50 Bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (có đáp án)- Toán 12

Bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. Bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: GTLN của hàm số

trên khoảng (0; 4) đạt được

A. x = 1    

B. x = -1    

C. x = $\sqrt{2}$    

D. Không tồn tại

Lời giải:

Xét

 

Ta có y’ = 0 => x = 1

Vậy hàm số có GTLN bằng $\sqrt{2}$ khi x = 1.

Chọn đáp án A.

Bài 2: Tìm GTLN của hàm số

A. 0    

B. +∞    

C. Không tồn tại   

D. Không có đáp án

Lời giải:

Tập xác định R.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số không có GTLN trên R . Chọn đáp án C.

Bài 3: Một hành lang giữa hai tòa tháp có hình dạng một hình lăng trụ đứng. Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20m, rộng 5m. Với độ dài xấp xỉ nào của BC thì thể tích hành lang này lớn nhất

A. 6m    

B. 7m

C. 8m    

D. 9m.

Lời giải:

Thể tích hình lăng lớn nhất khi và chỉ khi diện tích ΔABC lớn nhất.

Gọi độ dài BC là x (m). Kẻ AH ⊥ BC.

Bài toán đưa về tìm x ∈ (0; 10) để hàm số y = x$\sqrt{100–x^2}$ có giá trị lớn nhất.

Ta có:

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 5$\sqrt{2}$ ≈ 7. Chọn đáp án B.

Bài 4: Tìm GTNN của hàm số y = x² – 3x + 5

A. $\frac{3}{2}$  

B. $\frac{11}{4}$   

C. 3    

D. 5

Lời giải:

Lập bảng biến thiên ta được, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại:

Bài 5: Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4 là:

A. 0    

B. 4    

C.2    

D. Không có đáp án.

Lời giải:

Tập xác định: D = R. Ta có

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số f(x) là 4 đạt được khi x = 0. Chọn đáp án B.

Bài 6: Giá trị lớn nhất của hàm số

đạt được khi x nhận giá trị bằng:

A. 1   

B. 5    

C. 0    

D. Không có đáp án.

Lời giải:

Tập xác định: D = R \ {1}

=> không tồn tại x thỏa mãn. Do đó hàm số không có giá trị lớn nhất. Chọn đáp án D.

Bài 7: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x(5 – 2x)² trên [0; 3] là:

Lời giải:

Vậy GTLN của hàm số trên [0; 3] là $\frac{250}{27}$ đạt được khi x = $\frac{5}{6}$.

Chọn đáp án C.

Bài 8: Giá trị lớn nhất của hàm số

có đồ thị như hình bên là

A. 3    

B. 7

B. -1    

D. 4

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Chú ý. Cần phân biệt giá trị lớn nhất của hàm số và cực đại của hàm số.

Bài 9: Một công ti quản lí chuẩn bị xây dựng một khu chung cư mới. Họ tính toán nếu tòa nhà có x căn hộ thì chi phí bảo trì của tòa nhà là: C(x) = 4000 – 14x + 0,04x². Khu đất của họ có thể xây được tòa nhà chứa tối đa 300 căn hộ. Hỏi họ nên xây dựng tòa nhà có bao nhiêu căn hộ để chi phí bảo trì của tòa nhà là nhỏ nhất?

A. 150    

B.175    

C. 300    

D.225

Lời giải:

Ta có x là số căn hộ. Rõ ràng x phải thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x ≤ 300. Chi phí bảo trì tòa nhà C(x) = 4000 – 14x + 0,04x²

Ta phải tìm 0 ≤ x_o ≤ 300 sao cho C(x_o) có giá trị nhỏ nhất.

Ta có C'(x) = -14 + 0,08x, 0 ≤ x ≤ 300. C'(x) = 0 <=> x = 175

Trên đoạn [0; 300] ta có C(0) = 4000; C(175) = 2775; C(300) = 3400

Từ đó ta thấy C(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 175. Chọn đáp án B.

Bài 10: GTLN của hàm số y = -x² + 4x + 7 đạt được khi x bằng:

A. 11    

B. 4

C. 7    

D. 2

Lời giải:

y’ = -2x + 4 = 0 <=> x = 2

Dựa vào bảng biến thiên; GTLN của hàm số là 11 khi x= 2.

Chú ý. Cần phân biệt GTLN của hàm số (max y) với giá trị x để hàm số đạt được GTLN.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: GTLN của hàm số y = 2sinx + cos2x trên đoạn [0; π] là?

Lời giải:

Xét hàm số y=2sin x + cos 2x trên đoạn

y’=2cos x- 2sin 2x = 2cos x(1- 2sin x)

Trên đoạn [0; π]

Giá trị lớn nhất của hàm số này trên [0; π] là y = $\frac{3}{2}$ .

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R và có bảng biến thiên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số có đúng một cực trị.

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 1

Lời giải:

Dựa vào định nghĩa, hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Hàm số đạt cực đại tại x=0 và cực tiểu tại x=1.

Bài 3: Xét hàm số

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4.

B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 4

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0.

D. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0

Lời giải:

Bảng biến thiên

Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

Bài 4: Cho tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ bên để được một cái hộp không nắp. Với giá trị nào của x thì hộp nhận được có thể tích lớn nhất?

Lời giải:

Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh: 12 – 2x

Chiều cao của hình hộp là: x

Thể tích hình hộp là y = x(12 – 2x)²

Bài toán đưa về tìm x ∈ (0; 6) để hàm số y = f(x) = x(12 – 2x)² có giá trị lớn nhất.

y’ = 1(12 – 2x)² + x.2.(12 – 2x).(-2)

12x² – 96x + 144;

y’ xác định ∀ x ∈ (0; 6)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=2

Bài 5: Khu chung cư Royal City có 250 căn hộ cho thuê. Nếu người ta cho thuê x căn hộ thì lợi nhuận hàng tháng, tính theo triệu đồng, được cho bởi:

P(x) = -8x² + 3200x – 80000. Hỏi lợi nhuận tối đa họ có thể đạt được là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có x ∈ (0; 250) ,P’(x) = -16x+3200.

Khi đó P’(x)=0 ⇔ -16x + 3200 = 0 ⇔ x = 200 (loại).

P(0)= – 8000; P(250) = 292 000

Do đó lợi nhuận tối đa họ thu được là P(250)=292000.

Bài 6: Một nhà máy sản xuất được 60000 sản phẩm trong một ngày và tổng chi phí sản xuất x sản phẩm được cho bởi:

Hỏi nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi ngày để chi phí sản xuất là nhỏ nhất?

Lời giải:

Ta có x ∈ (0; 60000)

Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại x = 50000.

Nên x=50000 là số sản phẩm cần sản xuất mỗi ngày để tối thiểu chi phí.

Bài 17: GTLN của hàm số y = sin2x – $\sqrt{3}$cosx trên đoạn [0; π] là?

Lời giải:

Bài 18: GTNN của hàm số y = x³ + 3x² – 9x + 1 trên đoạn [-4;4] là?

Lời giải:

Xét hàm số y = x³ + 3x² – 9x + 1 trên đoạn [-4;4].

Ta có:

y(1) = -4, y(-3) = 28; y(4) = 77; y(-4) = 21

GTNN của hàm số y = X³ – 9x + 1 trên đoạn [-4;4] là -4 khi x= 1

Bài 9: GTLN của hàm số y = x⁴ – 8x² + 16 trên đoạn [-1;3] là?

Lời giải:

Xét hàm số y = x⁴ – 8x² + 16 trên đoạn [-1;3]

y(0) = 16, y(2) = 0; y(-1) = 9; y(3) = 25

GTLN của hàm số y = x⁴ – 8x + 16 trên đoạn [-1;3] là 25 khi x = 3.

Bài 10: GTNN của hàm số y = $\frac{x}{\left(x+2\right)}$trên nửa khoảng (-2;4] là

Lời giải:

Xét hàm số

Ta có bảng biến thiên

Hàm số không có GTNN

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 GTNN của hàm số y = x + 2 + $\frac{1}{\left(x–1\right)}$ trên khoảng (1; +∞) là?

Bài 2 Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x² trên đoạn [-3; 0];

b) y = $\frac{\left(x+1\right)}{\left(x–1\right)}$ trên đoạn [3; 5].

Bài 3 Cho hàm số có đồ thị như Hình 10. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] và nêu cách tính.

Bài 4 Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) = $\frac{\left(–1\right)}{\left(1+x^2\right)}$. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định.

Bài 5 Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x³ – 3x² – 9x + 35 trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5] ;

b) y = x⁴ – 3x² + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5] ;

c)  trên các đoạn [2 ; 4] và [-3 ; -2] ;

d)  trên đoạn [-1 ; 1].

Bài 6 Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Bài 7 Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48 m², hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Bài 8 Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) $y=x^3-3x^2-9x+35$ trên các đoạn $[-4;4]$ và $[0;5]$;

b) $y=x^4-3x^2+2$ trên các đoạn $[0;3]$ và $[2;5]$;

c) $y=\frac{2-x}{1-x}$ trên các đoạn $[2;4]$ và $[-3;-2]$;

d) $y=\sqrt{5-4x}$ trên đoạn $[-1;1]$.

Bài 9 Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Bài 10 Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48m², hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

B. Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

I. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu $f\left(x\right)\le M$ với mọi x thuộc D và tồn tại x₀$\in$D sao cho f(x₀) = M.

Kí hiệu: $M=\underset{D}{max}f\left(x\right)$

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu $f\left(x\right)\ge m$ với mọi x thuộc D và tồn tại x₀$\in$D sao cho f(x₀) = m.

Kí hiệu: $m=\underset{D}{\min }f\left(x\right)$.

– Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số không có giá trị lớn nhất.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 9 tại x = – 3.

II. Cách tính giá trị  lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

1. Định lí.

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

– Nhận xét:

Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.

Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm x_i (x_i < x_{i+ 1}) mà tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số y = f(x) đơn điệu trên mỗi khoảng (x_i;  x_i+1). Rõ ràng, giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a; b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a; b và tại các điểm x_i nói trên.

– Quy tắc:

1. Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.

2. Tính f(a); f(x₁); f(x₂); ….; f(x_n); f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

$M=\underset{\text{[}a;b\text{]}}{\max }f\left(x\right);$$\hspace{0.17em}m=\underset{\text{[}a;b\text{]}}{\min }f\left(x\right)$

– Chú ý: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; 1).

Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như ví dụ sau:

Ví dụ 2. Tìm giá trị lón nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{2x-x^2}$ trên khoảng $\left(0;\frac{3}{2}\right)$.

Lời giải:

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên trên ta thấy, trên khoảng $\left(0;\frac{3}{2}\right)$ hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 và tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất $\underset{\left(0;\frac{3}{2}\right)}{Max}f\left(x\right)=f\left(1\right)=1$.