Sách bài tập Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Giải SBT Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài 10 trang 94 SBT Toán 12 Tập 2: Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(B) = 0,4; P(A | B) = 0,5; P(A | $\overline{B}$) = 0,3 thì P(A) bằng:

A. 0,38.

B. 0,8.

C. 0,2.

D. 0,18.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: P($\overline{B}$) = 1 – P(B) = 1 – 0,4 = 0,6.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B). P(A | B) + P($\overline{B}$). P(A | $\overline{B}$) = 0,4 . 0,5 + 0,6 . 0,3 = 0,38.

Bài 11 trang 94 SBT Toán 12 Tập 2: Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(A) = 0,3; P(B) = 0,6; P(A | B) = 0,4 thì P(B | A) bằng:

A. 0,5.

B. 0,6.

C. 0,8.

D. 0,2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

P(B | A) = $\frac{P\left(B\right).P\left(A\right|B)}{P\left(A\right)}$ = $\frac{\mathrm{0,6.0,4}}{\mathrm{0,3}}=\frac{\mathrm{0,24}}{\mathrm{0,3}}=\mathrm{0,8}$.

Bài 12 trang 94 SBT Toán 12 Tập 2: Một kho hàng có các thùng hàng với bề ngoài giống hệt nhau, trong đó có 24 thùng hàng loại I và 26 thùng hàng loại II. Trong số các thùng hàng đó, có 95% thùng hàng loại I và 80% thùng hàng loại II đã được kiểm định. Chọn ngẫu nhiên một thùng hàng.

Xét các biến cố:

A: “Chọn được thùng hàng loại I”;

B: “Chọn được thùng hàng đã được kiểm định”.

a) P(A) = 0,48, P($\overline{A}$) = 0,52.	Đ	S
b) P(B | A) = 0,8.	Đ	S
c) P(B | $\overline{A}$) = 0,95.	Đ	S
d) P(B) = 0,872.	Đ	S

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) S

d) Đ

Theo giả thiết, ta có: P(A) = $\frac{24}{50}$ = 0,48; P($\overline{A}$) = $\frac{26}{50}$ = 0,52.

Xác suất chọn được thùng hàng đã được kiểm định, biết thùng được chọn là thùng hàng loại I là: P(B | A) = 0,95;

Xác suất chọn được thùng hàng đã được kiểm định, biết thùng được chọn là thùng hàng loại II là: P(B | $\overline{A}$) = 0,8;

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(B) = P(A). P(B | A) + P($\overline{A}$).P(B | $\overline{A}$) = 0,48 . 0,95 + 0,52 . 0,8 = 0,872.

Bài 13 trang 95 SBT Toán 12 Tập 2: Trước khi đưa ra thị trường một sản phẩm, công ty phỏng vấn 800 khách hàng và được kết quả là 550 người nói sẽ mua, còn 250 người nói sẽ không mua. Theo kinh nghiệm của nhà sản xuất thì trong những người nói sẽ mua sẽ có 60% số người chắc chắn mua, còn trong những người nói sẽ không mua lại có 1% người chắc chắn mua. Chọn ngẫu nhiên một khách hàng. Xác suất chọn được khách hàng chắc chắn mua là bao nhiêu?

Lời giải:

Xét các biến cố:

A: “Khách hàng được chọn chắc chắn mua”;

B: “Khách hàng được chọn nói sẽ mua”.

Theo giả thiết, ta có:

P(B) = $\frac{550}{800}=\frac{11}{16}$; P($\overline{B}$) = $\frac{250}{800}=\frac{5}{16}$;

P(A | B) = 0,6; P (A | $\overline{B}$) = 0,01.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B).P(A | B) + P($\overline{B}$).P (A | $\overline{B}$) = $\frac{11}{16}$.0,6 + $\frac{5}{16}$.0,01 = $\frac{133}{320}$.

Vậy xác suất chọn được khách hàng chắc chắn mua là $\frac{133}{320}$.

Bài 14 trang 95 SBT Toán 12 Tập 2: Huy thực hiện liên tiếp hai thí nghiệm. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,6. Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,8. Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,3. Tính xác suất của các biến cố:

A: “Cả hai thí nghiệm đều thành công”;

B: “Thí nghiệm thứ nhất không thành công, còn thí nghiệm thứ hai thành công”;

C: “Thí nghiệm thứ hai thành công”.

Lời giải:

Xét biến cố M: “Thí nghiệm thứ nhất thành công”.

Khi đó, P(A) = P(M ∩ C); P(B) = P($\overline{M}$ ∩ C).

Theo giả thiết, ta có: P(M) = 0,6; P($\overline{M}$) = 1 – P(M) = 0,4; P(C | M) = 0,8; P(C | $\overline{M}$) = 0,3.

Suy ra xác suất của biến cố A là:

P(A) = P(M ∩ C) = P(M) . P(C | M) = 0,6 . 0,8 = 0,48;

Xác suất của biến cố B là:

P(B) = P($\overline{M}$ ∩ C) = P($\overline{M}$) . P(C | $\overline{M}$) = 0,4 . 0,3 = 0,12.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(C) = P(M ∩ C) +  P($\overline{M}$ ∩ C) = 0,48 + 0,12 = 0,6.

Bài 15 trang 95 SBT Toán 12 Tập 2: Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra 1 600 sản phẩm, trong đó có 35 sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên 2 sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của các biến cố:

A: ‘Sản phẩm lấy ra lần thứ hai không bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi”;

B: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi”;

C: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai không bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi”;

D: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi”;

E: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi”.

Lời giải:

Xét các biến cố:

M: “Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi”;

N: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai không bị lỗi”.

Khi đó, P(A) = P(N | M); P(B) = P($\overline{N}$| M); P(C) = P(N | $\overline{M}$); P(D) = P($\overline{N}$ | $\overline{M}$);

P(E) = P($\overline{N}$).

Sau khi lấy ra một sản phẩm không bị lỗi thì số sản phẩm còn lại là 1 599, số sản phẩm lỗi là 35 nên xác suất của biến cố A là:

P(A) = P(N | M) = $\frac{1599-35}{1599}$ = $\frac{1564}{1599}$;

Xác suất của biến cố B là: P(B) = P($\overline{N}$ | M) = $\frac{35}{1599}$.

Sau khi lấy một sản phẩm bị lỗi thì số sản phẩm còn lại 1 599, số sản phẩm lỗi là 34 nên xác suất biến cố C là:

P(C) = P(N | $\overline{M}$) = $\frac{1599-34}{1599}$ = $\frac{1565}{1599}$.

Xác suất của biến cố D là:

P(D) = P($\overline{N}$| $\overline{M}$) = $\frac{34}{1599}$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố E là:

P(E) = P($\overline{N}$)

        = P(M) . P($\overline{N}$| M) + P($\overline{M}$) . P($\overline{N}$|$\overline{M}$)

        = $\frac{1600-35}{1600}.\frac{35}{1599}+\frac{35}{1600}.\frac{34}{1599}=\frac{7}{320}$.

Bài 16 trang 95 SBT Toán 12 Tập 2: Một đội tuyển thi bắn súng có 10 xạ thủ, bao gồm 4 xạ thủ hạng I và 6 xạ thủ hạng II. Xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ hạng I và hạng II lần lượt là 0,75 và 0,6. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ đó chỉ bắn 1 viên đạn. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất để viên đạn đó trúng mục tiêu.

Lời giải:

Xét các biến cố:

A: “Chọn được xạ thủ hạng I”;

B: “Viên đạn đó trúng mục tiêu”.

Khi đó, P(A) = $\frac{4}{10}$ = 0,4; P($\overline{A}$) = 1 – P(A) = 0,6.

             P(B | A) = 0,75; P(B | $\overline{A}$) = 0,6.

Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(B) = P(A) . P(B | A) + P($\overline{A}$) . P(B | $\overline{A}$) = 0,4 . 0,75 + 0,6 . 0,6 = 0,66.

Vậy xác suất để viên đạn đó trúng mục tiêu là 0,66.

Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần:

Cho hai biến cố A, B với 0 < P(B) < 1, ta có:

P(A) = P(A $\cap$ B) + P(A $\cap$ $\overline{B}$) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$ ) ∙ P(A | $\overline{B}$ ).

Ví dụ 1. Một công ty thời trang có hai chi nhánh cùng sản xuất một loại áo thời trang, trong đó có 45% áo thời trang ở chi nhánh I và 55% áo thời trang ở chi nhánh II. Tại chi nhánh I có 70% áo chất lượng cao và tại chi nhánh II có 80% áo chất lượng cao (kích thước và hình dạng bề ngoài của các áo là như nhau). Chọn ngẫu nhiên 1 áo thời trang. Xác suất chọn được áo chất lượng cao là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố:

A: “Chọn được áo chất lượng cao”;

B: “Chọn được áo ở chi nhánh I”;

$\overline{B}$: “Chọn được áo ở chi nhánh II”.

Từ giả thiết, ta có:

P(B) = 0,45; P(A | B) = 0,7; P($\overline{B}$ ) = 0,55; P(A | $\overline{B}$ ) = 0,8.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$ ) ∙ P(A | $\overline{B}$ ) = 0,45 ∙ 0,7 + 0,55 ∙ 0,8 = 0,755.

Vậy xác suất chọn được áo chất lượng cao là 0,755.

Ví dụ 2. Trong trò chơi hái hoa có thưởng của lớp 12H, thầy giáo treo 20 bông hoa trên cành cây, trong đó có 6 bông hoa chứa phiếu có thưởng. Bạn Linh hái bông hoa đầu tiên, sau đó bạn Hùng hái bông hoa thứ hai.

a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.

b) Từ đó, tính xác suất bạn Hùng hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng.

Hướng dẫn giải

Xét hai biến cố:

A: “Bông hoa bạn Hùng hái được chứa phiếu có thưởng”;

B: “Bông hoa bạn Linh hái được chứa phiếu có thưởng”,

Khi đó, ta có:

P(B) =$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$ ; P($\overline{B}$ ) = 1 – P(B) = $1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$ ;

P(A | B) = $\frac{5}{19}$ , P(A | $\overline{B}$ ) = $\frac{6}{19}$ .

a) Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:

b) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$ ) ∙ P(A |$\overline{B}$ ) = $\frac{3}{10}\cdot \frac{5}{19}+\frac{7}{10}\cdot \frac{6}{19}=\frac{3}{10}$ .

Vậy xác suất bạn Hùng hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng là  =$\frac{3}{10}$ 0,3.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes:

Với hai biến cố A, B mà P(A) > 0, P(B) > 0, ta có:

$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}$.

Nhận xét: Cho hai biến cố A, B với P(A) > 0, 0 < P(B) < 1. Do

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$ ) ∙ P(A | $\overline{B}$ )

nên công thức Bayes còn có dạng: $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A|\overline{B}\right)}$ .

Ví dụ 3. Cho hai biến cố A, B sao cho P(A) = 0,4; P(B) = 0,8; P(A | B) = 0,2.

Tính P(B | A).

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,8\cdot 0,2}{0,4}=0,4$.

Ví dụ 4. Từ một hộp có 70 quả bóng trắng và 80 quả bóng đen. Người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một và rút hai lần. Tính xác suất để lần đầu rút được quả bóng trắng biết lần thứ hai cũng rút được quả bóng trắng.

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố:

A: “Lần đầu rút được quả bóng trắng”.

B: “Lần thứ hai rút được quả bóng trắng”.

Ta cần tính P(A | B).

Theo đề bài, ta có: $P\left(A\right)=\frac{70}{150}$ ; $P\left(B|A\right)=\frac{69}{149}$ .

Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=\frac{80}{150}$ ; $P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{70}{149}$ .

Do đó P(B) = P(A) ∙ P(B | A) + P($\overline{A}$ ) ∙ P(B | $\overline{A}$ ) $=\frac{70}{150}\cdot \frac{69}{149}+\frac{80}{150}\cdot \frac{70}{149}=\frac{7}{15}$ .

Suy ra $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right)\cdot P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{70}{150}\cdot \frac{69}{149}:\frac{7}{15}=\frac{69}{149}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình đường thẳng

Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Xác xuất có điều kiện

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài tập cuối chương 6