Sách bài tập Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Phương trình mặt phẳng

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 1 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

A. x – y² – 2 = 0.

B. x + z² – 3 = 0.

C. x – z – 4 = 0.

D. x² + y² + z² – 1 = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0).

Trong các phương trình đã cho chỉ có phương trình x – z – 4 = 0 đúng dạng phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Bài 2 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P): −x + 2y + 3 = 0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

A. $\overrightarrow{n_1}$ = (−1; 2; 3).

B. $\overrightarrow{n_2}$ = (1; 2; 3).

C. $\overrightarrow{n_3}$ = (−1; 2; 0).

D. $\overrightarrow{n_4}$ = (−x; 2y; 3).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có phương trình mặt phẳng (P): −x + 2y + 3 = 0 hay −x + 2y + 0z + 3 = 0.

Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n_3}$ = (−1; 2; 0).

Bài 3 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P): 3x – 6y + 12z – 13 = 0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

A. $\overrightarrow{n_1}$ = (3; 6; 12).

B. $\overrightarrow{n_2}$ = (3x; 6y; 12z).

C. $\overrightarrow{n_3}$ = (3x; −6y; 12z).

D. $\overrightarrow{n_4}$ = (−1; 2; −4).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Cách 1.

Ta có phương trình mặt phẳng (P): 3x – 6y + 12z – 13 = 0 hay −x + 2y – 4z + $\frac{13}{3}$ = 0 (chia cả hai vế cho −3).

Khi đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\overrightarrow{n}$ = (−1; 2; −4).

Cách 2.

Mặt phẳng (P): 3x – 6y + 12z – 13 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;-6;12\right)$.

Ta có $-\frac{1}{3}\overrightarrow{n}=-\frac{1}{3}\left(3;-6;12\right)=\left(-1;2;-4\right)$.

Vậy vectơ $\overrightarrow{n_4}$ = (−1; 2; −4) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Bài 4 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P): 3x + 4y – z + 5 = 0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

A. $\overrightarrow{n_1}$ = (3; 4; 1).

B. $\overrightarrow{n_2}$ = (3; 4; −1).

C. $\overrightarrow{n_3}$ = (3; 4; 5).

D. $\overrightarrow{n_4}$ = (3; 4; −5).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có phương trình mặt phẳng (P): 3x + 4y – z + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (3; 4; −1).

Bài 5 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Mặt phẳng đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và vuông góc với Ox có phương trình là:

A. x – x₀ = 0.

B. y – y₀ = 0.

C. z – z₀ = 0.

D. x + y + z – x₀ – y₀ – z₀ = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và vuông góc với Ox nhận vectơ $\overrightarrow{i}$ = (1; 0; 0) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng là: 1. (x – x₀) + 0. (y – y₀) + 0.(z – z₀) = 0 hay x – x₀ = 0.

Bài 6 trang 47 SBT Toán 12 Tập 2: Khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (Oxy) bằng:

A. |x₀|.

B. |y₀|.

C. |z₀|.

D.|x₀ + y₀ + z₀|.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (Oxy) đi qua O, nhận vectơ $\overrightarrow{k}$ = (0; 0; 1) làm vectơ pháp tuyến có phương trình 1.(z − 0) = 0 hay z = 0.

Khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (Oxy) là:

d(M, (Oxy)) = $\frac{\left|z_0\right|}{\sqrt{1^2}}$ = |z₀|.

Bài 7 trang 47 SBT Toán 12 Tập 2: Khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (P): ay + bz + c = 0 bằng:

A. $\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

B. $\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$

C. $\frac{\left|a{y}_0+b{z}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$

D. $\frac{\left|a{y}_0+b{z}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có phương trình mặt phẳng (P): ay + bz + c = 0 hay 0x + ay + bz + x = 0.

Khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (P): ay + bz + c = 0 là:

d(M, (P)) = $\frac{\left|0x_0+a{y}_0+b{z}_0+c\right|}{\sqrt{0^2+a^2+b^2}}=\frac{\left|a{y}_0+b{z}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Bài 8 trang 47 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P): −3x + y – 2z + 5 = 0.

a)  Nếu $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của (P) thì k$\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của (P) với k ≠ 0.	Đ	S
b) Nếu $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{n‘}$ đều là vectơ pháp tuyến của (P) thì $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{n‘}$ không cùng phương.	Đ	S
c) Vectơ $\overrightarrow{n}$ = (−3; 1; −2) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).	Đ	S
d) Mọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ (−3k; k; −2k) với k ≠ 0.	Đ	S

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) S

d) Đ

Nếu $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của (P) thì k$\overrightarrow{n}$ cũng là một vectơ pháp tuyến của (P) với k ≠ 0.

Nếu $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{n‘}$ đều là vectơ pháp tuyến của (P) thì $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{n‘}$ cùng phương.

Mặt phẳng (P): −3x + y – 2z + 5 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (−3; 1; −2).

Mọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ (−3k; k; −2k) với k ≠ 0.

Bài 9 trang 47 SBT Toán 12 Tập 2: Cho điểm I(−3; 0; 1) và mặt phẳng (P): x − 3y – 4z + 1 = 0.

a) Điểm I(−3; 0; 1) không thuộc mặt phẳng (P).	Đ	S
b) Vectơ $\overrightarrow{n}$ = (1; −3; 4) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).	Đ	S
c) Nếu mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) thì vectơ $\overrightarrow{n}$ = (1; −3; 4) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).	Đ	S
d) Mặt phẳng (R) đi qua điểm I và song song với (P) có phương trình là: x – 3y – 4z – 7 = 0.	Đ	S

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) S

d) S

Thay tọa độ điểm I(−3; 0; 1) vào phương trình mặt phẳng (P): x − 3y – 4z + 1 = 0, ta được:

−3 – 3.0 – 4.1 + 1 = −6 ≠ 0 nên I không thuộc (P).

Vectơ $\overrightarrow{n}$ = (1; −3; 4) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vì (P) // (Q) mà $\overrightarrow{n}$ = (1; −3; 4) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), tức là giá của $\overrightarrow{n}$ không vuông góc với (Q) nên $\overrightarrow{n}$ = (1; −3; 4) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Ta có: $\overrightarrow{m}$ = (1; −3; −4) là một vectơ pháp tuyến của (P). Vì (R) // (P) nên $\overrightarrow{m}$ cũng là vectơ pháp tuyến của (R). Phương trình mặt phẳng (R) đi qua I song song với (P) là:

1.(x + 3) – 3.(y – 0) – 4(z – 1) = 0 hay x – 3y – 4z + 7 = 0.

Bài 10 trang 47 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm I(2; 1; −4) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (3; −4; 5);

b) (P) đi qua điểm I(5; −2; 1) và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}$ = (3; −1; 4), $\overrightarrow{b}$ = (0; 2; −1).

c) (P) đi qua ba điểm A(0; 3; 7), B(2; −5; 4) và C(1; −4; −1).           

Lời giải:

a) Phương trình của mặt phẳng (P) là:

3(x – 2) – 4(y – 1) + 5(z + 4) = 0 hay 3x – 4y + 5z + 18 = 0.

b) Ta có: $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right] =$$\left(\left|\begin{array}{cc}-1& 4\\ 2& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}4& 3\\ -1& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 0& 2\end{array}\right|\right)$ = (−7; 3; 6) là một vectơ pháp tuyến của (P).

Phương trình của mặt phẳng (P) là:

−7(x – 5) + 3(y + 2) + 6(z – 1) = 0 hay −7x + 3y + 6z + 35 = 0.

c) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (2; −8; −3), $\overrightarrow{AC}$ = (1; −7; −8).

Khi đó, $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]$ = $\left(\left|\begin{array}{cc}-8& -3\\ -7& -8\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-3& 2\\ -8& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& -8\\ 1& -7\end{array}\right|\right)$ = (43; 13; −6) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:

43(x – 0) + 13(y – 3) – 6(z – 7) = 0 hay 43x + 13y – 6z + 3 = 0.

Bài 11 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(5; 0; 0), B(0; 7; 0), C(0; 0; 9)

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(5; 0; 0), B(0; 7; 0), C(0; 0; 9) là:

$\frac{x}{5}+\frac{y}{7}+\frac{z}{9}=1$ hay 63x + 45y + 35z – 315 = 0.

Bài 12 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Cho ba điểm A(3; −4; 2), B(1; 2; 3), C(0; 1; 5). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{BC}$ = (−1; −1; 2) là một vectơ pháp tuyến của (P). Vậy phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC là:

−1.(x – 3) −1.(y + 4) + 2.(z – 2) = 0 hay −x – y + 2z – 5 = 0.

Bài 13 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K(4; −3; 7) và song song với mặt phẳng (Q): 3x – 2y + 4z + 7 = 0.

Lời giải:

Vì (P) // (Q) nên (P) nhận $\overrightarrow{n}$ = (3; −2; 4) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua K và song song với (Q) là:

3(x – 4) – 2(y + 3) + 4(z – 7) = 0 hay 3x – 2y + 4z – 46 = 0.

Bài 14 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; −2; 4) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x – y – 2 = 0, (R): y + z + 3 = 0

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{n_Q}$ = (1; −1; 0), $\overrightarrow{n_R}$ = (0; 1; 1) lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (Q), (R).

Vì (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q), (R) nên vectơ pháp tuyến của (P) vuông góc với cả $\overrightarrow{n_Q}$, $\overrightarrow{n_R}$. Suy ra $\left[\overrightarrow{n_Q},\overrightarrow{n_R}\right]$ là một vectơ pháp tuyến của (P).

Ta có: $\left[\overrightarrow{n_Q},\overrightarrow{n_R}\right]$ = $\left(\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right|\right)$ = (−1; −1; 1).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:

(−1)(x – 1) – 1.(y + 2) + 1.(z – 4) = 0 hay −x – y + z – 5 = 0.

Bài 15 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀; z₀). Tính khoảng cách từ M đến các mặt phẳng x – a = 0, y – b = 0, z – c = 0.

Lời giải:

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng x – a = 0 là: $\frac{\left|x_0-a\right|}{\sqrt{1^2}}=|x_0-a|$

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng y – b = 0 là: $\frac{\left|y_0-b\right|}{1}=|y_0-b|$

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng z – c = 0 là: $\frac{\left|z_0-c\right|}{1}=|z_0-c|$

Bài 16 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P₁): x + 2y – 3z + 5 = 0 và (P₂): −4x – 8y + 12z + 3 = 0.

a) Chứng minh rằng (P₁) // (P₂).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P₁), (P₂).

Lời giải:

a) Gọi $\overrightarrow{n_{P_1}}$, $\overrightarrow{n_{P_2}}$ lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của (P₁), (P₂).

Ta có $\overrightarrow{n_{P_1}}$ = (1; 2; −3), $\overrightarrow{n_{P_2}}$ = (−4; −8; 12) = −4(1; 2; −3) nên $\overrightarrow{n_{P_2}}$ = −4$\overrightarrow{n_{P_1}}$ và 3 ≠ – 4 . 5.

Do đó, (P₁) // (P₂).

b) Chọn M(0; −1; 1) ∈ (P₁). Vì (P₁) // (P₂) nên ta có:

d((P­₁), (P₂)) = d(M, (P₂)) = $\frac{\left|-4.0-8.(-1)+12.1+3\right|}{\sqrt{{(-4)}^2+{(-8)}^2+{12}^2}}$ = $\frac{23\sqrt{14}}{56}$.

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P₁), (P₂) là $\frac{23\sqrt{14}}{56}$.

Bài 17 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}=90°$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{S{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{S{B}^2}+\frac{1}{S{C}^2}.$

Lời giải:

Đặt SA = a, SB = b, SC = c (a, b, c > 0).

Theo đề, ta có: $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}=90°$ hay SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau nên có thể gắn hệ trục Oxyz thỏa mãn S(0; 0; 0), A(a; 0; 0), b(0; b; 0), C(0; 0; c).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ hay $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0$.

Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) là:

SH = $\frac{\left|\frac{0}{a}+\frac{0}{b}+\frac{0}{c}-1\right|}{\sqrt{{\left(\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(\frac{1}{b}\right)}^2+{\left(\frac{1}{c}\right)}^2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}$ ⇒ $\frac{1}{SH}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}$.

Suy ra $\frac{1}{S{H}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$ hay $\frac{1}{S{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{S{B}^2}+\frac{1}{S{C}^2}$ (đpcm).

Bài 18 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3) và D(1; 2; 3). Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng.

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$

Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC), ta có:

$\frac{1}{1}+\frac{2}{2}+\frac{3}{3}=3\ne 1$ nên D không thuộc (ABC).

Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Bài 19 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2a, AD = 3a, AA’ = 4a (a > 0). Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các tia AB, AD, AA’ sao cho AM = a, AN = 2a, AP = 3a. Tính khoảng cách từ điểm C’ đến mặt phẳng (MNP).

Lời giải:

Xét hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn A(0; 0; 0)(A trùng gốc tọa độ O), B(2a; 0; 0), D(0; 3a; 0), A'(0; 0; 4a).

Ta có: M(a; 0; 0), N(0; 2a; 0), P(0; 0; 3a), C'(2a; 3a; 4a).

Phương trình mặt phẳng (MNP) là:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{2a}+\frac{z}{3a}=1$$\iff \frac{x}{a}+\frac{y}{2a}+\frac{z}{3a}-1=0$.

Khoảng cách từ điểm C’ đến mặt phẳng (MNP) là:

d(C’, (MNP)) = $\frac{\left|\frac{2a}{a}+\frac{3a}{2a}+\frac{4a}{3a}-1\right|}{\sqrt{{\left(\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2a}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3a}\right)}^2}}=\frac{23a}{7}.$

Bài 20 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), S(0; 0; c) với a, b, c là các số dương (Hình 3).

a) Tìm tọa độ của điểm C, trung điểm M của BC, trọng tâm G của tam giác SCD.

b) Lập phương trình mặt phẳng (SBD).

c) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBD).

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (a; 0; 0) và $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, suy ra $\overrightarrow{DC}$ = (a; 0; 0).

Mà D(0; b; 0) nên C(a; b; 0).

Trung điểm M của BC có tọa độ là: $\left(\frac{a+a}{2};\frac{0+b}{2};\frac{0+0}{2}\right)$$=\left(a;\frac{b}{2};0\right)$.

Có D(0; b; 0), S(0; 0; c), C(a; b; 0) nên tọa độ trọng tâm G(x; y; z) của tam giác SCD là: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{0+0+a}{3}=\frac{a}{3}\\ y=\frac{b+0+b}{3}=\frac{2b}{3}\\ c=\frac{0+c+0}{3}=\frac{c}{3}\end{array}\right.$

Vậy G$\left(\frac{a}{3};\frac{2b}{3};\frac{c}{3}\right).$

b) Ta có: D(0; b; 0), S(0; 0; c), B(a; 0; 0) nên phương trình mặt phẳng (SBD) là:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$\iff \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0$

c) Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBD) là:

$h=\frac{\left|\frac{\frac{a}{3}}{a}+\frac{\frac{2b}{3}}{b}+\frac{\frac{c}{3}}{c}-1\right|}{\sqrt{{\left(\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(\frac{1}{b}\right)}^2+{\left(\frac{1}{c}\right)}^2}}$$=\frac{abc}{3.\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2}}$

Bài 21 trang 49 SBT Toán 12 Tập 2: Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét) vào một ngôi nhà 1 tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục Oz. Biết rằng các vị trí A(3; 4; 33), D(9; 8; 35) lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao nhiêu decimét.

Lời giải:

Mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà vuông góc với trục Oz và đi qua điểm A(3; 4; 33) nên mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà nhận vectơ $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà:

0(x – 3) + 0(y – 4) + 1(z – 33) = 0 hay z – 33 = 0.

Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng dưới của nhà bằng: $\frac{\left|35-33\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$ = 2.

Vậy độ dày của mái nhà đó là 2 dm.

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

1.1. Vectơ pháp tuyến

Cho mặt phẳng (P). Nếu vectơ $\overrightarrow{n}$  khác $\overrightarrow{0}$  và có giá vuông góc với mặt phẳng (P) thì $\overrightarrow{n}$  được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Nhận xét: Nếu $\overrightarrow{n}$  là một vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì k$\overrightarrow{n}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên AA’ ⊥ (ABC).

Vậy $\overrightarrow{A{A}^{‘}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

1.2. Cặp vectơ chỉ phương

Cho mặt phẳng (P). Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).

Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABCD).

Hướng dẫn giải

Do hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ , $\overrightarrow{BC}$  không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên $\overrightarrow{BA}$ , $\overrightarrow{BC}$ là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABCD).

1.3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vectơ chỉ phương

Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ ,$\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) thì $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Ví dụ 3. Cho mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(0;-1;3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(5;0;1\right)$ . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 0& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 5\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 5& 0\end{array}\right|\right)=\left(-1;15;5\right)$.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

● Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mỗi mặt phẳng (P) có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0;

● Ngược lại, mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, đều xác định một mặt phẳng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

→ Phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Hệ số D gọi là hệ số tự do của phương trình tổng quát.

Nhận xét: Ta có thể chứng minh rằng nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, thì vectơ $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x + 2y – z + 4 = 0. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

Ta có 3x + 2y – z + 4 = 0 ⇔ 3 ∙ x + 2 ∙ y + (– 1) ∙ z + 4 = 0.

Mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{n}=\left(3;2;-1\right)$  làm vectơ pháp tuyến.

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng biết một số điều kiện

3.1. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x₀; y₀; z₀) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$  làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

Ax + By + Cz + D = 0 với D = − Ax₀ − By₀ − Cz₀.

Chú ý: Mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x₀; y₀; z₀) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$  làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

A(x – x₀) + B(y – y_0­) + C(z – z₀) = 0.

Ví dụ 5. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(0; 1; 2) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;3;-1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có phương trình là:

2(x – 0) + 3(y – 1) – 1(z – 2) = 0 $\iff$ 2x + 3y – z – 1 = 0.

3.2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Để lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x₀; y₀; z₀) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ , ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tìm $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$ .

Bước 2. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x₀; y₀; z₀) nhận $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 6. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; − 2) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;3\right),\overrightarrow{v}=\left(3;2;-3\right)$ .

Hướng dẫn giải

Xét vectơ $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& -3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ -3& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 2\end{array}\right|\right)$ , tức là $\overrightarrow{n}$  = (− 3; 15; 7). Khi đó, $\overrightarrow{n}$  là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vậy mặt phẳng (P) có phương trình là:

− 3(x – 1) + 15(y – 3) + 7(z + 2) = 0 ⇔ 3x – 15y – 7z + 28 = 0

3.3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm H(a₁; b₁; c₁), I(a₂; b₂; c₂), K(a₃; b₃; c₃) không thẳng hàng, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tìm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) là:

$\overrightarrow{HI}$ = (a₂ – a₁; b₂ – b₁; c₂ – c₁), $\overrightarrow{HK}$  = (a₃ – a₁; b₃ – b₁; c₃ – c₁).

Bước 2. Tìm $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{HI},\overrightarrow{HK}\right]$ .

Bước 3. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H(a₁; b₁; c₁) nhận $\overrightarrow{n}$  làm vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 7. Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua ba điểm A(1; 0; −2), B(1; 1; 1) và C(0; −1; 2).

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(0;1;3\right)$ , $\overrightarrow{AC}=\left(-1;-1;4\right)$ .

Xét vectơ $\overrightarrow{n}$ = $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& 0\\ 4& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right|\right)$ , tức là $\overrightarrow{n}$ = (7; – 3; 1).

Khi đó, $\overrightarrow{n}$  là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Vậy mặt phẳng (Q) có phương trình là:

7(x – 1) – 3(y – 0) + 1(z + 2) = 0 ⇔ 7x – 3y + z – 5 = 0.

Chú ý: Mặt phẳng đi qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với abc ≠ 0 có phương trình là:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

Phương trình đó còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

4. Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng

4.1. Điều kiện song song của hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P₁) có phương trình tổng quát là A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

và mặt phẳng (P₂) có phương trình tổng quát là A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

Gọi $\overrightarrow{n_1}=\left(A_1;B_1;C_1\right)$ , $\overrightarrow{n_2}=\left(A_2;B_2;C_2\right)$  lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P₁), (P₂).

Khi đó: (P₁) // (P₂) khi và chỉ khi tồn tại số thực k ≠ 0 sao cho $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}=k\overrightarrow{n_2}\\ D_1\ne k{D}_2\end{array}\right.$ .

Ví dụ 8. Cho hai mặt phẳng (P₁): 3x + y – 4z + 8 = 0, (P₂): 6x + 2y – 8z + 3 = 0.

Chứng minh rằng (P₁) // (P₂).

Hướng dẫn giải

Hai mặt phẳng (P₁), (P₂) có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\overrightarrow{n_1}$ = (3; 1; – 4), $\overrightarrow{n_2}$  = (6; 2; – 8).

Do $\overrightarrow{n_2}=2\overrightarrow{n_1}$  và D₂ ≠ 2D₁ (vì D₁ = 8 và D₂ = 3) nên (P₁) // (P₂).

4.2. Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P₁) có phương trình tổng quát là A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và mặt phẳng (P₂) có phương trình tổng quát là A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0. Khi đó:

(P₁) $\perp$(P₂) $\iff$ A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

Ví dụ 9. Cho hai mặt phẳng (P): x + 2y + z + 1 = 0 và (Q): 3x – 2y + z + 5 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Hai mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_P}=\left(1;2;1\right),\overrightarrow{n_Q}=\left(3;-2;1\right)$ .

Vì $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}$  = 1 ∙ 3 + 2 ∙ (– 2) + 1 ∙ 1 = 0 nên $\overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{n_Q}$ . Vậy (P) $\perp$ (Q).

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M₀(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (P):

Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² > 0)

được tính theo công thức: $d\left(M_0,\left(P\right)\right)=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ .

Ví dụ 10. Cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 8 = 0 và điểm I(−1; 2; 1). Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là:

$d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|-1+2\cdot 2-2\cdot 1+8\right|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{9}{3}=3$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 2: Phương trình đường thẳng

Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Xác xuất có điều kiện