Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): S:x−12+y+12+z−12=6 tâm I. Gọi là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d:x+11=y−3−4=z1 và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh I, đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biếtα không đi qua gốc tọa độ, gọi HxH,yH,zH là tâm của đường tròn (C) . Giá trị của biểu thức T=xH+yH+zH bằng

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=6$ tâm I. Gọi là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z}{1}$ và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh I, đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết$\left(\alpha \right)$ không đi qua gốc tọa độ, gọi $H\left(x_H,y_H,z_H\right)$ là tâm của đường tròn (C) . Giá trị của biểu thức $T=x_H+y_H+z_H$ bằng

A.  $\frac{1}{3}$

Đáp án chính xác

B.  $\frac{4}{3}$

C.  $\frac{2}{3}$

D.  $-\frac{1}{2}$

Trả lời:

Đáp án A
Mặt cầu (S) có tâm $I\left(1;-1;1\right)$ , bán kính $R=\sqrt{6}$ .
Gọi x là khoảng cách từ I đến mặt phẳng $\left(\alpha \right),0<x<\sqrt{6}$ . Khi đó, thể tích khối nón đỉnh I, đáy là đường tròn (C)   là: $V=\frac{1}{3}x\left(6-x^2\right)=-\frac{x^3}{3}+2\text{x}$
Xét hàm số $f\left(x\right)=-\frac{x^3}{3}+2\text{x}$ , với $0<x<\sqrt{6}$

$f^{‘}\left(x\right)=-x^2+2;\left(x\right)=0\iff x=\pm \sqrt{2}$
Hàm số $y=f\left(x\right)$  liên tục trên $\left[0;\sqrt{6}\right]$ , có $f\left(0\right)=f\left(\sqrt{6}\right)=\mathrm{0,}\text{ f}\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}$  , nên $\max \left[0;\sqrt{6}\right]f\left(x\right)=\sqrt{2}$ , đạt được khi $x=\sqrt{2}$ .
Gọi $\overrightarrow{u}=\left(1;-4;1\right)$  véctơ chỉ phương của đường thẳng d. Vì $IH\perp \left(\alpha \right)$  nên tồn tại số thực k sao cho
$\overrightarrow{IH}=k\overrightarrow{u}$, suy ra $\left|\overrightarrow{IH}\right|=\left|k\right|.\left|\overrightarrow{u}\right|\Rightarrow \left|k\right|=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\frac{1}{3}\Rightarrow k=\pm \frac{1}{3}$  .
Với $k=\frac{1}{3}:\overrightarrow{IH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}\Rightarrow H\left(\frac{4}{3};-\frac{7}{3};\frac{4}{3}\right)\Rightarrow \left(\alpha \right):x-4y+z-6=0$  (nhận vì $O\notin \left(\alpha \right)$ )
Với $k=-\frac{1}{3}:\overrightarrow{IH}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{u}\Rightarrow H\left(\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)\Rightarrow \left(\alpha \right):x-4y+z=0$  (loại vì $O\in \left(\alpha \right)$ ).
Vậy $x_H+y_H+z_H=\frac{1}{3}$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tập nghiệm S của bất phương trình lnx2+1−ln2x+4>0 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập nghiệm S của bất phương trình $\ln \left(x^2+1\right)-\ln \left(2\text{x}+4\right)>0$ .

   A. $S=\left(3;+\infty \right)$

   B.  $S=\left(-1;3\right)$

   C.  $S=\left(-2;-1\right)\cup \left(3;+\infty \right)$

   Đáp án chính xác

   D.  $S=\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(3;+\infty \right)$

   Trả lời:

   Đáp án C
   Tập xác định $D=\left(-2;+\infty \right)$ .
   Ta có $\ln \left(x^2+1\right)-\ln \left(2\text{x}+4\right)>0\iff x^2-2\text{x}-3>0\iff \left[\begin{array}{l}x<-1\\ x>3\end{array}\right.$ .
   Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình $S=\left(-2;-1\right)\cup \left(3;+\infty \right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Hàm số fx=cos2x2+1  có đạo hàm là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $f\left(x\right)={\cos }^2\left(x^2+1\right)$  có đạo hàm là

   A.  $f^{‘}\left(x\right)=-2\text{x}\sin 2\left(x^2+1\right)$

   B. $f^{‘}\left(x\right)=2\cos \left(x^2+1\right)$

   C.  $f^{‘}\left(x\right)=2x\sin 2\left(x^2+1\right)$

   D.  $f^{‘}\left(x\right)=-4x\sin 2\left(x^2+1\right)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   $f^{‘}\left(x\right)=2\cos \left(x^2+1\right){\left(\cos \left(x^2+1\right)\right)}^{‘}=2\cos \left(x^2+1\right)\left(-2x\right)\sin \left(x^2+1\right)=-2x\sin 2\left(x^2+1\right)$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua ba điểm A(0;-2;0), B(0;0;3) và C(-1;0;0) có phương trình là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua ba điểm A(0;-2;0), B(0;0;3) và C(-1;0;0) có phương trình là

   A. $3\text{x}+6y-2\text{z}+6=0$

   B.  $6\text{x}+3y-2\text{z}-6=0$

   C. $2\text{x}-6y-3\text{z}-6=0$        

   D.  $6\text{x}+3y-2\text{z}+6=0$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: $\frac{x}{-1}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{3}=1\iff 6\text{x}+3y-2\text{z}+6=0$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho khối trụ có độ dài đường sinh bằng 2a, diện tích xung quanh mặt trụ Sxq=4πa2 . Thể tích khối trụ bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối trụ có độ dài đường sinh bằng 2a, diện tích xung quanh mặt trụ $S_{xq}=4\pi a^2$ . Thể tích khối trụ bằng

   A.  $\frac{2}{3}\pi a^3$

   B.  $\pi a^3$

   Đáp án chính xác

   C.  $2\pi a^3$

   D.  $8\pi a^3$

   Trả lời:

   Đáp án C
   Khối trụ có độ dài đường sinh $\mathcal{l}=2\text{a}$ , bán kính đáy R, diện tích xung quanh mặt trụ $S_{xq}=4\pi a^2\iff 2\pi R\mathcal{l}=4\pi a^2\iff R=a$. Thể tích khối trụ bằng $V=h\pi R^2=2{\text{a}}^3\pi$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Họ nguyên hàm của hàm số fx=3x+12x  là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3^x+\frac{1}{2\text{x}}$  là

   A. $\frac{3^x}{\ln 3}-\frac{1}{2{\text{x}}^2}+C$

   B.  $\frac{3^x}{\ln 3}+\frac{1}{2}\ln \left|x\right|+C$

   Đáp án chính xác

   C.  $3^x\ln 3-\frac{1}{2{\text{x}}^2}+C$

   D.  $3^x\ln 3+\frac{1}{2}\ln \left|x\right|+C$

   Trả lời:

   Đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====