Phương pháp giải chuyên đề Hàm số 2023 (lý thuyết và bài tập)

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1. Hàm số là gì?

Định nghĩa: Nếu một đại lượng y phụ thuộc vào một đại lượng thay đổi x sao cho một giá trị của xha ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, và x gọi là biến số.

2. Tính đơn điệu của hàm số

a. Định nghĩa

D là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên D

• Hàm số y=f(x) được gọi là đồng biến trên miền D khi và chỉ khi ⇔∀x1,x2∈D và x1
• Hàm số y=f(x) được gọi là nghịch biến trên miền D khi và chỉ khi ⇔∀x1,x2∈D và x1f(x2).

b. Định lý

Giả sử y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì:

• Nếu f′(x)>0, ∀x∈(a;b) ⇒ hàm số f(x) sẽ đồng biến trên khoảng (a;b).
• Nếu f′(x)<0, ∀x∈(a;b) ⇒ hàm số f(x) sẽ nghịch biến trên khoảng (a;b).
• Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) ⇒f′(x)≥0, ∀x∈(a;b).
• Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) ⇒f′(x)≤0, ∀x∈(a;b).

Khoảng (a;b) được gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số.

Lưu ý:

Nếu f’(x)=0, ∀x∈(a;b) thì f(x) không đổi tên (a;b).

Nếu thay đổi khoảng (a;b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết hàm số xác định và liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó.

c. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

•  Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.
• Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.

d. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

• Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì f đồng biến trên K.
• Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì f nghịch biến trên K.
• Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.

e. Định lý mở rộng

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K.

a) f'(x)0 x K và f'(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì f(x) đồng biến trên K.

b) f'(x)0 x K và f'(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì f(x) nghịch biến trên K.

f. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số.
• Tính đạo hàm f'(x). Tìm xi(i=1,2,3,….,n) mà tại đó đạo hàm f'(x)=0 hoặc không xác định.
• Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
• Kết luận.

3. Cực trị của hàm số

a. Định nghĩa 

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ và điểm $x_0\in (a;b).$

– Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho  $f(x)<f(x_0),\forall x\in (x_0-h;x_0+h),x\ne x_0$  thì ta nói hàm số $f$ đạt cực đại tại $x_0.$

– Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f(x)>f(x_0),\forall x\in (x_0-h;x_0+h),x\ne x_0$ thì ta nói hàm số $f$ đạt cực tiểu tại $x_0.$

Chú ý:

a) Cần phân biệt các các khái niệm:

– Điểm cực trị $x_0$ của hàm số.

– Giá trị cực trị của hàm số.

– Điểm cực trị $\left(x_0;y_0\right)$ của đồ thị hàm số.

b) Nếu $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(a;b\right)$ và đạt cực trị tại $x_0\in \left(a;b\right)$ thì $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$.

 

b. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 1. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $K=(x_0-h;x_0+h)(h>0)$ và có đạo hàm trên $K$ hoặc trên $K\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$

+) Nếu $\{\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)>0|\mathrm{\forall }\left(x_0-h;x_0\right)\hfill \\ f^{\prime }\left(x\right)<0|\mathrm{\forall }\left(x_0;x_0+h\right)\hfill \end{array}$ thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số

+) Nếu $\{\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)<0|\mathrm{\forall }\left(x_0-h;x_0\right)\hfill \\ f^{\prime }\left(x\right)>0|\mathrm{\forall }\left(x_0;x_0+h\right)\hfill \end{array}$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số 

Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

Định lý 2:

Giả sử $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp 2 trong $\left(x_0-h;x_0+h\right)\left(h>0\right)$.

 

a) Nếu $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=0\\ f^{″}\left(x_0\right)>0\end{array}$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

b) Nếu $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=0\\ f^{″}\left(x_0\right)<0\end{array}$ thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số.

 

c. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Phương pháp:

Có thể tìm cực trị của hàm số bởi một trong hai quy tắc sau:

Quy tắc 1: (suy ra từ định lý 1)

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

– Bước 2: Tính $f^{\prime }\left(x\right)$, tìm các điểm tại đó $f^{\prime }\left(x\right)=0$ hoặc không xác định.

– Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Quy tắc 2: (suy ra từ định lý 2)

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

– Bước 2: Tính $f^{\prime }\left(x\right)$, giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ và kí hiệu $x_1,...,x_n$ là các nghiệm của nó.

– Bước 3: Tính $f^{″}\left(x\right)$ và $f^{″}\left(x_i\right)$.

– Bước 4: Dựa và dấu của $f^{″}\left(x_i\right)$ suy ra điểm cực đại, cực tiểu:

+ Tại các điểm $x_i$ mà $f^{″}\left(x_i\right)>0$ thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm $x_i$ mà $f^{″}\left(x_i\right)<0$ thì đó là điểm cực đại của hàm số.

4. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số

a. Định nghĩa

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D.$

– Số $M$ là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số $f$ trên $D$

$\iff \{\begin{array}{c}f(x)\le M,\mathrm{\forall }x\in D\hfill \\ \mathrm{\exists }{x}_0\in D\text{ sao cho }f(x_0)=M\hfill \end{array}$

Kí hiệu : $M=\underset{D}{max}f(x).$

– Số $m$ là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $f$ trên $D$

$\iff \{\begin{array}{c}f(x)\ge m,\mathrm{\forall }x\in D\hfill \\ \mathrm{\exists }{x}_0\in D\text{ sao cho }f(x_0)=m\hfill \end{array}$

Kí hiệu: $m=\underset{D}{min}f(x).$

b. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Định lí

Hàm số liên tục trên một đoạn thì có GTLN và GTNN trên đoạn đó.

Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn [a ; b]

– Tìm các điểm $x_i\in (a;b)(i=1,2,...,n)$ mà tại đó $f^{\prime }(x_i)=0$ hoặc $f^{\prime }(x_i)$ không xác định.

– Tính $f(a),f(b),f(x_i)(i=1,2,...,n).$

– Khi đó: $\underset{[a;b]}{max}f(x)=max\left\{f(a);f(b);f(x_i)\right\}$;

$\underset{[a;b]}{min}f(x)=min\left\{f(a);f(b);f(x_i)\right\}$

c. Chú ý

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập hợp $D$, ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số trên $D,$ rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$.

a. Tiệm cận đứng

Đường thẳng $x=a$ là đường tiệm cận đứng của $(C)$ nếu ít nhất một trong bốn điều kiện sau được thoả mãn:

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }\\ & \underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }\\ & \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }\\ & \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }\end{array}$

b. Tiệm cận ngang

Đường thẳng $y=b$ là tiệm cận ngang của $(C)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=b\\ & \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=b\end{array}$

Chú ý

– Đồ thị hàm đa thức không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, do đó trong các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức, ta không cần tìm các tiệm cận này.

 c. Tiệm cận xiên:

Đường thẳng $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$ được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: $[\begin{array}{l}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0\end{array}$ , trong đó:

$\{\begin{array}{l}a=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f\left(x\right)}{x}\\ b=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-ax\right]\end{array}$  hoặc $\{\begin{array}{l}a=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f\left(x\right)}{x}\\ b=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-ax\right]\end{array}$

B. BÀI TẬP

Câu 1. Xét các mệnh đề sau:

 (I). Hàm số y = -(x – 3)³ nghịch biến trên R.

(II). Hàm số  đồng biến trên tập xác định của nó.

(III). Hàm số  đồng biến trên R.

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 3.            B. 2.            C. 1.            D. 0.

Câu 2. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-2) và đồng biến trên khoảng (-2;2)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-2) và nghịch biến trên khoảng (-2;2).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;2)

Câu 3. Hàm số . Chọn phát biểu đúng:

A. Luôn đồng biến trên R.        

B. Luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Đồng biến trên từng khoảng xác định.

D. Luôn nghịch biến trên R.

Câu 4. Cho hàm số y = -x³ + 3x² + 2021. Khoảng đồng biến của hàm số này là

A. (0;+∞).             B. (-∞;0).               C. (2;+∞).                 D. (0; 2).

Câu 5. Cho hàm số: f(x) = -2x³ + 3x² + 12x -1. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:

A. f(x) nghịch biến trên khoảng (5;10).        B. f(x) giảm trên khoảng (-1; 3)

C. f(x) nghịch biến trên khoảng (-3; -1)       D. f(x) đồng biến trên khoảng (-1; 1)

Câu 6. Hàm số nào đồng biến trên khoảng (-∞;+∞)

A. y = -x³ – 3x .      B. y = x³ + x 

Câu 7. Tập xác định của hàm số  là:

A. D = R\{-1}               B. D = R.               C. R\.               D. R\

Câu 8. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số y = 2x + cosx luôn đồng biến trên R.

B. Hàm số y = -x³ – 3x + 1 luôn nghịch biến trên R

C. Hàm số  luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

D. Hàm số y = 2x⁴ + x² + 1 luôn nghịch biến trên (-∞;0).

Câu 9. Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên R. Biết f(x) có đạo hàm f^‘(x) và hàm số y = f^‘(x) có đồ thị như hình vẽ:

 

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên R 

B. Hàm số f(x) nghịch biến trên R  

C. Hàm số f(x) chỉ nghịch biến trên khoảng (0,1) 

D. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (0;+ ∞)

Câu 10. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

 

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;0)                B. (-∞;0)

C. (1;+∞)              D. (0;1)

Câu 11. Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y = f(x) = 2x + asinx + bcosx luôn tăng trên R ?

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số  giảm trên các khoảng mà nó xác định ?

A. m < -3                    B. m ≤ -3                     C. m ≤ 1                  D. m < 1

Câu 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn nghịch biến trên R ?

 

A. -3 ≤ m ≤ 1                B . m ≤ 1                C. -3 < m < 1         D. m ≤ -3; m ≥ 1

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số  tăng trên từng khoảng xác định của nó?

A. m > 1 .                     B. m ≤ 1                   C. m < 1               D. m ≥ 1

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = f(x) = x + m cosx luôn đồng biến trên R ?

Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn đồng biến trên R ?

y = 2×3 – 3(m + 2)x² + 6(m + 1)x – 3m + 5 

A. 0.                  B. –1.                    C. 2.                     D. 1.

Câu 17. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số  luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó?

A. m = -1.               B. m = -2               C. m = 0             D. Không có  

Câu 18. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số  đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. 2.               B. 4.                  C. Vô số.               D. Không có.

Xem thêm