Sách bài tập Toán 12 Bài 3 (Cánh diều): Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Giải SBT Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 18 trang 74 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{a}$ = (1; −3; −2), $\vec{b}$ = (4; −1; 2). Tọa độ của vectơ $\vec{a} - \vec{b}$ là:

A. (3; 2; 4).

B. (5; −4; 0).

C. (−3; −2; −4).

D. (−3; −2; 0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\vec{a} - \vec{b}$ = (1 – 4; −3 – (−1); −2 – 2) = (−3; −2; −4).

Vậy $\vec{a} - \vec{b}$ = (−3; −2; −4).

Bài 19 trang 74 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai điểm A(2; 2; −1) và B(4; 6; −3). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

A. (3; 4; −2).

B. (6; 8; −4).

C. (1; 2; −1).

D. (−1; −2; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: M(x; y; z) với x = $\frac{2 + 4}{2}$ = 3; y = $\frac{2 + 6}{2}$ = 4; z = $\frac{- 1 + (- 3)}{2}$ = −2.

Vậy M(3; 4; −2).

Bài 20 trang 74 SBT Toán 12 Tập 1: Cho tam giác ABC có A(1; 3; 2), B(2; −1; 1) và C(3; 1; 0). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

A. (6; 3; 3).

B. (2; 1; 1).

C. $(3; \frac{3}{2}; \frac{3}{2})$ .

D. $(2; \frac{5}{3}; 1)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có G(x; y; z) với x = $\frac{1 + 2 + 3}{3}$ = 2; y = $\frac{3 + (- 1) + 1}{3}$ = 1; z = $\frac{2 + 1 + 0}{3}$ = 1.

Vậy G(2; 1; 1).

Bài 21 trang 74 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\vec{u}$ = (2; −1; 4). Độ dài vectơ $\vec{u}$ bằng:

A. $\sqrt{5}$ .

B. 5.

C. 27.

D. $\sqrt{21}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: | $\vec{u}$ | $= \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 4^{2}}$ = $\sqrt{21}$ .

Bài 22 trang 74 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(−2; −1; 4) và B(1; −3; −1). Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

A. $\sqrt{26}$ .

B. $\sqrt{22}$ .

C. $\sqrt{38}$ .

D. $\sqrt{34}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\vec{A B}$ = (1 – (−2); −3 – (−1); −1 – 4) = (3; −2; −5).

| $\vec{A B}$ | = $\sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 5)}^{2}}$ = $\sqrt{38}$ .

Bài 23 trang 74 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{a}$ = (0; 2; 2) và $\vec{b}$ = (3; −3; 0). Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng:

A. 60°.

B. 120°.

C. 150°.

D. 30°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: cos( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ a = (0; 2; 2) và vectơ b = (3; −3; 0) = $\frac{0.3 + 2. (- 3) + 2.0}{\sqrt{0^{2} + 2^{2} + 2^{2}} . \sqrt{3^{2} + {(- 3)}^{2} + 0^{2}}}$ = $\frac{- 1}{2}$ .

Suy ra ( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = 120°.

Bài 24 trang 74 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C(−4; 7; 5).

a) Tọa độ của $\vec{A B}$ = (1; −3; 4), $\vec{A C}$ = (−5; 5; 6).
b) AB = \| $\vec{A B}$ \| = $\sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2} + 4^{2}}$ = $\sqrt{26}$ AC = \| $\vec{A C}$ \| = $\sqrt{{(- 5)}^{2} + 5^{2} + 6^{2}}$ = $\sqrt{86}$ .
c) $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 4.
d) cos $\hat{B A C}$ = $\frac{11}{52}$ .

Lời giải:

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) S

Ta có: $\vec{A B}$ = (2 – 1; −1 – 2; 3 – (−1)) = (1; −3; 4),

$\vec{A C}$ = (−4 – 1; 7 – 2; 5 – (−1)) = (−5; 5; 6).

AB = | $\vec{A B}$ | = $\sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2} + 4^{2}}$ = $\sqrt{26}$ ,

AC = | $\vec{A C}$ | = $\sqrt{{(- 5)}^{2} + 5^{2} + 6^{2}}$ = $\sqrt{86}$ .

Có: $\vec{A B}$ . $\vec{A C}$ = 1.(−5) + (−3).5 + 4.6 = 4.

cos $\hat{B A C}$ = cos( $\vec{A B}, \vec{A C}$ ) = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C(−4; 7; 5) = $\frac{4}{\sqrt{26} . \sqrt{86}}$ = $\frac{2}{\sqrt{559}}$ .

Bài 25 trang 75 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{u}$ = (3; −2; −5) và $\vec{v}$ = (1; 1; 5). Hãy chỉ ra tọa độ của vectơ $\vec{w}$ vuông góc với hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Lời giải:

Ta có: $\vec{w}$ = [ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ] = Cho hai vectơ u = (3; −2; −5) và vectơ v = (1; 1; 5). Hãy chỉ ra tọa độ của vectơ w = (−5; −20; 5).

Khi đó, vectơ $\vec{w}$ = (−5; −20; 5) vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Bài 26 trang 75 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(2; 2; −2), N(−3; 5; 1), P(1; −1; −2).

a) Chứng minh ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác MNP.

c) Tính cos $\hat{N M P}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{M N}$ = (−3 – 2; 5 – 2; 1 – (−2)) = (−5; 3; 3),

$\vec{M P}$ = (1 – 2; −1 – 2; −2 – (−2)) = (−1; −3; 0).

Nhận thấy $\vec{M N}$ ≠ k $\vec{M P}$ với mọi k ∈ ℝ.

Vậy ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b) Ta có: $\vec{N P}$ = (1 – (−3); −1 – 5; −2 – 1) = (4; −6; −3).

MN = | $\vec{M N}$ | = $\sqrt{{(- 5)}^{2} + 3^{2} + 3^{2}}$ = $\sqrt{43}$ ;

MP = | $\vec{M P}$ | = $\sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2} + 0^{2}}$ = $\sqrt{10}$ ;

NP = | $\vec{N P}$ | = $\sqrt{4^{2} + {(- 6)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$ = $\sqrt{61}$ .

Do đó, chu vi tam giác MNP là: $\sqrt{43}$ + $\sqrt{10}$ + $\sqrt{61}$ .

c) Trong tam giác MNP, có:

cos $\hat{N M P}$ = cos ( $\vec{M N}, \vec{M P}$ ) = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(2; 2; −2), N(−3; 5; 1), P(1; −1; −2) = $\frac{(- 5) . (- 1) + 3. (- 3) + 3.0}{\sqrt{43} . \sqrt{10}}$ = $\frac{- 4}{\sqrt{430}}$ .

Bài 27 trang 75 SBT Toán 12 Tập 1: Rađa của một trung tâm kiểm soát không lưu sân bay có phạm vi theo dõi 500 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời như Hình 18, trong đó đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét.

Hỏi rađa trung tâm kiểm soát không lưu có thể phát hiện được máy bay tại vị trí A có tọa độ (−200; 400; 200) đối với hệ trục tọa độ không?

Rađa của một trung tâm kiểm soát không lưu sân bay có phạm vi theo dõi 500 km

Lời giải:

Khoảng cách từ trung tâm kiểm soát không lưu tới máy bay tại vị trí A bằng độ dài OA:

OA = | $\vec{O A}$ | = $\sqrt{{(- 200)}^{2} + 400^{2} + 200^{2}}$ = 200 $\sqrt{6}$ < 500.

Vì vậy rađa trung tâm kiểm soát không lưu có thể phát hiện được máy bay tại vị trí A có tọa độ (−200; 400; 200).

Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\vec{a} = (x; y; z)$ . và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ . Ta có:

· $\vec{a} + \vec{b} = (x + x^{'}; y + y^{'}; z + z^{'})$

· $\vec{a} - \vec{b} = (x - x^{'}; y - y^{'}; z - z^{'})$

$k \vec{a} = (k x; k y; k z)$ với k là một số thực

2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng $A (x_{A}; y_{A}; z_{A}), B (x_{B}; y_{B}; z_{B}), C (x_{C}; y_{C}; z_{C})$ . Khi đó:

· Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{2})$

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto

\vec{a} = (x; y; z)

và

\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})

được xác định bởi công thức

\vec{a} \cdot \vec{b} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

4. Cách tìm tọa độ của một vecto vuông góc với hai vecto cho trước

Cho hai vecto $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ không cùng phương.

Khi đó, vecto $\vec{w} = (y z^{'} - y^{'} z; z x^{'} - z^{'} x; x y^{'} - x^{'} y)$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Toạ độ của vectơ

Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương 3

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy