Sách bài tập Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Toạ độ của vectơ

Giải SBT Toán 12 Bài 2: Toạ độ của vectơ

Bài 10 trang 66 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 5; 3). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OA}$ là:

A. (−1; 5; 3).

B. (1; −5; −3).

C. (0; 5; 3).

D. (−1; 5; 0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: O(0; 0; 0), A(−1; 5; 3) nên $\overrightarrow{OA}$ = (−1; 5; 3).

Bài 11 trang 66 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}$ = (1; −2; 4) và điểm A. Biết $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{u}$. Tọa độ của điểm A là:

A. (1; 2; 4).

B. (1; −2; 4).

C. (−1; 2; −4).

D. (−1; −2; −4).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{u}$ nên $\overrightarrow{OA}$ = (1; −2; 4), suy ra A(1; −2; 4).

Bài 12 trang 66 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}=-3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-5\overrightarrow{k}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là:

A. (3; −1; 5).

B. (−3; 1; 5).

C. (−5; 1; −3).

D. (−3; 1; −5).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{u}=-3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-5\overrightarrow{k}$⇒ $\overrightarrow{u}$ = (−3; 1; −5).

Bài 13 trang 66 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−2; −1; 4) và B(1; −3; −1). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:

A. (−3; 2; 5).

B. (3; −2; −3).

C. (3; −2; −5).

D. (−3; −4; 3).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: A(−2; −1; 4), B(1; −3; −1)

⇒ $\overrightarrow{AB}$ = (1 – (−2); −3 – (−1); −1 – 4) = (3; −2; −5).

Vậy $\overrightarrow{AB}$ = (3; −2; −5).

Bài 14 trang 66 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}$ = (1; 2; 3) và điểm A(−1; −1; 1). Tọa độ điểm C thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}$ là:

A. (0; 1; 4).

B. (−2; −3; −2).

C. (2; 3; 2).

D. (0; −1; −4).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi điểm C(x; y; z).

Có $\overrightarrow{AC}$ = (x – (−1); y – (−1); z – 1) = (x + 1; y + 1; z – 1).

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}$ hay 

Vậy C(0; 1; 4).

Bài 15 trang 67 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A'(1; 0; 1), B'(2; 1; 2), D'(1; −1; 1); C(4; 5; −5).

a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{A‘D‘}$ là (0; −1; 0).
b) Gọi tọa độ của điểm B là (xB; yB; zB), ta có tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BC}$ là (xB – 4; yB – 5; zB + 5).
c) Trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A‘D‘}.$
d) Tọa độ điểm B là (4; 4; −5).

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

Ta có: $\overrightarrow{A‘D‘}$ = (1 – 1; −1 – 0; 1 – 1) = (0; −1; 0).

Có B(x_B; y_B; z_B), C(4; 5; −5) nên $\overrightarrow{BC}$ = (4 − x_B; 5 − y_B; −5 − z_B).

Trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A‘D‘}$

(hai vectơ cùng hướng và BC = A’D’).

Có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A‘D‘}$ với $\overrightarrow{BC}$ = (4 − x_B; 5 − y_B; −5 − z_B); $\overrightarrow{A‘D‘}$ = (0; −1; 0) ta được:

Vậy tọa độ điểm B là (4; 6; −5).

Bài 16 trang 67 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD có ba đỉnh A(1; 2; 3), B(5; 0; −1) và C(4; 3; 6).

a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là (4; −2; −4).
b) Gọi tọa độ của điểm D là (xD; yD; zD), ta có tọa độ của vectơ $\overrightarrow{CD}$ là (xD – 4; yD – 3; zD – 6).
c) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ chi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
d) Tọa độ của điểm D là (8; 1; 2).

Lời giải:

a) Đ

b) Đ

c) S

d) S

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (5 – 1; 0 – 2; −1 – 3) = (4; −2; −4).

Có D(x_D; y_D; z_D) và C(4; 3; 6) nên $\overrightarrow{CD}$ = (x_D – 4; y_D – 3; z_D – 6).

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$⇔ 

Vậy tọa độ điểm D(0; 5; 10).

Bài 17 trang 67 SBT Toán 12 Tập 1: Trong quá trình cất cánh của một máy bay không người lái: Ban đầu máy bay ở vị trí A, máy bay cách vị trí điều khiển 300 m về phía nam và 200 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 100 m (Hình 16). Một phút sau, máy bay ở vị trí B cách vị trí điều khiển 1 200 m về phía nam và 2 100 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 250 m.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc tọa độ O trùng với vị trí điều khiển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox có hướng trùng với hướng nam, trục Oy có hướng trùng với hướng đông, trục Oz vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 m. Hãy xác định tọa độ vectơ dịch chuyển $\overrightarrow{AB}$ của máy bay không người lái đó.

Lời giải:

Từ giả thiết, ta được tọa độ các điểm như sau:

A(300; 200; 100); B(1 200; 2 100; 250). Do đó, ta có:

$\overrightarrow{AB}$ = (1 200 – 300; 2 100 – 200; 250 – 100) hay $\overrightarrow{AB}$ = (900; 1 900; 150).

Lý thuyết Toạ độ của vectơ

1. Tọa độ của một điểm

a) Hệ trục tọa độ trong không gian

Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz.

b) Tọa độ của một điểm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M. – Xác định hình chiếu $M_1$ của điểm M trên mặt phẳng (Oxy). Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tìm hoành độ a, tung độ b của điểm $M_1$ – Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M. Bộ số (a;b;c) là tọa độ của điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, kí hiệu là M(a;b;c)

2. Tọa độ của một vecto

Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vecto $\overrightarrow{OM}$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của một vecto $\overrightarrow{u}$ là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu $\overrightarrow{u}$ = (a;b;c) thì$$\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}$$. Ngược lại, nếu$$\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}$$thì $\overrightarrow{u}$ = (a;b;c) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $M(x_M;y_M;z_M)$ và $N(x_N;y_N;z_N)$. Khi đó: $\overrightarrow{MN}=(x_N-x_M;y_N-y_M;z_N-z_M)$

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)

a)     Tìm tọa độ của $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$

b)    Tìm tọa độ của các điểm B’, C’

Lời giải

a)     Ta có: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(x_{A^{\prime }}-x_A;y_{A^{\prime }}-y_A;z_{A^{\prime }}-z_A)=(4;0;-1)$

b)    Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ = $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$

Do đó $\{\begin{array}{l}x-3=4\\ y-2=0\\ z-5=-1\end{array}$ hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4)

Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8)

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Bài 2: Toạ độ của vectơ

Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm