Sách bài tập Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1 trang 90 SBT Toán 12 Tập 1: Việc kiểm tra chỉ số đường huyết thường xuyên đóng vai trò vô cùng quan trọng để phòng và điều trị bệnh tiểu đường. Khi điều tra chỉ số đường huyết của 100 người cao tuổi ở một địa phương, được kết quả từ 5,0 đến 11,3. Nếu sử dụng mẫu số liệu ghép nhóm để biểu diễn chỉ số đường huyết của 100 người đó thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là bao nhiêu?

A. 5,0.

B. 11,3.

C. 6,3.

D. 100.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: R = 11,3 – 5,0 = 6,3.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 2 trang 91 SBT Toán 12 Tập 1: Nhịp tim người cao tuổi luôn là vấn đề phải được quan tâm vì liên quan đến sức khỏe. Khi điều tra nhịp tim của 100 người cao tuổi ở một địa phương, được kết quả từ 65 nhịp/phút đến 81 nhịp/phút. Nếu sử dụng mẫu số liệu ghép nhóm để biểu diễn nhịp tim của 100 người cao tuổi đó thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là bao nhiêu?

A. 81.

B. 16.

C. 65.

D. 100.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: R = 81 – 65 = 16 (nhịp/phút).

Vậy chọn đáp án B.

Bài 3 trang 91 SBT Toán 12 Tập 1: Một mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị Q₁ = 4, Q₂ = 6, Q₃ = 9. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó là bao nhiêu?

A. 5.

B. 4.

C. 6.

D. 9.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: ∆Q = Q₃ – Q₁ = 9 – 4 = 5.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 4 trang 91 SBT Toán 12 Tập 1: Khi điều tra cân nặng của 50 bé trai 6 tuổi, người ta được kết quả ở Bảng 7. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là bao nhiêu?

A. 18.

B. 26.

C. 2.

D. 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Trong mẫu số liệu ghép nhóm trên, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là a₁ = 18, đầu mút phải của nhóm 4 là a₅ = 26.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

R = a₅ – a₁ = 26 – 18 = 8.

Chọn D.

Bài 5 trang 91 SBT Toán 12 Tập 1: Khi thống kê số khách hàng vào siêu thị trong 30 ngày đầu tiên khai trương, người ta được kết quả là bảng tần số ghép nhóm như Bảng 8. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là bao nhiêu?

A. 120.

B. 80.

C. 20.

D. 200.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Trong mẫu số liệu ghép nhóm trên, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là a₁ = 80, đầu mút phải của nhóm 6 là a₇ = 200.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

R = a₇ – a₁ = 200 – 80 = 120.

Vậy chọn A.

Bài 6 trang 91 SBT Toán 12 Tập 1: Khi điều tra độ tuổi của dân cư trong một khu phố (đơn vị: tuổi) được kết quả cho bởi Bảng 9.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: R = 90 (tuổi).
b) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}=\frac{200}{4}=50$.
c) Q3 = $52\frac{17}{24}$.
d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu lớn hơn 20.

Lời giải:

a) S

b) Đ

c) S

d) Đ

Trong mẫu số liệu ghép nhóm trên, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là a₁ = 10, đầu mút phải của nhóm 8 là a₉ = 90.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

R = a₉ – a₁ = 90 – 10 = 80 (tuổi).

Ta có bảng sau:

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{200}{4}=50$.

Nhận thấy 49 < 50 < 89 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 50.

Xét nhóm 3 là nhóm [30; 40) có s = 30, h = 10, n₃ = 40 và nhóm 2 là nhóm [20; 30) có cf₂ = 49.

Ta có: Q₁ = s + $\left(\frac{50-c{f}_2}{n_3}\right).h$= 30 + $\left(\frac{50-49}{40}\right).10$= 30,25 (tuổi).

Có $\frac{3n}{4}=\frac{3.200}{4}=150$.

Nhận thấy 137 < 150 < 187 nên nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 150.

Xét nhóm 5 là nhóm [50; 60) có đầu mút trái t = 50, độ dài l = 10, tần số n₅ = 50 và nhóm 4 là nhóm [40; 50) có tần số tích lũy cf₄ = 137.

Ta có: Q₃ = t + $\left(\frac{150-c{f}_4}{n_5}\right).l$ = 50 + $\left(\frac{150-137}{50}\right).10$= 52,6 (tuổi).

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

∆Q = Q₃ – Q₁ = 52,6 – 30,25 = 22,35 (tuổi).

Bài 7 trang 92 SBT Toán 12 Tập 1: Một cuộc khảo sát xác định số năm đã sử dụng của 160 chiếc ô tô. Kết quả điều tra cho trong Bảng 10.

a) Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

b) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

a) Trong mẫu số liệu ghép nhóm trên, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là a₁ = 0, đầu mút phải của nhóm 5 là a₆ = 20.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

R = a₆ – a₁ = 20 – 0 = 20 (năm).

b) Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{160}{4}=40$.

Nhận thấy 27 < 40 < 64 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 40.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có đầu mút trái s = 8, h = 4, tần số n₃ = 37 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 27. Ta có:

Q₁ = s + $\left(\frac{40-c{f}_2}{n_3}\right).h$= 8 + $\left(\frac{40-27}{37}\right).4$= $\frac{348}{37}$(năm).

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.160}{4}=120$.

Nhận thấy 64 < 120 < 121 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 120.

Xét nhóm 4 là nhóm [12; 16) có t = 12, l = 4, n₄ = 57 và nhóm 3 có cf₃ = 64. Ta có:

Q₃ = t + $\left(\frac{120-c{f}_3}{n_4}\right).l$= 12 + $\left(\frac{120-64}{57}\right).4$= $\frac{908}{57}$(năm).

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

∆Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{908}{57}$ − $\frac{348}{37}$≈ 6,5 (năm).

Bài 8 trang 92 SBT Toán 12 Tập 1: Một thư viện thống kê số người đến đọc sách vào buổi tối trong 30 ngày của một tháng và kết quả được cho bởi Bảng 11.

a) Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

b) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

a) Trong mẫu số liệu ghép nhóm trên, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là a₁ = 50, đầu mút phải của nhóm 7 là a₈ = 90.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

R = a₈ – a₁ = 90 – 50 = 40 (người).

b) Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{30}{4}=7,5$.

Nhận thấy 4 < 7,5 < 9 nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 7,5.

Xét nhóm 2 là nhóm [55; 60) có s = 55; h = 5; n₂ = 5 và nhóm 1 là nhóm [50; 55) có cf₁ = 4. Ta có:

Q₁ = s + $\left(\frac{7,5-c{f}_1}{n_2}\right).h$= 55 + $\left(\frac{7,5-4}{5}\right).5$= 58, 5.

Xét $\frac{3n}{4}=\frac{3.30}{4}=22,5$.

Nhận thấy 16 < 22,5 < 24 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 22,5.

Có nhóm 4 là nhóm [65; 70) có t = 65, l = 5, n₄ = 8 và nhóm 3 là nhóm [60; 65) có cf₃ = 16.

Ta có: Q₃ = t + $\left(\frac{22,5-c{f}_3}{n_4}\right).l$= 65 + $\left(\frac{22,5-16}{8}\right).5$= 69,0625.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

∆Q = Q₃ – Q₁ = 69,0625 – 58,5 ≈ 11 (người).

Lý thuyết Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Khoảng biến thiên

a) Định nghĩa

Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho trong bảng sau, trong đó $n_1>0$ và $n_m>0$. Gọi $a_1,a_{m+1}$ lần lượt là đầu mút trái của nhóm 1, đầu mút phải của nhóm m. Hiệu $R=a_{m+1}-a_1$ được gọi là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó

b) Ý nghĩa

• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đo mức độ phân tán của mẫu số đó. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán
• Trong các đại lượng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm, khoảng biến thiên là đại lượng dễ hiểu, dễ tính toán. Tuy nhiên, do khoảng biến thiên chỉ sử dụng hai giá trị  của mẫu số liệu nên đại lượng đó dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường
• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.

2. Khoảng tứ phân vị

a) Định nghĩa

Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau Gọi $Q_1,Q_2,Q_3$ là tứ phân vị của mẫu số liệu đó. Ta gọi hiệu ${\mathrm{\Delta }}_Q=Q_3-Q_1$ là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.

b) Ý nghĩa

• Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và là một đại lượng cho biết mức độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu.
• Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm giúp xác định các giá trị bất thường của mẫu đó. Khoảng tứ phân vị thường được sử dụng thay cho khoảng biến thiên vì nó loại trừ hầu hết các giá trị bất thường của mẫu số liệu và nó không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường đó.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Nguyên hàm

Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp