right),\overrightarrow{AH}=\left(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}\right).$

Trong tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có
                                        $S{A}^2=SK.SD\iff \frac{SK}{SD}=\frac{S{A}^2}{S{D}^2}=\frac{S{A}^2}{S{A}^2+A{D}^2}=\frac{a^2}{a^2+x^2}$
                                   $\Rightarrow \overrightarrow{SK}=\frac{a^2}{a^2+x^2}\overrightarrow{SD}\iff \overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AS}=\frac{a^2}{a^2+x^2}\overrightarrow{SD}$
                                   $\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{a^2}{a^2+x^2}\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{AS}\iff \overrightarrow{AK}=\left(0;\frac{a^{2}x}{a^2+x^2};\frac{a{x}^2}{a^2+x^2}\right)$.
Do $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AK}$ lần lượt là hai véc-tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(SCD\right)$ nên
                                                   $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{3}}\iff \frac{\left|\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AK}\right|}{\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{AK}\right|}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
                                                   $\iff \sqrt{3}\left|\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AK}\right|=\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{AK}\right|$
                                                   $\iff \sqrt{3}.\left|\frac{a}{2}.\frac{a{x}^2}{a^2+x^2}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{\frac{a^4{x}^2}{{\left(a^2+x^2\right)}^2}+\frac{a^2{x}^4}{{\left(a^2+x^2\right)}^2}}$
            $\iff \frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{a^2.x^2}{a^2+x^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{a^{2}x}{a^2+x^2}.\sqrt{a^2+x^2}\iff \sqrt{3}x=\sqrt{2}.\sqrt{a^2+x^2}$
                                                   $\iff 3x^2=2a^2+2x^2\iff x^2=2a^2\iff x=a\sqrt{2}=AD.$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}SA.AB.AD=\frac{1}{3}.a.a.a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}.$
Chọn đáp án B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Có bao nhiêu cách chọn ba học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh? 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có bao nhiêu cách chọn ba học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh? 

   A. ${15}^3.$

   B. $3^{15}.$

   C. $A_{15}^3.$

   D. $C_{15}^3$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Số cách chọn ba học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh là $C_{15}^3.$
   Chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho cấp số cộng un biết u1=3,u2=−1. Tìm u3. 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ biết $u_1=\mathrm{3,}{u}_2=-1.$ Tìm $u_3.$ 

   A. $u_3=4.$

   B. $u_3=2.$

   C. $u_3=-5.$

   Đáp án chính xác

   D. $u_3=7.$

   Trả lời:

   Công thức tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu là $u_1$ và công sai $d$ là $u_n=u_1+\left(n-1\right)d.$
   Vậy ta có $d=u_2-u_1=-1-3=-4\Rightarrow u_3=u_2+d=-1+\left(-4\right)=-5$
   Chọn đáp án C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số y=fx có bảng biến thiên như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
   

   A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(3;+\infty \right).$

   B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right).$
    

   C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(3;+\infty \right).$

   Đáp án chính xác

   D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;3\right).$

   Trả lời:

   Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số
   Đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(-\frac{1}{2};3\right).$
   Nghịch biến trên khoảng $\left(3;+\infty \right).$
   Chọn đáp án C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y=fx có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đạt cực đại tại điểm
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đạt cực đại tại điểm
   

   A. $x=3$

   B. $x=-3$

   C. $x=1$

   Đáp án chính xác

   D. $x=4$

   Trả lời:

   Từ bảng biến thiên, nhận thấy $f‘\left(x\right)$ đổi dấu từ + sang $-$ tại $x=\mathrm{1,}$ do đó hàm số đạt cực đại tại điểm $x=1$ và $y_{CD}=3.$
   Chọn đáp án C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y=fx. Hàm số y=f’xcó đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y=fx
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$. Hàm số $y=f‘\left(x\right)$có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$
   

   A. 3

   B. 1

   Đáp án chính xác

   C. 0

   D. 2

   Trả lời:

   Từ đồ thị hàm số $y=f‘\left(x\right)$ ta thấy $f‘\left(x\right)$ đổi dấu một lần (cắt trục $Ox$ tại một điểm) do đó số điểm cực trị của hàm số $f\left(x\right)$ là 1.
   Chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====