50 Bài tập Đường tiệm cận (có đáp án)- Toán 12

Bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 4: Đường tiệm cận

A. Bài tập Đường tiệm cận

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số

A. m > 0    

B. m ≥ 1    

C. m > 1    

D. Không có giá trị nào của m

Lời giải:

Ta có

Vậy với m > 1 thì đồ thị hàm số  có hai tiệm cận ngang là 

Chọn đáp án C.

Bài 2: Cho các mệnh đề sau

(1) Đường thẳng y = y 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

(2) Đường thẳng y = y 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

(3) Đường thẳng x = x 0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

(4) Đường thẳng x = x 0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

Trong các mệnh đề trên, số mệnh đề đúng là:

A.1    

B. 2    

C. 3    

D. 4

Lời giải:

Dựa vào định nghĩa mệnh đề 1 sai và mệnh đề 2, 3, 4 đúng.

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có

Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 1 và y = -1

D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là x = 1 và x = -1

Lời giải:

Từ định nghĩa đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang là y=1

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số

có hai tiệm cận ngang

A.Không tồn tại    

B. m < 0    

C. m = 0    

D. m > 0

Lời giải:

Ta có:

Để hàm số có hai tiệm cận ngang thì m > 0.

Bài 5: Cho hàm số

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 3 và y = -1

D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là x = 3 và x = -1

Lời giải:

Hàm số có đúng một tiệm cận ngang y=3.

Bài 6: Đồ thị hàm số

có tất cả bao nhiêu tiệm cận?

A. 0    

B. 1    

C. 2    

D. 3

Lời giải:

Vì x ≥ -3 và x ≠ -1, nên ta chỉ xét trường hợp x → +∞

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận

Bài 7: Hàm số nào sau đây có đồ thị nhận đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng?

Lời giải:

Ta có:

Do đó, đồ thị hàm số  nhận đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng

Bài 8: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

A.y = 1    

B. y = 0    

C. y = -1    

D. Không tồn tại

Lời giải:

Ta có:

=> y= -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .

Bài 9: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  là

A. x = 0    

B. x = 2, x = -2    

C. x – 2 = 0    

D. x + 2 = 0

Lời giải:

Ta có

Do đó x – 2 = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài 10: Cho hàm số

Hỏi giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số trên luôn nằm trên một đường cố định có phương trình nào trong các phương trình sau?

A. y = x   

B. x² + y² = 1    

C. y = x²    

D. y = x³

Lời giải:

Với m > 1 thì hàm số đã cho không bị suy biến.

y = m là tiệm cận ngang, x = m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy giao điểm hai tiệm cận là I(m;m).

Ta có: y₁ = x₁ nên điểm I thuộc đường thẳng có phương trình y = x.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Đồ thị hàm số y = x³ – mx² + 2 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x nên đồ thị hàm số không có TCĐ.

Lại có:

Do đó, đồ thị hàm số không có TCN.

Vậy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận.

Bài 2: Đồ thị hàm số

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải:

Suy ra, y = 1; y = -1 là hai đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Bài 3: Đồ thị hàm số

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải:

Ta có:

Do đó, đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y= 2; y = -2

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 4 đường tiệm cận.

Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số

có ba đường tiệm cận

Lời giải:

Nên đồ thị hàm số có 1 cận ngang là y= 0

Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận khi đồ thị hàm số có 2 TCĐ

⇒ phương trình x² – 2mx + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -1.

Bài 5: Đồ thị hàm số

có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải:

Suy ra x = 1 và là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.

Bài 6: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Đồ thị hàm số

có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số

có một tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang

C. Đồ thị hàm số

có tiệm cận đứng x = 3 và tiệm cận ngang

D. Đồ thị hàm số

có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.

Lời giải:

nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=0 .

Bài 7: Cho hàm số

có đồ thị (C). Chọn mệnh đề đúng trong các

mệnh đề sau:

A. Đường y = 2 là một tiệm cận ngang của (C).

B. Đường y = 1 là một tiệm cận ngang của (C).

C. Đường x = – 2 là một tiệm cận đứng của (C).

D. Đường x = 3 là một tiệm cận ngang của (C).

Lời giải:

Ta có

=> y = 1 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

=> y = 3 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

=> x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài 8 Cho hàm số y = $\frac{\left(2–x\right)}{\left(x–1\right)}$ (H.16) có đồ thị (C).

Nêu nhận xét về khoảng cách từ điểm M(x; y) ∈ (C) tới đường thẳng y = -1 khi |x| → +∞

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm M(x; y) ∈ (C) tới đường thẳng y = -1 khi |x| → +∞ dần tiến về 0.

Bài 9 Tính  và nêu nhận xét về khoảng cách MH khi x → 0 (H.17)

Lời giải:

Khi x dần đến 0 thì độ dài đoạn MH cũng dần đến 0.

Bài 10 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số

Ta có

Vậy với m > 1 thì đồ thị hàm số  có hai tiệm cận ngang là 

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho hàm số y = f(x) có

Bài 2 Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 1 và y = -1

D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là x = 1 và x = -1

Bài 3 Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số

có hai tiệm cận ngang

Bài 4 Cho hàm số

Bài 5 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 3 và y = -1

D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là x = 3 và x = -1

Bài 6 Đồ thị hàm số  có tất cả bao nhiêu tiệm cận?

Bài 7 Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 

Bài 8 Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  là?

Bài 9 Cho hàm số  Hỏi giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số trên luôn nằm trên một đường cố định có phương trình nào trong các phương trình sau?

B. Lý thuyết Đường tiệm cận

I. Đường tiệm cận ngang

– Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $(a;+\infty );(-\infty ;b);$$\hspace{0.17em}(-\infty ;+\infty )$). Đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0;\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}$.

Hàm số xác định trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$.

Đồ thị hàm số  có tiệm cận ngang là y = 0 vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}=0;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}=0\hspace{0.17em}$

II. Đường tiệm cận đứng

– Định nghĩa:

Đường thẳng x = x₀ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

– Ví dụ 2. Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x\text{\hspace{0.17em}}+2}{x-4}$.

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x-4}=1;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x-4}=1$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.

Lại có: $\underset{x\to 4_{}^{+}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x-4}=+\infty ;$$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x-4}=-\infty ;$

Suy ra: đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 4.