Giải Toán 12 Ôn tập chương IV – Số phức

Giải bài tập Toán lớp 12 Ôn tập chương IV – Số phức

Câu hỏi và bài tập (trang 143, 144 SGK Giải tích 12)

Câu 1 trang 143 SGK Giải tích 12: Thế nào là phần thực, phần ảo, modun của số phức?

Viết công thức tính môdun của một số phức theo phần thực và phần ảo của nó.

Lời giải:

– Mỗi biểu thức dạng $a+bi$, trong đó $a,b\in R,i^2=-1$ được gọi là một số phức.

– Với số phức $z=a+bi$, ta gọi $a$ là phần thực, số $b$ gọi là phần ảo của $z$.

– Ta có $z=a+bi$ thì môdun của $z$ là $|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Câu 2 trang 143 SGK Giải tích 12: Tìm mối liên hệ giữa khái niệm môdun và khái niệm giá trị tuyệt đối của một số thực.

Phương pháp giải:

Môđun của mọi số phức $z=a+bi$ là $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Lời giải:

Nếu số phức $z$ là một số thực thì phần ảo của nó bằng 0, hay $z=a+0i$

Khi đó mô đun của $z$ là:

$\left|z\right|=\sqrt{a^2+0^2}=\sqrt{a^2}=\left|a\right|=|z|$ 

Vậy nếu $z$ là một số thực, thì môdun của $z$ chính là giá trị tuyệt đối của $z$.

Câu 3 trang 143 SGK Giải tích 12: Nêu định nghĩa số phức liên hợp của số phức $z$. Số phức nào bằng số phức liên hợp của nó?

Phương pháp giải:

$\begin{array}{l}z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi\\ z=\overline{z}\iff \{\begin{array}{l}a=a\\ b=-b\end{array}\end{array}$

Lời giải:

*Cho  số phức $z=a+bi$.  ($a,b\in R$)

Ta gọi số phức $a–bi$ là số phức liên hợp của $z$ và kí hiệu là $\overline{z}$.

Vậy ta có $z=a+bi$ thì $\overline{z}=a–bi$

$z=\overline{z}\iff \{\begin{array}{l}a=a\\ b=-b\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a\in R\\ b=0\end{array}$ $\Rightarrow z=a\in R$

Vậy khi đó $z$ là một số thực.

Câu 4 trang 143 SGK Giải tích 12: Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình 71 a), b), c) ?

Phương pháp giải:

Gọi số phức có dạng $z=x+yi$, ($x,y\in R$), khi đó số phức $z$ được biểu diễn  bởi điểm $M(x,y)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Tìm miền giá trị của $x,y$ ở từng ý và nhận xét về số phức $z$.

Lời giải:

Giả sử $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$), khi đó số phức $z$ được biểu diễn  bởi điểm $M(x,y)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

a) Tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức $z$ thuộc phần gạch chéo là $\left\{M\left(x;y\right)|x\ge 1\right\}$.

Vậy số phức thỏa mãn là $z=x+yi$ với $x\ge 1$.

b) Tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức $z$ thuộc phần gạch chéo là $\left\{M\left(x;y\right)|-1\le y\le 2\right\}$

Vậy số phức thỏa mãn là $z=x+yi$ với $-1\le y\le 2$.

c) Tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức $z$ thuộc phần gạch chéo là $\left\{M\left(x;y\right)|x^2+y^2=4,-1\le x\le 1\right\}$.

Vậy số phức cần tìm có phần thực thuộc đoạn $[-1,1]$ và môdun không vượt quá $2$.

Câu 5 trang 143 SGK Giải tích 12: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện:

a) phần thực của $z$ bằng $1$

b) phần ảo của $z$ bằng $-2$

c) Phần thực của $z$ thuộc đoạn $[-1,2]$, phần ảo của $z$ thuộc đoạn $[0,1]$

d) $|z|\le 2$

Phương pháp giải:

Điểm $M\left(x;y\right)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là điểm biểu diễn cho số phức $z=x+yi$.

Tìm điều kiện của $x;y$ và biểu diễn tập hợp điểm M trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

a)

Ta có $x=1,y$ tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là đường thẳng $x=1$.

b)

Ta có $y=-2,x$ tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là đường thẳng $y=-2$.

c)

Ta có $x\in \left[-1;2\right]$, tức là $-1\le x\le 2$, tập hợp các điểm M nằm bên trái đường thẳng $x=2$ và nằm bên phải đường thẳng $x=-1$ và $y\in [0,1]$, tức là $0\le y\le 1$ tập hợp các điểm M nằm bên dưới đường thẳng $y=1$ và nằm bên trên đường thẳng $y=0$.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là hình chữ được tô màu.

d)

Ta có:

 $\left|z\right|\le 2\iff \sqrt{x^2+y^2}\le 2\iff x^2+y^2\le 4$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là hình tròn tâm $O$ (gốc tọa độ) bán kính bằng $2$ (kể cả các điểm trên đường tròn).

Câu 6 trang 143 SGK Giải tích 12: Tìm các số thực $x,y$ sao cho:

a) $3x+yi=2y+1+(2-x)i$

b) $2x+y–1=(x–2y–5)i$

Phương pháp giải:

$a+bi=c+di\iff \{\begin{array}{l}a=c\\ b=d\end{array}$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& 3x+yi=(2y+1)+(2-x)i\\ & \iff \{\begin{array}{c}3x=2y+1\hfill \\ y=2-x\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=1\hfill \\ y=1\hfill \end{array}\end{array}$

Vậy $x=1,y=1$.

b)

$\begin{array}{rl}& 2x+y-1=(x+2y-5)i\\ & \iff \{\begin{array}{c}2x+y-1=0\hfill \\ x+2y-5=0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=-1\hfill \\ y=3\hfill \end{array}\end{array}$

Vậy $x=-1,y=3$

Câu 7 trang 143 SGK Giải tích 12: Chứng tỏ rằng với mọi số phức $z$, ta luôn có phần thực và phần ảo của $z$ không vượt quá môdun của nó.

Phương pháp giải:

Gọi $z=a+bi\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$, so sánh $a$ với $\left|z\right|$ và $b$ với $\left|z\right|$

Lời giải:

Giả sử $z=a+bi$

Khi đó: $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l}\sqrt{a^2+b^2}\ge \sqrt{a^2}=\left|a\right|\ge a\Rightarrow \left|z\right|\ge a\\ \sqrt{a^2+b^2}\ge \sqrt{b^2}=\left|b\right|\ge b\Rightarrow \left|z\right|\ge b\end{array}$

Câu 8 trang 143 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép tính sau:

a) $(3+2i)[(2–i)+(3–2i)]$

b) $(4-3i)+\frac{1+i}{2+i}$

c) $(1+i{)}^2–(1–i{)}^2$

d) $\frac{3+i}{2+i}-\frac{4-3i}{2-i}$ 

Phương pháp giải:

Thực hiện các phép tính theo đúng thứ tự nhân, chia trước, công trừ sau, trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.

Lời giải:

a)

$(3+2i)[(2–i)+(3–2i)]$

$=(3+2i)(5–3i)$ $=15+10i-9i-6i^2$

$=15+i+6=21+i$

b)

$(4-3i)+\frac{1+i}{2+i}$ $=(4-3i)+\frac{(1+i)(2-i)}{5}$

$=(4-3i)+\frac{2+2i-i-i^2}{5}$ $=(4-3i)+\frac{3+i}{5}$

$=(4-3i)+(\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i)$ $=(4+\frac{3}{5})-(3-\frac{1}{5})i$ $=\frac{23}{5}-\frac{14}{5}i$

c)

$(1+i{)}^2–(1–i{)}^2$ $=(1+2i+i^2)-(1-2i+i^2)$ $=2i–(-2i)=4i$

d)

$\frac{3+i}{2+i}-\frac{4-3i}{2-i}=\frac{(3+i)(2-i)}{5}-\frac{(4-3i)(2+i)}{5}=\frac{7-i}{5}-\frac{11-2i}{5}=\frac{-4}{5}+\frac{1}{5}i$

Câu 9 trang 144 SGK Giải tích 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) $(3+4i)z+(1–3i)=2+5i$

b) $(4+7i)z–(5–2i)=6iz$

Phương pháp giải:

+ Đưa phương trình về dạng $az+b=0$

+ Giải phương trình dạng $az+b=0\iff z=-\frac{b}{a}$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}\left(3+4i\right)z+\left(1-3i\right)=2+5i\\ \iff \left(3+4i\right)z=2+5i-\left(1-3i\right)\\ \iff \left(3+4i\right)z=1+8i\iff z=\frac{1+8i}{3+4i}\\ \iff z=\frac{\left(1+8i\right)\left(3-4i\right)}{3^2+4^2}\\ \iff z=\frac{35+20i}{25}\iff z=\frac{7}{5}+\frac{4}{5}i\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}\left(4+7i\right)z-\left(5-2i\right)=6iz\\ \iff \left(4+7i\right)z-6iz=5-2i\\ \iff \left(4+i\right)z=5-2i\iff z=\frac{5-2i}{4+i}\\ \iff z=\frac{\left(5-2i\right)\left(4-i\right)}{4^2+1^2}\\ \iff z=\frac{18-13i}{17}=\frac{18}{17}-\frac{13}{17}i\end{array}$

Câu 10 trang 144 SGK Giải tích 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức

a) $3z^2+7z+8=0$

b) $z^4–8=0$

c) $z^4–1=0$

Phương pháp giải:

a) Tính $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$. Gọi $\delta$ là 1 căn bậc hai của $\mathrm{\Delta }$, khi đó phương trình có 2 nghiệm: $[\begin{array}{l}{z}_1=\frac{-b+\delta }{2a}\\ z_2=\frac{-b-\delta }{2a}\end{array}$

b, c) Đặt $z^2=t$, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai và giải phương trình bậc hai đó, khi đó nghiệm $z$ là căn bậc hai của các nghiệm $t$ tìm được ở trên 

Lời giải:

a)

$3z^2+7z+8=0$ có $\Delta =49–\mathrm{4.3.8}=-47$

Căn bậc hai của $\mathrm{\Delta }$ là $\pm i\sqrt{47}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: $z_{1,2}=\frac{-7\pm i\sqrt{47}}{6}$

b)

$z^4–8=0$

Đặt $t=z^2$, ta được phương trình : $t^2-8=0\iff t=\pm \sqrt{8}$

$\begin{array}{l}t=\sqrt{8}\Rightarrow z^2=\sqrt{8}\iff z=\pm \sqrt{\sqrt{8}}=\pm \sqrt[4]{8}\\ t=-\sqrt{8}\Rightarrow z^2=-\sqrt{8}\iff z=\pm i\sqrt{\sqrt{8}}=\pm i\sqrt[4]{8}\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: $z_{1,2}=\pm \sqrt[4]{8},z_{3,4}=\pm i\sqrt[4]{8}$

c)

$z^4–1=0$

Đặt $t=z^2$, ta được phương trình : $t^2-1=0\iff t=\pm 1$.

$\begin{array}{l}t=1\Rightarrow z^2=1\iff z=\pm 1\\ t=-1\Rightarrow z^2=-1\iff z=\pm i\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là $\pm 1$ và $\pm i$

Câu 11 trang 144 SGK Giải tích 12: Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng $3$ và tích của chúng bằng $4$.

Phương pháp giải:

Nếu $z_1+z_2=S,z_1{z}_2=P$ thì $z_1,z_2$ là nghiệm của phương trình $z^2-Sz+P=0$.

Lời giải:

Giả sử hai số cần tìm là $z_1$ và $z_2$.

Ta có: $z_1+z_2=3$; $z_1.z_2=4$

Rõ ràng, $z_1,z_2$ là các nghiệm của phương trình: $z^2–3z+4=0$

Phương trình có $\Delta =3^2-4.4=9–16=-7$.

Căn bậc hai của $\mathrm{\Delta }$ là $\pm i\sqrt{7}$.

Vậy hai số phức cần tìm là: $z_1=\frac{3+i\sqrt{7}}{2},z_2=\frac{3-i\sqrt{7}}{2}$

Câu 12 trang 144 SGK Giải tích 12: Cho hai số phức $z_1,z_2$. Biết rằng $z_1+z_2$ và $z_1.z_2$ là hai số thực. Chứng minh rằng $z_1,z_2$ là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Phương pháp giải:

Đặt $z_1+z_2=a$; $z_1.z_2=b;a,b\in \mathbb{R}$. Khi đó $z_1,z_2$ là nghiệm của phương trình $z^2-az+b=0$.

Lời giải:

Đặt $z_1+z_2=a$; $z_1.z_2=b;a,b\in \mathbb{R}$

Khi đó, $z_1$ và $z_2$ là hai nghiệm của phương trình  

$\begin{array}{l}\left(z-z_1\right)\left(z-z_2\right)=0\\ \iff z^2-z.z_2-z.z_1+z_1{z}_2=0\\ \iff z^2-\left(z_1+z_2\right)z+z_1{z}_2=0\\ \iff z^2-az+b=0\end{array}$

Đó là phương trình bậc hai đối với hệ số thực. Suy ra điều phải chứng minh.

Bài tập trắc nghiệm (trang 144 SGK Giải tích 12)
Câu 1 trang 144 SGK Giải tích 12: Số nào trong các số sau là số thực?

A. $(\sqrt{3}+2i)–(\sqrt{3}-2i)$

B. $(2+i\sqrt{5})+(2-i\sqrt{5})$

C. $(1+i\sqrt{3}{)}^2$

D. $\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}$

Phương pháp giải:

Số phức $z$ là số thực nếu phần ảo của nó bằng $0$.

Lời giải:

Ta tìm phần ảo của các số đã cho:

(A). $\left(\sqrt{3}+2i\right)-\left(\sqrt{3}-2i\right)$ $=\sqrt{3}+2i-\sqrt{3}+2i=4i$

là số thuần ảo (loại A)

(B). $\left(2+i\sqrt{5}\right)+\left(2-i\sqrt{5}\right)$ $=2+i\sqrt{5}+2-i\sqrt{5}=4$ là số thực.

(C). ${\left(1+i\sqrt{3}\right)}^2=1+2\sqrt{3}i-3$ $=-2+2\sqrt{3}i$ không là số thực.

(D). $\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}=\frac{{\left(\sqrt{2}+i\right)}^2}{\left(\sqrt{2}-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right)}$ $=\frac{2+2\sqrt{2}i-1}{2+1}=\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt{2}i}{3}$ không là số thực.

Chọn đáp án (B)

Câu 2 trang 144 SGK Giải tích 12: Số nào trong các số sau là số thuần ảo?

A. $(\sqrt{2}+3i)+(\sqrt{2}-3i)$

B. $(\sqrt{2}+3i).(\sqrt{2}-3i)$

C. $(2+2i{)}^2$

D. $\frac{2+3i}{2-3i}$

Phương pháp giải:

Số thuần ảo là số phức có phần thực bằng $0$.

Lời giải:

Ta tìm phần thực của các số đã cho:

(A) $\left(\sqrt{2}+3i\right)+\left(\sqrt{2}-3i\right)$ $=\sqrt{2}+3i+\sqrt{2}-3i=2\sqrt{2}$ là số thực.

(B) $\left(\sqrt{2}+3i\right)\left(\sqrt{2}-3i\right)$ $={\left(\sqrt{2}\right)}^2-{\left(3i\right)}^2=2+9=11$ là số thực.

(C) ${\left(2+2i\right)}^2=4+8i-4=8i$ là số thuần ảo.

(D) $\frac{2+3i}{2-3i}=\frac{{\left(2+3i\right)}^2}{\left(2-3i\right)\left(2+3i\right)}$ $=\frac{4+12i-9}{4+9}=\frac{-5}{13}+\frac{12}{13}i$ không là số thuần ảo.

Chọn đáp án (C)

Câu 3 trang 144 SGK Giải tích 12: Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?

A. $i^{1997}=-1$        B. $i^{2345}=i$

C. $i^{2005}=1$           D. $i^{2006}=-i$

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả đã chứng minh ở bài 4 – SGK trang 136

$\begin{array}{l}{i}^{4n}=i^0=1\\ i^{4n+1}=i^1=i\\ i^{4n+2}=i^2=-1\\ i^{4n+3}=i^3=-i\end{array}$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\left(A\right).i^{1977}=i^{1976+1}=i^{494.4+1}=i^1=i\\ \left(B\right).i^{2345}=i^{2344+1}=i^{586.4+1}=i^1=i\\ \left(C\right).i^{2005}=i^{2004+1}=i^{501.4+1}=i^1=i\\ \left(D\right).i^{2006}=i^{2004+2}=i^{501.4+2}=i^2=-1\end{array}$

Chọn đáp án (B)

Câu 4 trang 144 SGK Giải tích 12: Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?

A. ${\left(1+i\right)}^8=-16$

B. ${\left(1+i\right)}^8=16i$

C. ${\left(1+i\right)}^8=16$

D. ${\left(1+i\right)}^8=-16i$

Phương pháp giải:

Tính ${\left(1+i\right)}^2$, sau đó tính ${\left(1+i\right)}^4$, sau đó ${\left(1+i\right)}^8$.

Lời giải:

$\begin{array}{l}{\left(1+i\right)}^2=1^2+2i+i^2=2i\\ \Rightarrow {\left(1+i\right)}^4={\left({\left(1+i\right)}^2\right)}^2={\left(2i\right)}^2=-4\\ \Rightarrow {\left(1+i\right)}^8={\left({\left(1+i\right)}^4\right)}^2={\left(-4\right)}^2=16\end{array}$

Chọn đáp án C

Câu 5 trang 144 SGK Giải tích 12: Biết rằng nghịch đảo của số phức $z$ bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào là đúng?

A. $z\in R$                             B. $|z|=1$

C. $z$ là một số thuần ảo       D. $|z|=-1$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $z.\overline{z}={\left|z\right|}^2$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{1}{z}=\overline{z}\Rightarrow z.\overline{z}=1$ $\iff {\left|z\right|}^2=1\iff \left|z\right|=1$

Chọn đáp án (B)

Câu 6 trang 144 SGK Giải tích 12: Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai?

A. Môdun của số phức $z$ là một số thực

B. Môdun của số phức $z$ là một số phức

C. Môdun của số phức $z$ là một số thực dương

D. Môdun của số phức $z$ là một số thực không âm.

Phương pháp giải:

$z=a+bi\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Lời giải:

$z=a+bi\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}\ge 0$.

Do đó C sai vì mô đun của số phức $z$ vẫn có thể bằng $0$.

Cụ thể khi $z=0$ thì $\left|z\right|=0$.

Chọn đáp án (C)

Các dạng toán về điểm biểu diễn số phức

1. Kiến thức cần nhớ

Điểm $M\left(a;b\right)$ biểu diễn số phức $z=a+bi$.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Cách 1: Tính số phức $z$ dựa vào các phép đổi thông thường.

Cách 2:

– Bước 1: Gọi số phức $z=x+yi\left(x,y\in R\right)$ có điểm biểu diễn là $M\left(x;y\right)$.

– Bước 2: Thay $z=x+yi$ và điều kiện đề bài tìm $x,y\Rightarrow M$.

Ví dụ: Cho số phức $z$ thỏa mãn $w+2z=i$ biết $w=2-i$. Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức $z$.

Giải:

Gọi $z=a+bi\left(a,b\in R\right)$ biểu diễn số phức $z$, ta có:

$2-i+2\left(a+bi\right)=i\iff \left(2+2a\right)+\left(2b-2\right)=0\iff \{\begin{array}{l}2+2a=0\\ 2b-2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}$

Vậy $M\left(-1;1\right)$.

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức.

Phương pháp:

– Bước 1: Gọi số phức $z=x+yi\left(x,y\in R\right)$ có điểm biểu diễn là $M\left(x;y\right)$.

– Bước 2: Thay $z=x+yi$ vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa $x,y$.

– Bước 3: Kết luận:

+) Phương trình đường thẳng: $Ax+By+C=0$

+) Phương trình đường tròn: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$

+) Phương trình parabol: $y=a{x}^2+bx+c$ hoặc $x=a{y}^2+by+c$

+) Phương trình elip: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Ví dụ: Tìm tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn:$|z-(3-4i)|=2$.

A. Đường tròn tâm $I\left(3,-4\right)$ và bán kính $R=2$.

B. Đường tròn tâm $I\left(-3,4\right)$ và bán kính $R=2$.

C. Đường tròn tâm $I\left(3,-4\right)$ và bán kính $R=1$.

D. Đường tròn tâm $I\left(-3,4\right)$ và bán kính $R=1$.

Giải:

Giả sử ta có số phức $z=a+bi$ .

Thay vào $|z-(3-4i)|=2$ có:

$|a+bi-(3-4i)|=2\iff |(a-3)+(b+4)i|=2$

$\iff \sqrt{{(a-3)}^2+{(b+4)}^2}=2\iff (a-3{)}^2+(b+4{)}^2=4$.

Chọn đáp án A

Các dạng toán về tìm min, max liên quan đến số phức

1. Kiến thức cần nhớ

– Mô đun của số phức $z=a+bi$ là $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}\ge 0$

– Bất đẳng thức Cô-si: $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ với $x,y>0$

– Bất đẳng thức Bunhiacopxki: $\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge {\left(ac+bd\right)}^2$

– Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: $\left|\left|z_1\right|-\left|z_2\right|\right|\le \left|z_1\pm z_2\right|\le \left|z_1\right|+\left|z_2\right|$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp:

– Bước 1: Gọi số phức $z=x+yi\left(x,y\in R\right)$.

– Bước 2: Thay $z$ và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của $x,y$.

– Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra $x,y\Rightarrow z$.

Ví dụ: Cho $z_1;z_2$ thỏa mãn $\left|z_1-z_2\right|=1;\left|z_1+z_2\right|=3.$ Tính max$T=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|.$

A. $8$

B. $10$

C. $4$

D. $\sqrt{10}$

Giải

Đặt $z_1=x_1+y_{1}i;z_2=x_2+y_{2}i.$ $(x_1,y_1,x_2,y_2\in R)$. Điều kiện đã cho trở thành

+) $\left|z_1-z_2\right|=1$$\Rightarrow \left|x_1+y_{1}i-x_2-y_{2}i\right|=1\iff \sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2}=1$ 

$\iff {x_1}^2+{x_2}^2+{y_1}^2+{y_2}^2-2x_1{x}_2-2y_1{y}_2=1$  (1)

+) $\left|z_1+z_2\right|=3\Rightarrow \left|x_1+y_{1}i+x_2+y_{2}i\right|=3$

$\iff {x_1}^2+{x_2}^2+{y_1}^2+{y_2}^2+2x_1{x}_2+2y_1{y}_2=9$  (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được ${x_1}^2+{x_2}^2+{y_1}^2+{y_2}^2=5$

+) $T=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}+\sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

$T=1.\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}+1.\sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2}\le \sqrt{\left(1+1\right).\left({x_1}^2+{x_2}^2+{y_1}^2+{y_2}^2\right)}$ 

$=\sqrt{2.5}=\sqrt{10}\Rightarrow$ $maxT=\sqrt{10}.$

Đáp án D 

Lưu ý: Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này. 

Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp
+) Đường thẳng
+) Đường tròn
+) Đường elip
+) Parabol
Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun

Số phức $z=x+yi(x,y\in R)$  có điểm biểu diễn là $M(x,y)$. Mô đun của số phức $z$ là độ dài đoạn thẳng $OM$ với $O$ là gốc tọa độ.

Ví dụ: Cho số phức $z=x+yi$ thỏa mãn $\left|z-2-4i\right|=\left|z-2i\right|$ đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính $N=x^2+y^2.$

A. $N=8$

B. $N=10$

C. $N=16$              

D. $N=26$

Giải

Gọi $M(x,y)$ là điểm biểu diễn của số phức $z=x+yi$

+) $\left|z-2-4i\right|=\left|z-2i\right|$$\Rightarrow (x-2{)}^2+(y-4{)}^2=x^2+(y-2{)}^2\iff -4x+4-8y+16=-4y+4$

$\iff 4x+4y=16\iff x+y-4=0$

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của $z$ là một đường thẳng $x+y-4=0$

+) $N=x^2+y^2={\left|z\right|}^2$

$\Rightarrow N$min$\iff \left|z\right|$min$\iff OM$min $\Rightarrow OM\mathrm{\perp }d:x+y-4=0$

$\Rightarrow M(2,2)$  $\Rightarrow N=2^2+2^2=8$

Đáp án A.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

– Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.

Ví dụ: Cho $z$ thỏa mãn $\left|z-2-4i\right|=\sqrt{5}.$ Tìm max$\left|z\right|.$

A. $3\sqrt{5}$

B. $5$

C. $\sqrt{5}$                                     

D. $\sqrt{13}$

Giải

Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.

Ta có:$\left|z\right|-\left|-2-4i\right|\le \left|z-2-4i\right|\iff \left|z\right|-\sqrt{20}\le \sqrt{5}\iff \left|z\right|\le \sqrt{20}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}$

$\Rightarrow$ max$\left|z\right|=3\sqrt{5}$

Đáp án A.