Sách bài tập Toán 12 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Phương trình mặt cầu

Giải SBT Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài 1 trang 59 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; 4) và bán kính R = 5. Các điểm A(3; 1; 5), B(−1; 11; 14), C(6; 2; 4) nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu (S)?

Lời giải:

Ta có:

IA = $\sqrt{{\left(2-3\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2+{\left(5-4\right)}^2}=\sqrt{6}<5$ hay IA < R.

Do đó, điểm A nằm trong mặt cầu (S).

IB = $\sqrt{{\left(2-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(-1-11\right)}^2+{\left(4-14\right)}^2}$ hay IB > R.

Do đó, điểm B nằm ngoài mặt cầu (S).

IC = $\sqrt{{\left(2-6\right)}^2+{\left(-1-2\right)}^2+{\left(4-4\right)}^2}$ = 5 = R.

Do đó, điểm C nằm trên mặt cầu (S).

Bài 2 trang 59 SBT Toán 12 Tập 2: Viết phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(−5; 7; 6) và có bán kính R = 9.

b) (S) có tâm I(0; −3; 0) và đi qua điểm M(4; 0; −2).

c) (S) có đường kính EF với E(1; 5; 9), F(11; 3; 1).

Lời giải:

a) (S) có tầm I(−5; 7; 6) và bán kính R = 9 nên có phương trình là:

(x + 5)² + (y – 7)² + (z – 6)² = 9² hay (x + 5)² + (y – 7)² + (z – 6)² = 81.

b) (S) có tâm I(0; −3; 0) và đi qua điểm M(4; 0; −2) có:

Bán kính R = IM = $\sqrt{{\left(4-0\right)}^2+{\left(0-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(-2-0\right)}^2}=\sqrt{29}$

Phương trình mặt cầu (S) là: x² + (y + 3)² + z² = 29.

c) Tâm I của mặt cầu (S) đường kính EF chính là trung điểm của EF.

Do đó, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{1+11}{2}=6\\ y_I=\frac{5+3}{2}=4\\ z_1=\frac{9+1}{2}=5\end{array}\right.$ ⇒ I(6; 4; 5).

Bán kính R = IE = $\sqrt{{\left(6-1\right)}^2+{\left(5-4\right)}^2+{\left(9-5\right)}^2}=\sqrt{42}$

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x – 6)² + (y – 4)² + (z – 5)² = 42.

Bài 3 trang 59 SBT Toán 12 Tập 2: Xác định tâm và bán kính của mặt phẳng có phương trình sau:

a) (S): (x – 7)² + ( y – 3)² + (z + 4)² = 49;

b) (S’): x² + (y + 1)² + (z – 2)² = 11;

c) (S”): x² + y² + z² = 25.

Lời giải:

a) Mặt cầu (S) có tâm I(7; 3; −4) và bán kính R = 7.

b) Mặt cầu (S’) có tâm I(0; −1; 2) và bán kính R = $\sqrt{11}$

c) Mặt cầu (S”) có tâm I(0; 0; 0) và bán kính R = 5.

Bài 4 trang 60 SBT Toán 12 Tập 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt của cầu đó.

a) 4x² + y² + z² – 2x – 14y – 7z + 4 = 0;

b) x² + y² + z² + 6x – 4y – 4z – 19 = 0;

c) x² + y² + z² – 4x – 4y – 6z + 40 = 0.

Lời giải:

a) Phương trình 4x² + y² + z² – 2x – 14y – 7z + 4 = 0 không phải là phương trình mặt cầu do hệ số của x² và y² khác nhau.

b) Phương trình x² + y² + z² + 6x – 4y – 4z – 19 = 0 có dạng

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = −3; b = 2; c = 2; d = −19.

Ta có: a² + b² + c² − d = 9 + 4 + 4 + 19 = 36 > 0, suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(−3; 2; 2), bán kính R = $\sqrt{36}=6$

c) Phương trình x² + y² + z² – 4x – 4y – 6z + 40 = 0, có dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 2; b = 2, c = 3 và d = 40.

Ta thấy a² + b² + c² – d = 4 + 4 + 9 – 40 = −23 < 0.

Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

Bài 5 trang 60 SBT Toán 12 Tập 2: Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian Oxyz bằng phần mềm 3D. Biết phương trình mặt cầu là:

(S): (x – 24)² + (y – 24)² + (z – 24)² = 100 (đơn vị cm) và phương trình đường thẳng trục xoay là d: $\frac{x-24}{1}=\frac{y-24}{1}=\frac{z-24}{\mathrm{3,25}}$

a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (S).

b) Tính số đo góc giữa d và trục Oz. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ.

Lời giải:

a) Ta có phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=24+t\\ y=24+t\\ z=24+\mathrm{3,25}t.\end{array}\right.$

Xét điểm M(24 + t; 24 + t; 24 + 3,25t) thuộc đường thẳng d.

Thay tọa độ của M vào phương trình mặt cầu (S), ta được:

(24 + t – 24)² + (24 + t – 24)² + (24 + 3,25t – 24)² = 100 ⇔ t = $\pm \frac{40\sqrt{201}}{201}$

Vậy d cắt (S) tại hai điểm $M\left(24+\frac{40\sqrt{201}}{201};24+\frac{40\sqrt{201}}{201};24+\frac{130\sqrt{201}}{201}\right)$ hoặc $M^{‘}\left(24-\frac{40\sqrt{201}}{201};24-\frac{40\sqrt{201}}{201};24-\frac{130\sqrt{201}}{201}\right)$

b) Vectơ chỉ phương của d và trục Oz lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(1;1;\mathrm{3,25}\right),\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$

Ta có: cos(d; Oz) = $\frac{\left|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{k}\right|}=\frac{\left|\mathrm{3,25}\right|}{\sqrt{1^2+1^2+{\mathrm{3,25}}^2}.\sqrt{0^2+0^2+1^2}}\approx \mathrm{0,917}$

Suy ra (d, Oz) ≈ 23,5°.

Bài 6 trang 60 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz (đơn vị trên các trục tọa độ là mét), một ngọn hải đăng có bóng đèn đặt tại điểm I(20; 40; 60).

a) Cho biết bán kính phủ sáng của đèn trên hải đăng là 3 km, viết phương trình mặt cầu biểu diễn ranh giới của vùng phủ sáng của hải đăng trong không gian.

b) Một người đi biển đang ở vị trí M(420; 340; 0). Người đó có thể nhìn thấy được ánh sáng của hải đăng hay không? Giải thích.

Lời giải:

a) Gọi (S) là mặt cầu biểu diễn ranh giới của vùng phủ sáng của đèn trên hải đẳng trong không gian Oxyz.

Mặt cầu (S) có tâm I(20; 40; 60) và bán kính R = 3000, suy ra (S) có phương trình:

(x – 20)² + (y – 40)² + (z – 60)² = 9 000 000.

b) Ta có: IM = $\sqrt{{400}^2+{300}^2+{\left(-60\right)}^2}=20\sqrt{634}$ ≈ 504 < 3000, suy ra IM < R.

Do đó, người này có thể nhìn thấy được ánh sáng của đèn trên hải đăng.

Bài 7 trang 60 SBT Toán 12 Tập 2: Một khu vực đã được thiết lập một hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Một flycam đang phát sóng wifi bao phủ một vùng không gian bên trong mặt cầu (S): (x – 20)² + (y – 30)² + (z – 10)² = 400. Một người đang sử dụng máy tính tại điểm M nằm trên điểm giao của mặt cầu (S) và mặt đất (P): z = 0.

a) Xác định tọa độ âm I và bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách IJ của đoạn vuông góc từ I đến (P).

b) Tính độ dài đoạn thẳng JM. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét.

Lời giải:

a) Ta có mặt cầu (S): (x – 20)² + (y – 30)² + (z – 10)² = 400 có tâm I(20; 30; 10) và bán kính R = 20 m.

Ta có: IJ = d(I, (P)) = 10 m.

b) Ta có điểm M thuộc mặt cầu (S) nên IM = R = 20 m. Trong tam giác IJM vuông tại J, ta có: JM = $\sqrt{I{M}^2-{\text{IJ}}^2}=\sqrt{{20}^2-{10}^2}=10\sqrt{3}\approx \mathrm{17,32}$(m).

Lý thuyết Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Phương trình mặt cầu trong không gian

• Khái niệm mặt cầu

Trong không gian, cho điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I, bán kính R, kí hiệu S(I; R), là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn IM = R. Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I gọi là đường kính của mặt cầu.

Chú ý: Cho mặt cầu S(I; R).

Nếu IM = R thì M nằm trên mặt cầu.

Nếu IM < R thì M nằm trong mặt cầu.

Nếu IM > R thì M nằm ngoài mặt cầu.

• Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình là:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Ví dụ 1. a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính bằng 7.

b) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x + 1)² + y² + (z – 3)² = 16.

Hướng dẫn giải

a) Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính bằng 7 có phương trình:

(x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 49.

b) Mặt cầu có tâm I(−1; 0; 3) và R = 4.

Nhận xét: Phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a² + b² + c² – d > 0 là phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$.

Ví dụ 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) x² + y² + z² – 2y + 2z – 7 = 0.

b) x² + y² + z² – 2x + 4y + 2z + 7 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình x² + y² + z² – 2y + 2z – 7 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 0; b = 1; c = −1; d = −7.

Ta có a² + b² + c² – d = 9 > 0.

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(0; 1; −1) và R = 3.

b) Phương trình x² + y² + z² – 2x + 4y + 2z + 7 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 1; b = −2; c = −1; d = 7.

Có a² + b² + c² – d = −1 < 0.

Suy ra phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Xác suất có điều kiện

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài tập cuối chương 6