SBT Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số | Giải SBT Toán lớp 12

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 1.1 trang 7 SBT Giải tích 12: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) $y=3x^2-8x^3$

b) $y=16x+2x^2-\frac{16}{3}{x}^3-x^4$

c) $y=x^3-6x^2+9x$

d) $y=x^4+8x^2+5$

Phương pháp giải:

– Tính $y^{\prime }$.

– Tìm nghiệm của phương trình $y^{\prime }=0$.

– Xét dấu $y^{\prime }$ và kết luận.

Lời giải:

a) $y=3x^2-8x^3$

TXĐ: R

$y^{\prime }=6x-24x^2=6x(1-4x)$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{1}{4}\end{array}$

Xét dấu $y^{\prime }$:

Ta thấy, $y^{\prime }>0\iff 0<x<\frac{1}{4}$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{1}{4}\right)$.

$y^{\prime }<0\iff [\begin{array}{l}x>\frac{1}{4}\\ x<0\end{array}$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(\frac{1}{4};+\mathrm{\infty }\right)$.

b) $y=16x+2x^2-\frac{16}{3}{x}^3-x^4$

TXĐ: R

$y^{\prime }=16+4x-16x^2-4x^3$ $=-4(x+4)(x^2-1)$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=-4\\ x=\pm 1\end{array}$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-4\right)$ và $\left(-1;1\right)$, nghịch biến trên các khoảng $\left(-4;-1\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

c) $y=x^3-6x^2+9x$

TXĐ: R

$y^{\prime }=3x^2-12x+9$

y’=0   <=>  $[\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}$

$y^{\prime }>0\iff [\begin{array}{l}x>3\\ x<1\end{array}$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$.

$y^{\prime }<0\iff 1<x<3$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(1;3\right)$.

d) $y=x^4+8x^2+5$

TXĐ: R

$y^{\prime }=4x^3+16x=4x(x^2+4)$

$y^{\prime }=0\iff x=0$

$y^{\prime }>0\iff x>0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

$y^{\prime }<0\iff x<0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$.

Bài 1.2 trang 7 SBT Giải tích 12: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) $y=\frac{3-2x}{x+7}$

b) $y=\frac{1}{{(x-5)}^2}$

c) $y=\frac{2x}{x^2-9}$

d) $y=\frac{x^4+48}{x}$

e) $y=\frac{x^2-2x+3}{x+1}$

g) $y=\frac{x^2-5x+3}{x-2}$

Phương pháp giải:

a) – Tìm TXĐ.

– Tính $y^{\prime }$ theo công thức ${\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{\prime }=\frac{ad-bc}{{\left(cx+d\right)}^2}$

– Xét dấu $y^{\prime }$ và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

b) – Tìm TXĐ.

– Tính $y^{\prime }$ theo công thức ${\left(\frac{1}{u}\right)}^{\prime }=\frac{-u^{\prime }}{u^2}$

– Xét dấu $y^{\prime }$ và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

c) – Tìm TXĐ.

– Tính $y^{\prime }$ theo công thức ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

– Xét dấu $y^{\prime }$ và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

d) – Tìm TXĐ.

– Tính $y^{\prime }$ theo công thức ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

– Xét dấu $y^{\prime }$ và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

e) – Tìm TXĐ.

– Tính $y^{\prime }$ theo công thức ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

– Xét dấu $y^{\prime }$ và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

Lời giải:

a) $y=\frac{3-2x}{x+7}$

TXĐ: $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-7\right\}$

$y^{\prime }=\frac{-2.7-3.1}{{\left(x+7\right)}^2}=\frac{-17}{{\left(x+7\right)}^2}<0,$ $\mathrm{\forall }x\ne -7$

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-7\right)$ và $\left(-7;+\mathrm{\infty }\right)$.

b) $y=\frac{1}{{(x-5)}^2}$

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{5\right\}$

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-{\left[{\left(x-5\right)}^2\right]}^{\prime }}{{\left(x-5\right)}^4}$ $=\frac{-2\left(x-5\right)}{{\left(x-5\right)}^4}$ $=\frac{-2}{{\left(x-5\right)}^3}$

$y^{\prime }>0\iff \frac{-2}{{\left(x-5\right)}^3}>0$ $\iff {\left(x-5\right)}^3<0\iff x<5$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };5\right)$.

$y^{\prime }<0\iff \frac{-2}{{\left(x-5\right)}^3}<0$ $\iff {\left(x-5\right)}^3>0\iff x>5$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(5;+\mathrm{\infty }\right)$.

c) $y=\frac{2x}{x^2-9}$ 

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\pm 3\right\}$

$y^{\prime }=\frac{{\left(2x\right)}^{\prime }.\left(x^2-9\right)-2x.{\left(x^2-9\right)}^{\prime }}{{\left(x^2-9\right)}^2}$ $=\frac{2\left(x^2-9\right)-2x.2x}{{\left(x^2-9\right)}^2}=\frac{-2x^2-18}{{\left(x^2-9\right)}^2}$ $=\frac{-2\left(x^2+9\right)}{{\left(x^2-9\right)}^2}<0,\mathrm{\forall }x\in D$

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-3\right),\left(-3;3\right),\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$.

d) $y=\frac{x^4+48}{x}$

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(x^4+48\right)}^{\prime }.x-{\left(x\right)}^{\prime }.\left(x^4+48\right)}{x^2}$ $=\frac{4x^3.x-x^4-48}{x^2}=\frac{3x^4-48}{x^2}$ $=\frac{3\left(x^4-16\right)}{x^2}=\frac{3\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)}{x^2}$

$y^{\prime }=0\iff x^2-4=0\iff x=\pm 2$.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-2;0\right)$ và $\left(0;2\right)$.

e) $y=\frac{x^2-2x+3}{x+1}$ 

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-1\right\}$

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(x^2-2x+3\right)}^{\prime }\left(x+1\right)-{\left(x+1\right)}^{\prime }\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x+1\right)}^2}$ $=\frac{\left(2x-2\right)\left(x+1\right)-\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x+1\right)}^2}$ $=\frac{x^2+2x-5}{{\left(x+1\right)}^2}$

Khi đó $y^{\prime }=0\iff x^2+2x-5=0$ $\iff x=-1\pm \sqrt{6}$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(-\mathrm{\infty };-1-\sqrt{6}),(-1+\sqrt{6};+\mathrm{\infty })$

và nghịch biến trên các khoảng $(-1-\sqrt{6};-1),(-1;-1+\sqrt{6})$

g) $y=\frac{x^2-5x+3}{x-2}$

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(x^2-5x+3\right)}^{\prime }\left(x-2\right)-{\left(x-2\right)}^{\prime }\left(x^2-5x+3\right)}{{\left(x-2\right)}^2}$ $=\frac{\left(2x-5\right)\left(x-2\right)-\left(x^2-5x+3\right)}{{\left(x-2\right)}^2}$ $=\frac{x^2-4x+7}{{\left(x-2\right)}^2}$ $=\frac{{\left(x-2\right)}^2+3}{{\left(x-2\right)}^2}>0,\mathrm{\forall }x\in D$.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Bài 1.3 trang 8 SBT Giải tích 12: Xét tính đơn điệu của các hàm số:

a) $y=\frac{\sqrt{x}}{x+100}$

b) $y=\frac{x^3}{\sqrt{x^2-6}}$

Phương pháp giải:

– Tìm tập xác định.

– Tính $y^{\prime }$ và tìm nghiệm của $y^{\prime }=0$.

– Xét dấu của $y^{\prime }$ và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

a) $y=\frac{\sqrt{x}}{x+100}$

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }\left(x+100\right)-\sqrt{x}.{\left(x+100\right)}^{\prime }}{{\left(x+100\right)}^2}$ $=\frac{\frac{x+100}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{{\left(x+100\right)}^2}=\frac{100-x}{2\sqrt{x}{\left(x+100\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff x=100$.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;100)$ và nghịch biến trên khoảng $(100;+\infty )$

b) $y=\frac{x^3}{\sqrt{x^2-6}}$

TXĐ: $(-\infty ;-\sqrt{6})\cup (\sqrt{6};+\infty )$

$y^{\prime }=\frac{2x^2(x^2-9)}{(x^2-6)\sqrt{x^2-6}}$ ;$y^{\prime }=0\iff x=\pm 3$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-3),(3;+\infty )$, nghịch biến trên các khoảng $(-3;-\sqrt{6}),(\sqrt{6};3)$.

Bài 1.4 trang 8 SBT Giải tích 12: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) $y=x-\sin x,x\in [0;2\pi ]$

b) $y=\sin \frac{1}{x}$ , $(x>0)$

Phương pháp giải:

– Tìm TXĐ.

– Tính $y^{\prime }$ và xét dấu $y^{\prime }$.

– Kết luận.

Lời giải:

a) $y=x-\sin x,x\in [0;2\pi ]$

$y=x-\sin x,x\in [0;2\pi ]$.

$y^{\prime }=1-\cos x\ge 0$ với mọi $x\in [0;2\pi ]$

Dấu “=” xảy ra chỉ tại $x=0$ và $x=2\pi$.

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn $[0;2\pi ]$.

b) $y=\sin \frac{1}{x}$ , $(x>0)$

Xét hàm số $y=\sin \frac{1}{x}$  với $x>0$.

$y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}\cos \frac{1}{x}$

Với $x>0$ ta có:

$\frac{1}{x^2}(-\cos \frac{1}{x})>0$  ⟺ $\cos \frac{1}{x}$ < 0

⟺ $\frac{\pi }{2}(1+4k)<\frac{1}{x}<\frac{\pi }{2}(3+4k)$ ,k = 0, 1, 2 ….

⟺ $\frac{2}{\pi (1+4k)}>x>\frac{2}{\pi (3+4k)}$  , k = 0, 1, 2 ……..

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng

$....,(\frac{2}{(4k+3)\pi };\frac{2}{(4k+1)\pi }),(\frac{2}{(4k-1)\pi };\frac{2}{(4k-3)\pi }),.....,$ $(\frac{2}{7\pi };\frac{2}{5\pi }),(\frac{2}{3\pi };\frac{2}{\pi })$

và nghịch biến trên các khoảng

……, $(\frac{2}{(4k+1)\pi };\frac{2}{(4k-1)\pi }),(\frac{2}{5\pi };\frac{2}{3\pi }),.....,(\frac{2}{\pi };+\mathrm{\infty })$

với k = 0, 1, 2 …
Bài 1.5 trang 8 SBT Giải tích 12: Xác định  để hàm số sau:
a) $y=\frac{mx-4}{x-m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định;

b) $y=-x^3+m{x}^2-3x+4$ nghịch biến trên $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$

Phương pháp giải:

a) – Tìm TXĐ $D$.

– Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất đồng biến trên $D$ nếu $y^{\prime }>0,\mathrm{\forall }x\in D$.

b) – Hàm số đa thức bậc ba nghịch biến trên $R$ nếu $y^{\prime }\le 0,\mathrm{\forall }x\in R$.

– Tam thức bậc hai $y=a{x}^2+bx+c\le 0,\mathrm{\forall }x\in R$

$\iff \{\begin{array}{l}a<0\\ \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}$

Lời giải:

a) $y=\frac{mx-4}{x-m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định;

Tập xác định: D = R\{m}

$y^{\prime }=\frac{-m^2+4}{{\left(x-m\right)}^2}$

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

$\begin{array}{l}\iff y^{\prime }>0,\mathrm{\forall }x\ne m\\ \iff \frac{-m^2+4}{{\left(x-m\right)}^2}>0,\mathrm{\forall }x\ne m\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \iff -m^2+4>0\\ & \iff m^2<4\iff -2<m<2\end{array}$

b) $y=-x^3+m{x}^2-3x+4$ nghịch biến trên $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$

Tập xác định: $D=R$

$y^{\prime }=-3x^2+2mx-3$

Hàm số nghịch biến trên R 

$\begin{array}{l}\iff y^{\prime }\le 0,\mathrm{\forall }x\in R\\ \iff -3x^2+2mx-3\le 0,\mathrm{\forall }x\in R\\ \iff \{\begin{array}{l}a=-3<0\left(\text{đúng}\right)\\ {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-\left(-3\right).\left(-3\right)\le 0\end{array}\\ \iff m^2-9\le 0\\ \iff m^2\le 9\\ \iff -3\le m\le 3\end{array}$

Bài 1.6 trang 8 SBT Giải tích 12: Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất $3(\cos x-1)+2\sin x+6x=0$

Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp hàm số:

– Xét hàm số vế trái và chứng minh nó đơn điệu trên $R$.

– Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.

Lời giải:

Đặt $y=3(\cos x–1)+2\sin x+6x$

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈  R

Ta có: $y(0)=0$ và $y^{\prime }=-3\sin x+2\cos x+6>0,x\in R$.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm $x=0$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Bài 1.7 trang 8 SBT Giải tích 12: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $\tan x>\sin x$, $0<x<\frac{\pi }{2}$

b) $1+\frac{1}{2}x-\frac{x^2}{8}<\sqrt{1+x}<1+\frac{1}{2}x$ với $x>0$

Phương pháp giải:

a) Xét hàm $f\left(x\right)=\tan x-\sin x$ và chứng minh nó đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

b) Xét các hàm số $f\left(x\right)=1+\frac{1}{2}x-\frac{x^2}{8}-\sqrt{1+x}$ và $g\left(x\right)=\sqrt{1+x}-1-\frac{1}{2}x$ trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ và chứng minh chúng nghịch biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải:

a) $\tan x>\sin x$, $0<x<\frac{\pi }{2}$

Xét hàm $f\left(x\right)=\tan x-\sin x$ trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ ta có:

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\cos x$ $=\frac{1-{\cos }^{3}x}{{\cos }^{2}x}>0$ với $\mathrm{\forall }x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ vì $\cos x<1$ với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên ${\cos }^{3}x<1,\mathrm{\forall }x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Do đó hàm số $f\left(x\right)=\tan x-\sin x$ đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

$\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(0\right)=0$ $\Rightarrow \tan x-\sin x>0\iff \tan x>\sin x$  với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

b) $1+\frac{1}{2}x-\frac{x^2}{8}<\sqrt{1+x}<1+\frac{1}{2}x$ với $x>0$

Xét $f\left(x\right)=1+\frac{1}{2}x-\frac{x^2}{8}-\sqrt{1+x}$ trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$.

Vì $x>0$ nên $f^{\prime }\left(x\right)<\frac{1}{2}-\frac{1}{4}.0-\frac{1}{2\sqrt{0+1}}=0$ nên hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

Do đó $f\left(x\right)<f\left(0\right)=0$ $\Rightarrow 1+\frac{1}{2}x-\frac{x^2}{8}-\sqrt{1+x}<0$ $\iff 1+\frac{1}{2}x-\frac{x^2}{8}<\sqrt{1+x}\left(1\right)$

Xét $g\left(x\right)=\sqrt{1+x}-1-\frac{1}{2}x$ trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ ta có: $g^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2}$

Vì $x>0$ nên $g^{\prime }\left(x\right)<\frac{1}{2\sqrt{0+1}}-\frac{1}{2}=0$ hay $y=g\left(x\right)$ nghịch biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

Do đó $g\left(x\right)<g\left(0\right)=0$ hay $\sqrt{1+x}-1-\frac{1}{2}x<0$ $\iff \sqrt{1+x}<1+\frac{1}{2}x\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta được $1+\frac{1}{2}x-\frac{x^2}{8}<\sqrt{1+x}<1+\frac{1}{2}x$ với $x>0$. (đpcm)

Bài 1.8 trang 8 SBT Giải tích 12: Xác định giá trị của b để hàm số $f(x)=\sin x-bx+c$ nghịch biến trên toàn trục số.

Phương pháp giải:

Hàm số  nghịch biến trên  với mọi  nếu f ′ ( x ) ≤ 0 , ∀ x ∈ D .

Lời giải:

$f(x)=\sin x-bx+c$ nghịch biến trên R nếu ta có:

$f^{\prime }(x)=\cos x-b\le 0,\mathrm{\forall }x\in R$.

Vì $|\cos x|\le 1$ nên $f^{\prime }(x)\le 0,\mathrm{\forall }x\in R<=>b\ge 1.$

Bài 1.9 trang 8 SBT Giải tích 12: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $y=\sin 3x$ là hàm số chẵn.

B. Hàm số $y=\frac{\sqrt{3x+5}}{x-1}$ xác định trên $\mathbb{R}$.

C. Hàm số $y=x^3+4x-5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

D. Hàm số $y=\sin x+3x-1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của mỗi đáp án, sử dụng tính chẵn lẻ, tính đơn điệu của hàm số.

Lời giải:

Đáp án A: TXĐ: $D=\mathbb{R}$.

Có $f\left(-x\right)=\sin \left(-3x\right)$ $=-\sin 3x=-f\left(x\right)$ nên hàm số $y=\sin 3x$ lẻ trên $\mathbb{R}$.

A sai.

Đáp án B: ĐKXĐ: $x-1\ne 0\iff x\ne 1$ nên TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$.

B sai.

Đáp án C: TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Có $y^{\prime }=3x^2+4>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ nên hàm số $y=x^3+4x-5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

C đúng.

Chọn C.

Chú ý:

Ngoài ra các em cũng có thể kiểm tra thêm đáp án D: $y^{\prime }=\cos x+3>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó D sai.

Bài 1.10 trang 8 SBT Giải tích 12: Hàm số $y=\sqrt{25-x^2}$ nghịch biến trên khoảng:

A. $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$

B. $\left(-5;0\right)$

C. $\left(0;5\right)$

D. $\left(5;+\mathrm{\infty }\right)$

Phương pháp giải:

– Tìm TXĐ $D$.

– Tính $y^{\prime }$ và tìm nghiệm của $y^{\prime }=0$ trên $D$.

– Xét dấu $y^{\prime }$ và suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

TXĐ: $D=\left[-5;5\right]$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}=0\iff x=0$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left(0;5\right)$.

Chọn C.

Bài 1.11 trang 8 SBT Giải tích 12: Hàm số $y=\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}$ đồng biến trên khoảng

A. $\left(4;+\mathrm{\infty }\right)$

B. $\left(-4;4\right)$

C. $\left(-\mathrm{\infty };-4\right)$

D. $\mathbb{R}$

Phương pháp giải:

– Tìm TXĐ $D$.

– Tính $y^{\prime }$ và tìm nghiệm của $y^{\prime }=0$ trên $D$.

– Xét dấu $y^{\prime }$ và suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D=\left(-4;4\right)$.

Có $y^{\prime }=\frac{\sqrt{16-x^2}-x.\frac{-2x}{2\sqrt{16-x^2}}}{16-x^2}$ $=\frac{\left(16-x^2\right)+x^2}{\left(16-x^2\right)\sqrt{16-x^2}}$ $=\frac{16}{\left(16-x^2\right)\sqrt{16-x^2}}>0,$ $\mathrm{\forall }x\in \left(-4;4\right)$

Do đó hàm số đồng biến trên $\left(-4;4\right)$.

Chọn B.

Bài 1.12 trang 8 SBT Giải tích 12:  Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên $\mathbb{R}$?

A. $3{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x+5=0$

B. $x^2-5x+6=0$

C. $x^5+x^3-7=0$

D. $3\tan x-4=0$

Phương pháp giải:

Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số vế trái, hàm số nào đơn điệu trên  thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Lời giải:

Đáp án C vì: Xét hàm $f\left(x\right)=x^5+x^3-7$ có $f^{\prime }\left(x\right)=5x^4+3x^2=x^2\left(5x^2+3\right)$.

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=0$ và $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Mặt khác $f\left(0\right)=-7<0,f\left(2\right)=33>0$ nên $f\left(0\right).f\left(2\right)<0$.

Hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\left[0;2\right]$ nên tồn tại $x_0\in \left(0;2\right)$ để $f\left(x_0\right)=0$ hay phương trình $f\left(x\right)=0$ có nghiệm duy nhất trên $\mathbb{R}$.

Chọn C.

Chú ý:

Cách khác:

+) Phương trình $3{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x+5=0$ $\iff 3{\sin }^{2}x-\left(1-{\sin }^{2}x\right)+5=0$ $\iff 4{\sin }^{2}x+4=0$ $\iff 4\left({\sin }^{2}x+1\right)=0$ (vô nghiệm vì $0\le {\sin }^{2}x\le 1$) nên loại A.

+) Các phương trình $x^2-5x+6=0$ và $3\tan x-4=0$ có nhiều hơn một nghiệm nên loại B, D.

Chọn C.

Bài 1.13 trang 8 SBT Giải tích 12: Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên $\mathbb{R}$?

A. $x^2-7x+12=0$

B. $x^3+5x+6=0$

C. $x^4-3x^2+1=0$

D. $2\sin x{\cos }^{2}x-2\sin x-{\cos }^{2}x+1=0$

Phương pháp giải:

Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số vế trái, hàm số nào đơn điệu trên $\mathbb{R}$ thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Lời giải chi tiết:

Đáp án B vì: Xét hàm $f\left(x\right)=x^3+5x+6$ có $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+5>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Mặt khác, $f\left(-1\right)=0$ nên phương trình $f\left(x\right)=0$ có nghiệm duy nhất trên $\mathbb{R}$.

Chọn B.

Bài 1.14 trang 8 SBT Giải tích 12: Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên $\mathbb{R}$?

A. $\left(x-5\right)\left(x^2-x-12\right)=0$

B. $-x^3+x^2-3x+2=0$

C. ${\sin }^{2}x-5\sin x+4=0$

D. $\sin x-\cos x+1=0$

Phương pháp giải:

Loại đáp án, xét các đáp án bằng cách giải mỗi phương trình và suy ra số nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: $\left(x-5\right)\left(x^2-x-12\right)=0$$\iff [\begin{array}{l}x-5=0\\ x^2-x-12=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=5\\ x=-3\\ x=4\end{array}$ nên phương trình có $3$ nghiệm.

Đáp án B: Xét hàm $f\left(x\right)=-x^3+x^2-3x+2=0$ có $f^{\prime }\left(x\right)=-3x^2+2x-3$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1-9=-8<0$ nên $f^{\prime }\left(x\right)<0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ hay hàm số $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Mà $f\left(0\right)=2,f\left(1\right)=-1$ nên $f\left(0\right).f\left(1\right)<0$, hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\left[0;1\right]$ nên phương trình có nghiệm $x_0\in \left(0;1\right)$.

Kết hợp với hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên $\mathbb{R}$.

Chọn B.

Bài 1.15 trang 8 SBT Giải tích 12: Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=x^3-2m{x}^2+12x-7$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

A. $m=4$

B. $m\in \left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

C. $m\in \left(-\mathrm{\infty };0\right)$

D. $-3\le m\le 3$

Phương pháp giải:

– Tính $y^{\prime }$.

– Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\iff y^{\prime }\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-4mx+12$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ $\iff 3x^2-4mx+12\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=4m^2-36\le 0$ $\iff m^2\le 9$ $\iff -3\le m\le 3$.

Chọn D.
Bài 1.16 trang 8 SBT Giải tích 12: Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{-mx-5m+4}{x+m}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định.

A. $m<1$ hoặc $m>4$

B. $0<m<1$

C. $m>4$

D. $1\le m\le 4$

Phương pháp giải:

– Tính $y^{\prime }$.

– Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nếu $y^{\prime }<0$ trên từng khoảng xác định.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-m\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-m^2+5m-4}{{\left(x+m\right)}^2},\mathrm{\forall }x\ne -m$.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-m\right)$ và $\left(-m;+\mathrm{\infty }\right)$ nếu $y^{\prime }<0,\mathrm{\forall }x\ne -m$ $\iff \frac{-m^2+5m-4}{{\left(x+m\right)}^2}<0,\mathrm{\forall }x\ne -m$ $\iff -m^2+5m-4<0$ $\iff [\begin{array}{l}m>4\\ m<1\end{array}$.

Chọn A.