Sách bài tập Toán 12 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Xác suất có điều kiện

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Xác suất có điều kiện

Bài 1 trang 79 SBT Toán 12 Tập 2: Một hộp chứa 15 tấm thẻ cùng loại được ghi từ 1 đến 15. Các thẻ có số từ 1 đến 10 được sơn màu đỏ, các thẻ còn lại được sơn màu xanh. Bạn Việt chọn ra ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp.

a) Tính xác suất để thẻ được chọn có màu đỏ, biết rằng nó được ghi số chẵn. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

b) Tính xác suất để thẻ được chọn ghi số chẵn, biết rằng nó có màu xanh.

Lời giải:

a) Gọi A là biến cố “Tấm thẻ được chọn có màu đỏ”, B là biến cố “Tấm thẻ được chọn ghi số chẵn”. Ta cần tính P(A | B).

Cách 1:

Do từ 1 đến 15 có 7 số chẵn nên có 7 tấm thẻ được ghi số chẵn.

Trong 7 tấm thẻ được ghi số chẵn, có 5 thẻ có số không lớn hơn 10 nên được sơn màu đỏ. Do đó, trong tổng số 7 tấm thẻ được ghi số chẵn có 5 tấm thẻ màu đỏ.

Vậy xác suất để thẻ được chọn có màu đỏ, biết rằng nó được ghi số chẵn là

P(A | B) = $\frac{5}{7}$ ≈ 0,71.

Cách 2:

Do có 7 tấm thẻ được ghi số chẵn trong tổng số 15 tấm thẻ nên P(B) = $\frac{7}{15}$

Do có 5 tấm thẻ có màu đỏ được ghi số chẵn trong tổng số 15 thẻ nên P(AB) = $\frac{5}{15}.$

Vậy P(A | B) = $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{5}{15}:\frac{7}{15}=\frac{5}{7}$ ≈ 0,71.

b) Hộp chứa 5 tấm thẻ màu xanh, trong đó có 2 tấm thẻ ghi số chẵn.

VậyP(B | $\overline{A}$) = $\frac{2}{5}$ = 0,4.

Bài 2 trang 79 SBT Toán 12 Tập 2: Một lớp học có 40% học sinh là nam. Số học sinh nữ bị cận thị chiếm 20% số học sinh trong lớp. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của lớp. tính xác suất để học sinh đó bị cận thị, biết rằng học sinh đó là nữ. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Học sinh được chọn là nữ”, B là biến cố “Học sinh được chọn bị cận thị”. Ta cần tính P(B | A).

Do có 40% học sinh là nam nên P(A) = 1 – 0,4 = 0,6.

Do có 20% học sinh nữ bị cận thị trong tổng số học sinh của lớp nên P(AB) = 0,2.

Vậy P(B | A) = $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,6}}=\frac{1}{3}$ ≈ 0,33.

Bài 3 trang 79 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai biến cố A, B có P(A) = 0,7; P(B) = 0,3; P(A | B) = 0,6. Tính P(B | A). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải:

Theo công thức nhân xác suất, ta có:

P(AB) = P(B)P(A | B) = 0,3.0,6 = 0,18.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có:

P(B | A) = $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,18}}{\mathrm{0,7}}$ ≈ 0,26.

Bài 4 trang 80 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai biến cố A, B có P(A) = 0,4; P(B) = 0,8, P(A∪B) = 0,9. Tính P(A | B), P(A | $\overline{B}$); P( $\overline{A}$| B); P( $\overline{A}$| $\overline{B}$).

Lời giải:

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Do đó, P(AB) = P(A) + P(B) – P(A∪B) = 0,4 + 0,8 – 0,9 = 0,3.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có:

P(A | B) = $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,8}}$ = 0,375.

Vì $A\overline{B}$ và AB là hai biến cố xung khắc và $A\overline{B}$ ∪ AB = A nên theo tính chất của xác suất, ta có P($A\overline{B}$ = P(A) – P(AB) = 0,4 – 0,3 = 0,1.

Ta có: P($\overline{B}$) = 1 – P(B) = 1 – 0,8 = 0,2.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có: P(A |$\overline{B}$) = $\frac{P\left(\overline{A}|B\right)}{P\left(\overline{B}\right)}=\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,2}}=\mathrm{0,5.}$

Ta có: P($\overline{A}$| B) = 1 – P(A | B) = 1 – 0,375 = 0,625.

           P($\overline{A}$|$\overline{B}$) = 1 – P(A |$\overline{B}$) = 1 – 0,5 = 0,5.

Bài 5 trang 80 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai biến cố A, B có P($\overline{A}$B) = 0,2, P(AB) = 0,3 và P(A$\overline{B}$) = 0,4. Tính P(A | B), P(A |$\overline{B}$); P($\overline{A}$| B); P($\overline{A}$|$\overline{B}$)

Lời giải:

Vì $\overline{A}B$ và AB là hai biến cố xung khắc và $\overline{A}B$ ∪ AB = B nên theo tính chất của xác suất, ta có P(B) = P($\overline{A}B$) + P(AB) = 0,2 + 0,3 = 0,5.

Ta có: P($\overline{B}$) = 1 – P(B) = 1 – 0,5 = 0,5.

Theo công thức tinh xác suất có điều kiện, ta có:

P(A | B) = $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,5}}=\mathrm{0,6}$; P(A |$\overline{B}$) = $\frac{P\left(A\overline{B}\right)}{P\left(\overline{B}\right)}=\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,5}}=\mathrm{0,8}$

Ta có: P($\overline{A}$| B) = 1 – P(A | B) = 1 – 0,6 = 0,4.

           P($\overline{A}$|$\overline{B}$) = 1 – P(A |$\overline{B}$) = 1 – 0,8 = 0,2.

Bài 6 trang 80 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai biến cố độc lập A và B cố P(A) = 0,4; P(B) = 0,8. Tính P(A | A∪B). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải:

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên theo tính chất của xác suất, ta có:

P(AB) = P(A)P(B) = 0,4.0,8 = 0,32.

Do đó, P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,4 + 0,8 – 0,32 = 0,88.

Bài 7 trang 80 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai biến cố A và B thỏa mãn P(A) = P(B) = 0,8. Chứng minh rằng P(A | B) ≥ 0,75.

Lời giải:

Vì 0 ≤ P(A∪ B) ≤ 1 nên ta có:

P(AB) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) = 1,6 – P(A ∪ B) ≥ 0,6.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có:

P(A | B) = $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}\ge \frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,8}}=\mathrm{0,75.}$

Vậy P(A | B) ≥ 0,75.

Bài 8 trang 80 SBT Toán 12 Tập 2: Một công ty bảo hiểm ô tô nhận thấy nếu một tài xế gặp sự cố trong một năm thì xác suất gặp sự cố ở năm tiếp theo là 0,2; còn nếu trong một năm không gặp sự cố thì xác suất gặp sự cố ở năm tiếp theo là 0,05. Xác suất để một tài xế gặp sự cố ở năm đầu tiên lái xe là 0,1. Sử dụng sơ đồ hình cây:

a) Tính xác suất để một tài xế không gặp sự cố nào trong hai năm đầu tiên lái xe.

b) Tính xác suất để một tài xế gặp sự cố trong cả 2 năm đầu tiên lái xe.

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Tài xế không gặp sự cố trong năm đầu tiên lái xe”, B là biến cố “Tài xế không gặp sự cố trong năm thứ hai lái xe”.

Ta có: P($\overline{A}$) = 0,1; P($\overline{B}$|$\overline{A}$) = 0,2; P($\overline{B}$| A) = 0,05.

Do đó, P(A) = 1 – P($\overline{A}$) = 1 – 0,1 = 0,9; P(B |$\overline{A}$) = 1 – P($\overline{B}$|$\overline{A}$) = 1 – 0,2 = 0,8.

P(B | A) = 1 – P($\overline{B}$| A) = 1 – 0,05 = 0,95.

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

a) Xác suất để một tài xế không gặp sự cố nào trong 2 năm đầu tiên lái xe là P(AB) = 0,855.

b) Xác suất để một tài xế gặp sự cố trong cả 2 năm đầu tiên lái xe là P($\overline{A}\overline{B}$) = 0,02.

Bài 9 trang 80 SBT Toán 12 Tập 2: Trong một đợt khám sức khỏe, người ta thấy có 15% người dân ở một khu vực mắc bệnh béo phì. Tỉ lệ người béo phì và thường xuyên tập thể dục là 2%. Biết rằng tỉ lệ người thường xuyên tập thể dục ở khu vực đó là 40%. Theo kết quả điều tra trên, việc tập thể dục sẽ làm giảm khả năng béo phì đi bao nhiêu lần?

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Một người thường xuyên tập thể dục”, B là biến cố “Một người bị béo phì”. Ta có: P(B) = 0,15; P(AB) = 0,02; P(A) = 0,4.

Do đó, P($\overline{A}$) = 1 – P(A) = 1 – 0,4 = 0,6.

Vì $\overline{A}B$ và AB là hai biến cố xung khắc và $\overline{A}B$ ∪ AB = B nên theo tính chất của xác suất, ta có P($\overline{A}B$) = P(B) – P(AB) = 0,15 – 0,02 = 0,13.

Xác suất để một người mắc bệnh béo phì, biết rằng người đó không thường xuyên tập thể dục là P(B |$\overline{A}$) = $\frac{P\left(\overline{A}B\right)}{P\left(\overline{A}\right)}=\frac{\mathrm{0,13}}{\mathrm{0,6}}=\frac{13}{60}.$

Xác suất để một người mắc bệnh béo phì, biết rằng người đó thường xuyên tập thể dục là P(B | A) = $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,02}}{\mathrm{0,4}}=\frac{1}{20}=\mathrm{0,05.}$

Ta có: $\frac{P\left(B|\overline{A}\right)}{P\left(B|A\right)}=\frac{13}{60}:\frac{1}{20}=\frac{13}{3}\approx \mathrm{4,33.}$

Vậy theo kết quả điều tra trên, việc tập thể dục sẽ làm giảm khả năng bị béo phì khoảng 4,33 lần.

Bài 10 trang 80 SBT Toán 12 Tập 2: Các sản phẩm của một phân xưởng được đóng thành hộp, mỗi hộp gồm 10 sản phẩm. Các hộp sản phẩm được kiểm tra như sau: người ta lấy ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp, nếu sản phẩm đó xấu, hộp sẽ loại; nếu sản phẩm đó tốt, người ta sẽ chọn ngẫu nhiên thêm 1 sản phẩm khác từ hộp để kiểm tra. Hộp sẽ chỉ được chấp nhận nếu không có sản phẩm xấu nào trong các sản phẩm được chọn kiểm tra. Biết có một hộp chứa 2 sản phẩm xấu. Tính xác suất để hộp đó không được chấp nhận. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Sản phẩm được chọn đầu tiên là xấu”, B là biến cố “Sản phẩm được chọn thứ hai là xấu”.

Ta có: P(A) = $\frac{2}{10}=\mathrm{0,2}$; P($\overline{A}$) = 1 – P(A) = 1 – 0,2 = 0,8.

Khi biết sản phẩm đầu tiên là tốt thì còn lại 2 sản phẩm xấu trong tổng số 9 sản phẩm.

Do đó,  P(B |$\overline{A}$) = $\frac{2}{9}$

Theo công thức nhân xác suất, ta có: $P\left(\overline{A}B\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)=\mathrm{0,8.}\frac{2}{9}=\frac{8}{45}.$

Một hộp không được chấp nhận nếu sản phẩm được chọn đầu tiên là xấu hoặc sản phẩm được chọn đầu tiên là tốt, sản phẩm được chọn thứ hai là xấu.

Vậy xác suất để hộp đó không được chấp nhận là

$P\left(A\right)+P\left(\overline{A}B\right)=\mathrm{0,2}+\frac{8}{45}=\frac{17}{45}\approx \mathrm{0,38.}$

Lý thuyết Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố B khi biến cố A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A, kí hiệu P(B | A).

Ví dụ 1. Câu lạc bộ nghệ thuật của nhà trường gồm 50 thành viên, mỗi thành viên đều biết ít nhất một trong hai hoạt động là hát hoặc nhảy. Biết rằng có 30 thành viên biết hát và 35 thành viên biết nhảy. Chọn ngẫu nhiên một thành viên của câu lạc bộ. Tính xác suất thành viên được chọn biết hát, biết rằng thành viên đó biết nhảy.

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố “Thành viên được chọn biết nhảy” và B là biến cố “Thành viên được chọn biết hát”.

Số thành viên của câu lạc bộ biết cả hát và nhảy là 30 + 35 – 50 = 15.

Do đó, trong số 35 thành viên biết nhảy, có đúng 15 thành viên biết hát.

Vậy nên xác suất thành viên được chọn biết hát, biết rằng thành viên đó biết nhảy là

                                      P(B | A) = $\frac{15}{35}=\frac{3}{7}$.

2. Công thức tính xác suất có điều kiện

Cho A và B là hai biến cố, trong đó P(B) > 0. Khi đó

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$.

Chú ý:

a) Ta cũng kí hiệu biến cố giao của hai biến cố A và B là AB.

b) Trong thực tế, người ta thường dùng tỉ lệ phần trăm để mô tả xác suất. Chẳng hạn, phát biểu “Khả năng xảy ra một sự kiện là 20%” cũng có nghĩa là “Xác suất xảy ra sự kiện đó là 0,2”, phát biểu “Tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng là 5%” cũng có nghĩa là “Nếu chọn ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng, xác suất sản phẩm đó là phế phẩm là 0,05”.

Ví dụ 2. Một công ty bảo hiểm nhận thấy có 70% số người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông và có 35% số người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông trên 50 tuổi.

a) Biết rằng người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông, tính xác suất người đó trên 50 tuổi.

b) Tính tỉ lệ người trên 50 tuổi trong số những người đàn ông mua bảo hiểm ô tô.

Hướng dẫn giải

a) Gọi A là biến cố “Người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông”, B là biến cố “Người mua bảo hiểm ô tô trên 50 tuổi”. Ta cần tính P(B | A).

Do có 70% số người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông nên P(A) = 0,70.

Do có 35% số người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông trên 50 tuổi nên P(AB) = 0,35.

Vậy P(B | A) = $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,35}{0,70}=0,5$.

b) Trong số những người đàn ông mua bảo hiểm ô tô thì có 50% người trên 50 tuổi.

Chú ý:

a) Từ công thức xác suất có điều kiện, với P(B) > 0, ta có P(AB) = P(B) P(A | B).

b) Trong trường hợp tổng quát, người ta chứng minh được rằng với A, B là hai biến cố bất kì thì

P(AB) = P(B) P(A | B).

Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất cho hai biến cố.

Ví dụ 3. Cho hai biến cố A và B có P(A) = 0,2; P(B) = 0,6 và P(A | B) = 0,3.

Tính P( $\overline{A}$B) và P( $\overline{A}$ | B).

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhân xác suất, ta có P(AB) = P(B) P(A | B) = 0,6 ∙ 0,3 = 0,18.

Vì B và AB là hai biến cố xung khắc và $\overline{A}$B $\cup$ AB = B nên theo tính chất của xác suất, ta có P( $\overline{A}$B) = P(B) – P(AB) = 0,6 – 0,18 = 0,42.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có P( $\overline{A}$ | B) $=\frac{P\left(\overline{A}B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,42}{0,6}=0,7$.

Chú ý:

a) Với mọi biến cố A và B, trong đó P(B) > 0, ta có

P( $\overline{A}$ | B) = 1 – P(A | B).

b) Với A và B là hai biến cố độc lập, trong đó 0 < P(B) < 1, người ta chứng minh được rằng

P(A | B) = P(A | $\overline{B}$ ) = P(A).

Từ đẳng thức trên, ta thấy khi A và B độc lập thì việc biến cố B xảy ra hay không xảy ra không làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A.

3. Sơ đồ hình cây

Nhận xét: Trên sơ đồ hình cây:

+ Xác suất của các nhánh trong sơ đồ hình cây từ đỉnh thứ hai là xác suất có điều kiện.  

+ Xác suất xảy ra của mỗi kết quả bằng tích các xác suất trên các nhánh của cây đi đến kết quả đó.

Ví dụ 4. Hộp thứ nhất có 6 quả bóng bàn màu trắng và 4 quả bóng bàn màu vàng. Hộp thứ hai có 3 quả bóng bàn màu trắng và 5 quả bóng bàn màu vàng. Các quả bóng bàn có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng bàn từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 quả bóng bàn từ hộp thứ hai.

Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

A: “Quả bóng bàn lấy ra từ hộp thứ nhất có màu trắng và quả bóng bàn lấy ra từ hộp thứ hai có màu vàng”;

B: “Hai quả bóng bàn lấy ra có cùng màu”.

Hướng dẫn giải

Gọi M là biến cố “Quả bóng bàn lấy ra từ hộp thứ nhất có màu trắng” và N là biến cố “Quả bóng bàn lấy ra từ hộp thứ hai có màu vàng”.

Từ giả thiết, ta có: P(M) = $\frac{6}{10}$; P(N | M) = $\frac{5}{9}$; P(N | $\overline{M}$) = $\frac{6}{9}$.

Do đó, P($\overline{M}$) = 1 – P(M) = $\frac{4}{10}$; P( $\overline{N}$|M) = 1 – P(N | M) = $\frac{4}{9}$;

P($\overline{N}$|$\overline{M}$) = 1 – P(N | $\overline{M}$ ) = $\frac{3}{9}$.

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Do A = MN nên P(A) = P(MN) = $\frac{1}{3}$.

Do B = M$\overline{N}$ $\cup$ $\overline{M}$N nên P(B) = P(M$\overline{N}$) + P($\overline{M}$N) = $\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{8}{15}$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Xác suất có điều kiện

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài tập cuối chương 6