Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.2.     Giả sử M là điểm di chuyển trên đoạn CE .a.      Khi AM = AB, gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng ba điểm A,O,H thẳng hàng, từ đó suy ra tứ giác ABHI nội tiếp.b.     Gọi N là giao điểm của đường thẳng BM với cung nhỏ EF của (O), P, Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE và DF. Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng PQ max.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.2.     Giả sử M là điểm di chuyển trên đoạn CE .a.      Khi AM = AB, gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng ba điểm A,O,H thẳng hàng, từ đó suy ra tứ giác ABHI nội tiếp.b.     Gọi N là giao điểm của đường thẳng BM với cung nhỏ EF của (O), P, Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE và DF. Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng PQ max.

Trả lời:

 Vì DPN+DQN=90^o+90^o=180^o nên DPNQ là tứ giác nội tiếp=>QPN=QDN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QN) (5)Mặt khác DENF là tứ giác nội tiếp nên QDN=FEN  (6)Từ (5) và (6) ta có FEN=QPN (7)Tương tự ta có: EFN=PQN  (8)Từ (7) và (8) suy ra $\Delta NPQ~\Delta NEF(g.g)=>\frac{PQ}{EF}=\frac{NQ}{NF}$Theo quan hệ đường vuông góc – đường xiên, ta có$NQ\le NF=>\frac{PQ}{EF}=\frac{NQ}{NF}\le 1=>PQ\le EF$Dấu bằng xảy ra khi Q ≡ F ⇔ NF ⊥ DF ⇔ D, O, N thẳng hàng.Do đó PQ max khi M là giao điểm của AC và BN, với N là điểm đối xứng với D qua O.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Rút gọn biểu thức: A=1x+x−2xx−1+1x−x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Rút gọn biểu thức: $A=\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}}{x-1}+\frac{1}{x-\sqrt{x}}$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}A=\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}}{x-1}+\frac{1}{x-\sqrt{x}}\\ =\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}-\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}+\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\\ =\frac{(\sqrt{x}-1)-2\sqrt{x}\sqrt{x}+(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{-2x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{-2\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{-2}{\sqrt{x}+1}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tính giá trị biểu thức: B=85+6273+85−6273
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính giá trị biểu thức: $B=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}}+\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}$

   Trả lời:

   $B=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}}+\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}$Đặt $a=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}};b=\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}=>a+b=B$Mặt khác $a^3+b^3=(85+62\sqrt{7})+(85-62\sqrt{7})=170ab=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}}\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}=\sqrt[3]{{85}^2-{\left(62\sqrt{7}\right)}^2}=\sqrt[3]{-19683}=-27$Ta có: $\begin{array}{l}{B}^3={\left(a+b\right)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\\ =170-\mathrm{3.27.}B\\ =>B^3+81B-170=0\\ =>(B-2)\left(\underset{>0}{\underbrace{B^2+2B+85}}\right)=0\\ =>B=2\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình x+2y=2m+14x+2y=5m−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+2y=2m+1\\ 4x+2y=5m-1\end{array}\right.$

   Trả lời:

   $\left\{\begin{array}{l}x+2y=2m+1\\ 4x+2y=5m-1\end{array}\right.\left(1\right)\begin{array}{l}\left(1\right)<=>\left\{\begin{array}{l}m=\frac{x+2y-1}{2}\\ m=\frac{4x+2y+1}{5}\end{array}\right.=>\frac{x+2y-1}{2}=\frac{3x+2y+1}{5}\\ =>5(x+2y-1)=2(4x+2y+1)=>3x-6y+7=0\end{array}$Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x₀; y₀) thì $3x_0-6y_0+7=0=>6y_0-7=3x_0⋮3=>7⋮3$ (vô lý) Vậy hệ phương trình không có nghiệm nguyên ∀ m.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho parabol (P): y = x2 cắt đường thẳng d: y = mx – 2 tại 2 điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) thỏa mãn y1+y2=2(x1+x2)−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho parabol (P): y = x² cắt đường thẳng d: y = mx – 2 tại 2 điểm phân biệt A(x₁;y₁) và B(x₂;y₂) thỏa mãn $y_1+y_2=2(x_1+x_2)-1$

   Trả lời:

   Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d: $x^2-mx+2=0$ (1)P) cắt d tại hai điểm phân biệt A(x₁;y₁) và B(x₂;y₂) ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt⇔ ∆ = m² – 4.2 > 0 ⇔ m² > 8 ⇔ m > $2\sqrt{2}$ hoặc m<-$2\sqrt{2}$Khi đó x₁, x₂ là nghiệm của (1). Áp dụng định lí Vi–ét ta có x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = 2.Do A, B ∈ d nên y₁ = mx₁ – 2 và y₂ = mx₂ – 2.Ta có: $\begin{array}{l}{y}_1+y_2=2(x_1+x_1)-1\\ <=>m{x}_1-2+m{x}_2-2=2(x_1+x_2)-1\\ <=>(m-2)(x_1+x_2)-3=0\\ <=>m(m-2)-3=0\\ <=>m^2-2m-3=0\end{array}$⇔ m = –1 (loại) hoặc m = 3 (thỏa mãn) Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giải phương trình x2−9−x2−16=1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình $\sqrt{x^2-9}-\sqrt{x^2-16}=1$

   Trả lời:

   $\sqrt{x^2-9}-\sqrt{x^2-16}=1 \left(1\right)$ĐK: x² ≥ 16 ⇔ x ≥ 4 hoặc x ≤ –4.$\begin{array}{l}\left(I\right)<=>\sqrt{x^2-9}=\sqrt{x^2-16}+1\\ <=>x^2-9=x^2-16+2\sqrt{x^2-16}+1\\ <=>6=2\sqrt{x^2-16}\\ <=>3=\sqrt{x^2-16}\\ <=>x^2-25=0\\ <=>x=\pm 5\end{array}$(thỏa mãn điều kiện)Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S={–5;5}.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====