50 Bài tập Cực trị của hàm số (có đáp án)- Toán 12

Bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 2: Cực trị của hàm số

A. Bài tập Cực trị của hàm số

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ – 2x² +mx + 1 đạt cực đại tại x = 1.

A.m = -1   

B. m = 1    

C. m = $\frac{4}{3}$    

D. Không tồn tại.

Lời giải:

Ta có y’ = 3x² – 4x + m

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì y'(1) = 0 ⇒ 3.1² – 4.1 + m = 0 ⇒ m = 1

Với m = 1 thì hàm số đã cho trở thành y = x³ – 2x² + x + 1

Ta có y’ = 3x² – 4x + 1, y” = 6x – 4 Vì y”(1) = 2 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Do vậy không có m thỏa mãn.

Chọn đáp án D.

Chú ý. Sai lầm có thể gặp phải: khi giải y'(1) = 0 => m = 1 đã vội kết luận mà không kiểm tra lại, dẫn đến chọn đáp án B.

Bài 2: Cho hàm số y = x³ – 2x² + 3. Điểm M(0; 3) là:

A. Cực đại của hàm số    

B. Điểm cực đại của hàm số    

C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số

D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Lời giải:

Ta có: y’ = 3x² -4x; y” = 6x – 4;

y”(0) = -4 < 0

Do đó, điểm M(0;3) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án C.

Chú ý. Phân biệt các khái niệm: cực trị, điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Bài 3: Tìm điểm cực đại của hàm số y = sin2x + $\sqrt{3}$cosx + 1 với x ∈ (0; π)

A. x = 0    

B. x = π    

C. $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$  

D.$\frac{\pi }{3}$

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án C.

Bài 4: Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các phát biểu sau?

1. Hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

2. Hàm số không liên tục tại x = 0.

3. Hàm số không có cực trị tại x = 0.

4. Hàm số đạt cực trị tại x = 0.

A. 0    

B. 1    

C. 2    

D. 3.

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = |x| có dạng hình vẽ.

Từ đồ thị trong hình ta có hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Sử dụng định nghĩa cực trị ta có hàm số y = |x| đạt cực tiểu tại x = 0

Do đó mệnh đề 1 và 4 đúng.

Chọn đáp án C

Bài 5: Cho hàm số y = -3x⁴ – 2x³ + 3

Hàm số có

A. Một cực đại và hai cực tiểu

B. Một cực tiểu và hai cực đại

C. Một cực đại và không có cực tiểu

D. Một cực tiểu và một cực đại.

Lời giải:

Ta có y’ = -12x³ – 4x

Xét y’=0 => x = 0

Hàm số chỉ có một cực đại tại x = 0.

Chọn đáp án C.

Bài 6: Cho hàm số y = x⁴ – 2(m – 1)x² + m2. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông

A. m = 0

B.m= 1

C. m= -1

D. m = 2

Lời giải:

Bài 7: Cho hàm số f có đạo hàm là f'(x) = x(x+1)²(x-2)⁴ với mọi x ∈ R. Số điểm cực trị của hàm số f là:

A. 0    

B. 1    

C. 2    

D.3

Lời giải:

Ta có

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Vậy hàm số có một cực trị

Bài 8: Điểm cực đại của hàm số y = -x³ – 3x² + 1 là:

A. x = 0    

B. x = -2    

C. x = 2    

D. Không tồn tại

Lời giải:

Ta có y’ = -3x² – 6x, y” = -6x – 6 .

Xét

y”(0) = -6 < 0; y”(-2) = 6 > 0

Do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0

Bài 9: Điểm cực tiểu của hàm số y = x⁴ + 4x² + 2 là:

A. x = 1    

B. x = $\sqrt{2}$   

C. x = 0    

D. Không tồn tại

Lời giải:

Ta có: y’ = 4x³ + 8x, y” = 12x² + 8. y’ = 0 <=> 4x(x² + 2) = 0 <=> x = 0

y”(0) = 2 > 0. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Bài 10: Cho hàm số y = x³ – 2x² – 1 (1) và các mệnh đề

(1) Điểm cực trị của hàm số (1) là x = 0 hoặc x = $\frac{4}{3}$

(2) Điểm cực trị của hàm số (1) là x = 0 và x = $\frac{4}{3}$

(3) Điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là x = 0 và x = $\frac{4}{3}$

(4) Cực trị của hàm số (1) là x = 0 và x = $\frac{4}{3}$

Trong các mệnh đề trên, số mệnh đề sai là:

A.0    

B.1    

C.2    

D.3

Lời giải:

Ta có: y’ = 3x² – 4x, y” = 6x – 4;

y”(0) = -4 < 0; y”($\frac{4}{3}$) = 4 > 0. Do đó hàm số có hai cực trị là x = 0 và x = $\frac{4}{3}$

Các mệnh đề (1); (2) và (3) sai; mệnh đề (4) đúng.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là

Lời giải: M (0;2)

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có đúng hai cực trị

B. Hàm số có điểm cực tiểu là -2

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1

Lời giải:

Dựa vào định nghĩa cực trị và bảng biến thiên.

Chọn đáp án D.

Bài 3: Tìm a, b, c sao cho hàm số y = x³ + ax² + bx + c có giá trị bằng 0 khi x = 1 và đạt cực trị khi bằng 0 khi x = -1 .

Lời giải:

Sử dụng giả thiết và điều kiện cần của cực trị ta có

y(1) = 0; y'(-1) = 0; y(-1) = 0

Trong đó , y’ = 3x² + 2ax + b

Từ đó suy ra:

Với a = 1; b = -1; c = -1 thì hàm số đã cho trở thành y = x³ + x² – x – 1

Ta có y’ = 3x² + 2x – 1, y” = 6x + 2. Vì y”=(-1) = -4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -1 . Vậy a = 1; b = -1; c = -1 là các giá trị cần tìm.

Bài 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Nếu f'(x₀) = 0 thì x₀ là điểm cực trị của hàm số.

B. Nếu f'(x₀) = 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số.

C. Nếu f'(x₀) = 0 và f”(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số.

D. Nếu f(x) có đạo hàm tại x₀ và f’(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số.

Lời giải:

Xem lại điều kiện cần và đủ để có cực trị của hàm số.

Bài 5: Giá trị của m để hàm số y = x³ – 3mx² + (m² – 1)x + 2 đạt cực đại tại x = 2 là:

Lời giải:

y’ = 3x² – 6mx + m2 – 1; y” = 6x – 6m

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi

Bài 6: Với giá trị nào của m, hàm số y = (x – m)³ – 3x đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0?

Lời giải:

Xét y = x³ – 3mx² + (3m² – 3)x – m²

Ta có: y’ = 3² – 6mx + 3m² – 3, y” = 6x – 6m

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0 khi

Bài 7: Với giá trị nào của m, hàm số y = x³ + 2(m – 1)x² + (m² – 4m + 1)x + 2(m² + 1) có hai điểm cực trị x1,x2 thỏa mãn

Lời giải:

Ta có y’ = 3x² + 4(m – 1)x + m² – 4m + 1. Hàm số có hai cực trị

=> y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt <=> Δ’ > 0 <=> 4(m – 1)² – 3(m² – 4m + 1) > 0

<=> m² + 4m + 1 > 0

Áp dụng Vi-ét cho phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ta có :

Đối chiếu điều kiện (*) có m = 5 hoặc m = 1

Bài 8: Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x³ – mx² + 3(m² – 1)x – m 3 + m có điểm cực đại B, điểm cực tiểu C thỏa mãn OC = 3OB, với O là gốc tọa độ?

Lời giải:

Ta có y’ = 3x² – 6mx + 3(m² – 1).

Hàm số có hai cực trị => y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt <=> Δ’ > 0 <=> (3m)² – 3.3(m² – 1) > 0 <=> 9 > 0 đúng với mọi m. Ta có điểm cực đại là B(m – 1; -2m + 2) và cực tiểu là C(m + 1; -2m – 2)

Bài 9: Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x³ – 3mx² + m có hai điểm cực trị B, C thẳng hàng với điểm A(-1;3)?

Lời giải:

y’= 3x² – 6mx = 3x(x – 2m)

Hàm số có hai điểm cực trị => y’=0 có hai nghiệm phân biệt <=> m ≠ 0 (*)

Tọa độ hai điểm cực trị là B(0;m) và C(2m;-4m³ + m)

$\overrightarrow{AB}$ =(1;m – 3); $\overrightarrow{AC}$ =(2m+1; -4m³ + m-3)

A, B, C thẳng hàng

Bài 10: Cho hàm số y = x³ – 3x² – 6x + 8 (C). Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) là:

Lời giải:

Cách 1: Ta có y’=3x²-6x-6 ; y”=6x – 6

Do đó đồ thị hàm số có điểm cực trị là A(1 + $\sqrt{3}$; -6$\sqrt{3}$) và B(1 – $\sqrt{3}$; 6$\sqrt{3}$) 

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

Cách 2: Ta có:

Gọi x₁, x₂ là nghiệm của phương trình y’(x)= 3x²-6x-6=0 . Khi đó ta có A(x₁, y(x₁)), BA(x₂, y(x₂)) là hai cực trị của đồ thị hàm số C với y'(x₁) = y'(x₂) = 0 

Do đó ta có:

Vậy A, B thuộc đường thẳng y= – 6x+6.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) y = -x² + 1 trong khoảng (-∞; +∞);

b) y = $\frac{x}{3}$(x+ 3)² trong các khoảng ($\frac{1}{2}; \frac{3}{2}$) và ($\frac{3}{2}$; 4).

Bài 2 Giả sử f(x) đạt cực đại tại x_o. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số  khi $\overrightarrow{∆x}$ 0 trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0.

a) Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không.

• y = -2x + 1;

• y = $\frac{x}{3}$(x-3)² (H.8).

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Bài 3 Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?

Bài 4 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm s f(x) = x(x² – 3).

Bài 5 Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x³ + 3x² – 36x – 10

b) y = x⁴ + 2x² – 3;

c) y = x + $\frac{1}{x}$

d) y = x³(1 – x)²;

Bài 6 Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x⁴ – 2x² + 1 ;

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx ;

d) y = x⁵ – x³ – 2x + 1

Bài 7 Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau

a) $y=2x^3+3x^2-36x-10$.

b) $y=x^4+2x^2-3$.

c) $y=x+\frac{1}{x}$.

d) $y=x^3(1-x^2)$.

e) $y=\sqrt{x^2-x+1}$

Bài 8 Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau

a) $y=x^4-2x^2+1$;

b) $y=\sin 2x-x$;

c) $y=\sin x+\cos x$;

d) $y=x^5-x^3-2x+1$.

Bài 9 Chứng minh rằng hàm số y =$\sqrt{x}$  không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Bài 10 Giá trị của m để hàm số y = x³ – 3mx² + (m² – 1)x + 2 đạt cực đại tại x = 2 là?

B. Lý thuyết Cực trị của hàm số

I. Khái niệm cực đại, cực tiểu.

– Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là $–\infty$; b là $+\infty$) và điểm x₀$\in$(a; b).

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x(x₀ – h; x₀ + h) và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x$\in$(x₀ – h; x₀ + h) và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

– Chú ý:

1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.

Kí hiệu là f_CĐ (f_CT) còn điểm M(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2. Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x₀ thì f’(x₀) = 0.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

– Định lí 1

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ – h; x₀ + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x₀}; với h > 0.

a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) < 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) > 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Ví dụ 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số y = – 2x³ + 3x².

Lời giải:

Hàm số xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 6x² + 6x

Và y’ = 0$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=1\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số và x = 1 là điểm cực đại của hàm số.

Ví dụ 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=\frac{2-x}{2x+\text{\hspace{0.17em}}2}$

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với $\forall x\ne -1$

Ta có: $y‘=\frac{-6}{(2x+\text{}2)2}<0$$\forall x\ne -1$

Vậy hàm số đã cho không có cực trị (vì theo khẳng định 3 của chú ý trên, nếu hàm số đạt cực trị tại x₀ thì y’(x₀) = 0).

III. Quy tắc tìm cực trị.

– Quy tắc 1.

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

– Định lí 2.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo  hàm cấp hai trong khoảng (x₀ – h; x₀ + h) với h > 0. Khi đó:

a) Nếu f’(x₀) = 0; f”(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu;

b) Nếu f’(x₀) = 0; f”(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.

– Quy tắc II.

1. Tìm tập xác định

2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu x_i ( i = 1; 2; ….; n) là các nghiệm của nó.

3. Tính f”(x) và f”(x_i).

4. Dựa vào dấu của f”(x_i) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

– Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số $f\left(x\right)=x^4-2x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}10$.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x

Ta có: f’(x) = 4x³ – 4x

$f‘\left(x\right)=0$$\hspace{0.17em}\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Ta có: f”(x) = 12x² – 4

Suy ra: f”(0) = – 4 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại.

f”(1) = f”(– 1)  = 8 > 0 nên x = 1 và x = –1 là điểm cực tiểu.

Kết luận:

Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 1 và x = – 1; f_CT = f(1) = f(–1) = 9.

Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 0 và f_CD = f(0) = 10.