Sách bài tập Toán 12 Bài 4 (Cánh diều): Ứng dụng hình học của tích phân

Giải SBT Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 45 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x³, y = x² và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là:

A. $\underset{1}{\overset{3}{\int }}(x^3-x^2)dx$

B. $\underset{1}{\overset{3}{\int }}(x^2-x^3)dx$

C. $\underset{1}{\overset{3}{\int }}{x}^{2}dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}{x}^{3}dx$

D. $\underset{1}{\overset{3}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}{x}^{3}dx$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Diện tích hình phẳng đã cho là: $S = \underset{1}{\overset{3}{\int }}|x^3-x^2|dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}(x^3-x^2)dx$

Bài 46 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) có đồ thị hàm số lần lượt là (P), (C) và hình phẳng được tô màu như Hình 11. Công thức tính diện tích hình phẳng được tô màu là:

A. $S = \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx.$

B. $S = \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx.$

C. $S = \underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx.$

D. $S = \underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị, ta có, công thức tính diện tích hình phẳng được tô màu là:

$S = \underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$ = $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$

$= \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$

$= \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}-\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx$

$= \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx.$

Bài 47 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 quay quanh trục Ox được khối tròn xoay có thể tích tính theo công thức:

A. $\underset{0}{\overset{2}{\int }}xdx$

B. $\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx$

C. $\underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx$

D. $\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}xdx$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Thể tích khối tròn xoay đã cho là: $V = \pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx$

Bài 48 trang 27 SBT Toán 12 Tập 2: Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hình phẳng được tô màu như Hình 12. Diện tích hình phẳng được kí hiệu là S

a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 5.	Đ	S
b) S = $\underset{-1}{\overset{5}{\int }}\left|f\right(x\left)\right|dx.$	Đ	S
c) S = $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$	Đ	S
d) S = $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$	Đ	S

Lời giải:

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ

Quan sát đồ thị, ta có hình phẳng được tô màu như Hình 12 được giới hạn đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 5.

Diện tích hình phẳng đó là:

$S = \underset{-1}{\overset{5}{\int }}\left|f\right(x\left)\right|dx =\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx+\underset{1}{\overset{5}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{5}{\int }}\left[-f\left(x\right)\right]dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Bài 49 trang 27 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình phẳng được tô màu như Hình 13.

a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi các đường nào?

b) Tính diện tích hình phẳng đó.

Lời giải:

a) Quan sát đồ thị ta thấy, hình phẳng được tô màu như Hình 13 được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$, y = −2x + 1 và hai đường thẳng x = −1, x = 0.

b) Diện tích hình phẳng đó là:

$S = \underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left|{\left(\frac{1}{3}\right)}^x-(-2x+1)\right|dx=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left[-2x+1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^x\right]dx$

= ${\left.\left[-x^2+x+\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^x}{\ln 3}\right]\right|}_{-1}^0$ = $\frac{1}{\ln 3}-\left(-2+\frac{3}{\ln 3}\right)=2-\frac{2}{\ln 3}.$

Bài 50 trang 27 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình phẳng được tô màu như Hình 14.

a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi các đường nào?

b) Tính diện tích hình phẳng đó.

Lời giải:

a) Quan sát đồ thị ta thấy, hình phẳng được tô màu trong Hình 14 được hạn bởi đồ thị các hàm số y = −x² + 3, y = x² – 2x – 1 và hai đường thẳng x = −1, x = 2.

b) Diện tích hình phẳng đó là:

$S = \underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right|dx$

$= \underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left[(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right]dx$

$= \underset{-1}{\overset{2}{\int }}(-2x^2+2x+4)dx$

$= {\left.\left(\frac{-2}{3}{x}^3+x^2+4x\right)\right|}_{-1}^2$

= 9.

Vậy diện tích hình phẳng đó bằng 9.

Bài 51 trang 27 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos$\frac{x}{2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = $\frac{\pi }{2}$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay đã cho là:

$V = \pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^2\frac{x}{2}dx=\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1+\cos x}{2}dx={\left.\frac{\pi (x+\sin x)}{2}\right|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{{\pi }^2+2\pi }{4}.$

Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân

1. Tính diện tích hình phẳng

1.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x² – 3x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.

Hướng dẫn giải

Với mọi x ∈ [0; 3], ta có x² – 3x ≤ 0, do đó |x² – 3x| = – (x² – 3x) = 3x – x².

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x² – 3x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là:

$S=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-3x\right|dx=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(3x-x^2\right)dx={\left.\left(\frac{3}{2}{x}^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^3=\frac{9}{2}$.

1.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b

Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$.

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x³ + 2x + 2, y = x³ + x + 3 và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng đã cho là:

$S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|\left(x^3+2x+2\right)-\left(x^3+x+3\right)\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x-1\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x-1\right)dx$

$={\left.\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\right|}_1^2$= 1.

2. Tính thể tích của hình khối

2.1. Thể tích của vật thể

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = a và x = b (a < b).

Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x (a ≤ x ≤ b) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S(x). Giả sử hàm số S(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó, thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên được tính bởi công thức

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$.

Chú ý: Nếu S(x) = S không đổi với mỗi x ∈ [a; b] thì V = (b – a)S.

Ví dụ 3. Tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.

Hướng dẫn giải

Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trục và hai đáy nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h.

Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ h) cắt khối lăng trụ theo mặt cắt có diện tích không đổi là S(x) = S.

Do đó, thể tích của khối lăng trụ là V = (h – 0)S = Sh.

2.2. Thể tích của khối tròn xoay

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left[f\left(x\right)\right]}^{2}dx$.

Ví dụ 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x², trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Hướng dẫn giải

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x², trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3, quay quanh trục Ox là:

$V=\pi \underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(x^2\right)}^{2}dx$$=\pi \underset{1}{\overset{3}{\int }}{x}^{4}dx={\left.\pi \frac{x^5}{5}\right|}_1^3=\pi \left(\frac{243}{5}-\frac{1}{5}\right)=\frac{242\pi }{5}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Tích phân

Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 2: Phương trình đường thẳng

Bài 3: Phương trình mặt cầu