Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B. Đặt α  là góc giữa AB và đáy. Tính tanα  khi thể tích khối tứ diện OO’AB đạt giá trị lớn nhất.

Câu hỏi:

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B. Đặt $\alpha$  là góc giữa AB và đáy. Tính $\tan \alpha$  khi thể tích khối tứ diện OO’AB đạt giá trị lớn nhất.

A. $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Đáp án chính xác

B. $\tan \alpha =\frac{1}{2}.$

C. $\tan \alpha =1.$

D. $\tan \alpha =\sqrt{2}.$

Trả lời:

Đáp án A

Lấy điểm $A‘\in \left(O‘\right),B‘\in \left(O\right)$  sao cho AA’, BB’ song song với trục OO’.
Khi đó ta có lăng trụ đứng OAB’.O’A’B.
Ta có: $\begin{array}{l}{V}_{OO‘AB}=V_{OAB‘.O‘A‘B}-V_{A.O‘A‘B}-V_{B.OAB‘}\\ =V_{OAB‘.O‘A‘B}-\frac{1}{3}{V}_{OAB‘.O‘A‘B}-\frac{1}{3}{V}_{OAB‘.O‘A‘B}=\frac{1}{3}{V}_{OAB‘.O‘A‘B}\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow V_{OO‘AB}=\frac{1}{3}.AA‘.S_{\Delta OAB‘}=\frac{1}{6}.AA‘.OA.OB.\sin \widehat{AOB‘}=\frac{1}{6}.2a.2a.2a.\sin \widehat{AOB‘}\\ =\frac{1}{6}.8a^3.\sin \widehat{AOB‘}=\frac{4a^3}{3}\sin \widehat{AOB‘}\end{array}$Do đó để $V_{OO‘AB}$  lớn nhất $\iff \sin \widehat{AOB‘}=1\iff \widehat{AOB‘}=90°\iff OA\perp OB‘$ .
$\Rightarrow O‘A‘\perp O‘B\Rightarrow \Delta O‘A‘B$ vuông tại $O‘\Rightarrow A‘B=\sqrt{2}O‘A‘=2a\sqrt{2}$ .
Ta có: $AA‘\perp \left(O‘A‘B\right)\Rightarrow \widehat{\left(AB,\left(O‘A‘B\right)\right)}=\widehat{ABA‘}=\alpha \Rightarrow \tan \alpha =\frac{AA‘}{A‘B}=\frac{2a}{2a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-1;0;0), B(0;0;2), C(0;-3;0) . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-1;0;0), B(0;0;2), C(0;-3;0) . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

   A. $\frac{\sqrt{14}}{4}.$

   B. $\sqrt{14}.$

   C. $\frac{\sqrt{14}}{3}.$

   D. $\frac{\sqrt{4}}{2}.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   
   Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc.
   Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và OC.
   Ta có: $\left\{\begin{array}{l}OC\perp OA\\ OC\perp OB\end{array}\right.\Rightarrow OC\perp \left(OAB\right)$ .
   Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng song song với OM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I.
   $\Delta OAB$ vuông tại $O\Rightarrow M$  là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OAB\Rightarrow IO=IA=IB.$
   $I\in IN\Rightarrow IO=IC\Rightarrow IO=IA=IB=IC\Rightarrow I$
    là tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC.
   Ta có: $OA=\mathrm{1,}OB=\mathrm{2,}OC=3\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{1^2+2^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ $R=OI=\sqrt{I{M}^2+O{M}^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$.
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho cấp số cộng un  có u1=11  và công sai d=4 . Hãy tính u99 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$  có $u_1=11$  và công sai $d=4$ . Hãy tính $u_{99}$ .

   A. 401.

   B. 404.

   C. 403.       

   Đáp án chính xác

   D. 402.

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có: $u_1=11;d=4\Rightarrow u_{99}=u_1+\left(99-1\right).d=11+98.4=403$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm a để hàm số fx=x2−1x−1 khi x≠1a        khi x=1  liên tục tại điểm x0=1 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm a để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1}khix\ne 1\\ akhix=1\end{array}\right.$  liên tục tại điểm $x_0=1$ .

   A. $a=0.$

   B. $a=-1.$

   C. $a=2.$

   Đáp án chính xác

   D. $a=1.$

   Trả lời:

   Đáp án C
   Hàm số $y=f\left(x\right)$  liên tục tại $x=1\Rightarrow \lim x\to 1f\left(x\right)=f\left(1\right)=a$

   $\iff \lim x\to 1\frac{x^2-1}{x-1}=a\iff \lim x\to 1\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=a\iff \lim x\to 1\left(x+1\right)=a\iff 2=a.$Định nghĩa: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  xác định trên khoảng K và $x_0\in K$ . Hàm số $y=f\left(x\right)$  được gọi là hàm số liên tục tại $x_0$  nếu $\lim x\to x_{0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Biết SA⊥ABCD, AB=BC=a, AD=2a, SA=a2 . Gọi E là trung điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, D, E.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Biết $SA\perp \left(ABCD\right),AB=BC=a,AD=2a,SA=a\sqrt{2}$ . Gọi E là trung điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, D, E.

   A. $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

   B. a.

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

   D. $\frac{a\sqrt{30}}{6}.$

   Trả lời:

   Đáp án B
   
   Xét tứ giác ABCE có $AE//BC,AE=BC=a\Rightarrow ABCE$  là hình bình hành.
   Lại có $\widehat{ABC}=90°$  (giả thiết), $AC=BC\Rightarrow ABCE$  là hình vuông cạnh a.
   Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCE là $R_d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .
   Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCE là: $R=\sqrt{\frac{S{A}^2}{4}+R_d^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{4}+\frac{2a^2}{4}}=a$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Gọi  là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin2x+2sinxcosx−cos2x=0 . Chọn khẳng định đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi  là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $3{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=0$ . Chọn khẳng định đúng?

   A. $x_0\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right).$

   B. $x_0\in \left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right).$

   C. $x_0\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right).$

   Đáp án chính xác

   D. $x_0\in \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right).$

   Trả lời:

   Đáp án C                                    
   Với $\cos x=0\iff {\sin }^{2}x=1$  không phải là nghiệm của phương trình.
   Với $\cos x\ne 0$
   Phương trình tương đương với: $\begin{array}{l}3{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=0\iff 3\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+2\frac{\sin x}{\cos x}-1=0\\ \iff 3{\tan }^{2}x+2\tan x-1=0\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=-1\\ \tan x=\frac{1}{3}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=\arctan \frac{1}{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}\right..\end{array}$
   Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là $x=\arctan \frac{1}{3}\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====