Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB = c, AC = b, BA = a và p là nửa chu vi của tam giác. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác lần lượt tiếp xúc với BC, AC và AB tại D, E và Fa, Chứng minh (I) có bán kính r = (p – a)tanBAC^2b, Với BAC^ = α, tìm số đo của góc EDF theo αc, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B,C  trên EF. Chứng minh: ∆BHF:∆CKEd, Kẻ DP vuông góc vói EF tại P. Chứng minh: ∆FPB:∆CEP và PD là tia phân giác của góc BPC^

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB = c, AC = b, BA = a và p là nửa chu vi của tam giác. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác lần lượt tiếp xúc với BC, AC và AB tại D, E và Fa, Chứng minh (I) có bán kính r = (p – a)tan$\frac{\widehat{BAC}}{2}$b, Với $\widehat{BAC}$ = α, tìm số đo của góc EDF theo αc, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B,C  trên EF. Chứng minh: ∆BHF:∆CKEd, Kẻ DP vuông góc vói EF tại P. Chứng minh: ∆FPB:∆CEP và PD là tia phân giác của góc $\widehat{BPC}$

Trả lời:

a, Ta đã chứng minh được: AE = $\frac{b+c–a}{2}$=> AE = $\frac{a+b+c–2a}{2}$ = p – a∆AIE có IE = EA.tan$\frac{\widehat{BAC}}{2}$= (p – a).tan$\frac{\widehat{BAC}}{2}$b, Chú ý: BI$\perp$FD và CI$\perp$E. Ta có:$\widehat{BIC}={180}^0–\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICD}\right)$ = ${180}^0–\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)$= ${180}^0–\frac{1}{2}\left({180}^0–\widehat{BAC}\right)$ = ${90}^0+\frac{\widehat{BAC}}{2}$Mà: $\widehat{EDF}={180}^0–\widehat{BIC}={90}^0–\frac{\alpha }{2}$c, BH,AI,CK  cùng vuông góc với EF nên chúng song song => $\widehat{HBA}=\widehat{IAB}$ (2 góc so le trong)và $\widehat{KCA}=\widehat{IAC}$ mà $\widehat{IAB}=\widehat{IAC}$ nên $\widehat{HBA}=\widehat{KCA}$Vậy: ∆BHF:∆CKEd, Do BH//DP//CK nên $\frac{BD}{DC}=\frac{HP}{PK}$ mà DB = DF và CD = CE=> $\frac{HP}{PK}=\frac{BF}{CE}=\frac{BH}{CK}$ => ∆BPH:∆CPK => $\widehat{BPH}=\widehat{CPE}$Lại có: $\widehat{BFP}=\widehat{CEF}$ => ∆BPF:∆CEP (g.g)mà $\widehat{BPD}=\widehat{CPD}$ => PD là phân giác của $\widehat{BPC}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho đường tròn (O, R) đường kính AB và dây AC không qua tâm O. Gọi H là trung điểm của ACa, Tính số đo góc ACB^ và chứng minh OH//BCb, Tiếp tuyên tại C của (O) cắt OH ở M. Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của (O) tại Ac, Vẽ CK vuông góc AB tại K. Gọi I là trung điểm của CK và đặt CAB^ = α. Chứng minh IK = Rsinα.cosαd, Chứng minh ba điểm M, I, B thẳng hàng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O, R) đường kính AB và dây AC không qua tâm O. Gọi H là trung điểm của ACa, Tính số đo góc $\widehat{ACB}$ và chứng minh OH//BCb, Tiếp tuyên tại C của (O) cắt OH ở M. Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của (O) tại Ac, Vẽ CK vuông góc AB tại K. Gọi I là trung điểm của CK và đặt $\widehat{CAB}$ = α. Chứng minh IK = Rsinα.cosαd, Chứng minh ba điểm M, I, B thẳng hàng

   Trả lời:

   a, HS tự làmb, HS tự làmc, IK = $\frac{1}{2}$CK = $\frac{1}{2}$AC.sinα = R.cosα.sinαd, Giả sử BI cắt AM tại N. Vì IK//AM => MO = OP=> $\frac{1}{O{I}^2}=\frac{1}{O{M}^2}+\frac{1}{O{N}^2}$= $\frac{1}{O{P}^2}+\frac{1}{O{N}^2}=\frac{1}{O{B}^2}$ => M$\equiv$N

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, đường thẳng d là tiếp tuyến vói (O) tại A. Trên d lây điểm M, đường thẳng MB cắt (O) tại C. Tiếp tuyến tại C cắt d tại Ia, Chứng minh O, A, I, C cùng thuộc một đường trònb, Chứng minh I là trung điểm của AMc, Chứng minh: MB.MC = OM2-AB24d, Khi M di động trên d, trọng tâm G của tam giác AOC thuộc đường cố định nào? 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, đường thẳng d là tiếp tuyến vói (O) tại A. Trên d lây điểm M, đường thẳng MB cắt (O) tại C. Tiếp tuyến tại C cắt d tại Ia, Chứng minh O, A, I, C cùng thuộc một đường trònb, Chứng minh I là trung điểm của AMc, Chứng minh: MB.MC = $O{M}^2–\frac{A{B}^2}{4}$d, Khi M di động trên d, trọng tâm G của tam giác AOC thuộc đường cố định nào? 

   Trả lời:

   a, HS tự chứng minhb, Ta có: $\widehat{IAC}=\widehat{ICA}$ => $\widehat{IMC}=\widehat{ICM}$ nếu IM = IA = ICc, Sử dụng hệ thức lượng cho ∆AMB ta dùng Pytago cho tam giác AMB
   d, Kẻ GD//AC (D$\in$OC) => D cố định lại có OI$\perp$AC => OG$\perp$DG => G thuộc đường tròn đường kính OD cố định

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (O) đường kính BH và đường tròn tâm O' đường kính CH, hai đường tròn này cắt AB, AC thứ tự tại E và Fa, Tứ giác AEHF là hình gì?b, Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)c, Chứng minh đường tròn đường kính OO' tiếp xúc với EFd, Cho đường tròn tâm I bán kính r tiếp xúc với EF, (O) và (O’). Tính r theo BH và CH?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (O) đường kính BH và đường tròn tâm O’ đường kính CH, hai đường tròn này cắt AB, AC thứ tự tại E và Fa, Tứ giác AEHF là hình gì?b, Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)c, Chứng minh đường tròn đường kính OO’ tiếp xúc với EFd, Cho đường tròn tâm I bán kính r tiếp xúc với EF, (O) và (O’). Tính r theo BH và CH?

   Trả lời:

   a, HS tự làmb, HS tự làm
   c, Chú ý hình thang vuông OEFO’ và xét đường trung bình của hình thang nàyd, Từ I kẻ đường thảng song song với EF cắt OE tại M , cắt O’F tại NĐặt BH=2R; CH= 2R’∆IOM vuông tại M có:$I{M}^2=I{O}^2–O{M}^2$ = ${\left(R+r\right)}^2–{\left(R–r\right)}^2=4Rr$Tương tự , ∆ION có $I{N}^2=4R‘r$Suy ra IM+IN=EF=AHVậy $2\sqrt{Rr}+2\sqrt{R‘r}=2\sqrt{RR‘}$=> $\sqrt{r}\left(\sqrt{R}+\sqrt{R‘}\right)=\sqrt{RR‘}$=> r = $\frac{RR‘}{{\left(\sqrt{R}+\sqrt{R‘}\right)}^2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho đường tròn (O) đường kính CD = 2R, M là điểm thuộc (O) sao cho MC < MD. Gọi K là trung điểm của CM, tia OK cắt tiếp tuyến Cx tại Aa, Chứng minh OA // MD. Từ đó suy ra MA là tiếp tuyến của (O)b, Gọi B là giao điểm của AM và tiếp tuyến Dy của (O), H là giao điểm của OB và MD. Khi M thay đổi, chứng minh (KO.KA + HO.HB) không phụ thuộc vị trí của Mc, Giả sử CM = R, đường thẳng AB cắt CD tại S. Kẻ CE⊥AB tại E. Chứng minh AE.SM = AM. SEd, Khi M thay đổi, chứng minh giao điểm của AD và CB luôn thuộc một đường cố định
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O) đường kính CD = 2R, M là điểm thuộc (O) sao cho MC < MD. Gọi K là trung điểm của CM, tia OK cắt tiếp tuyến Cx tại Aa, Chứng minh OA // MD. Từ đó suy ra MA là tiếp tuyến của (O)b, Gọi B là giao điểm của AM và tiếp tuyến Dy của (O), H là giao điểm của OB và MD. Khi M thay đổi, chứng minh (KO.KA + HO.HB) không phụ thuộc vị trí của Mc, Giả sử CM = R, đường thẳng AB cắt CD tại S. Kẻ CE$\perp$AB tại E. Chứng minh AE.SM = AM. SEd, Khi M thay đổi, chứng minh giao điểm của AD và CB luôn thuộc một đường cố định

   Trả lời:

   a, HS tự chứng minhb, Chứng minh   KA .KO + HB.HO = $K{H}^2=M{O}^2=R^2$ không đổic, Với giả thiết này thì ∆CMO đều và $\widehat{COM}={60}^0$=> $\widehat{ECA}=\widehat{MCA}={30}^0$Dùng tính chất phân giác trong và ngoài của $\widehat{MCE}$ được đpcmd, Gọi giao điểm của CB và AD là I. Do AC//BDGọi giao điểm của MI với CD là G , chứng minh tương tự trên ta được IM=IG. Vậy I là trung điểm của MG => I thuộc đường nối các trung điểm của đoạn vuông góc từ M xuống CD

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O; R). Trên tia đối của tia CO lấy điểm S, SA cắt đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến tại M với đường tròn (O) cắt CD tại E, BM cắt CO tại Fa, Chứng minh: EM.AM = MF.OAb, Chứng minh: ES = EM = EFc, Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng SB và (O). Chứng minh A, I, F thẳng hàngd, Cho EM = R, tính FA.SM theo Re, Kẻ MH⊥AB. Xác định vị trí điểm M để tam giác MHO có diện tích đạt giá trị lớn nhất
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O; R). Trên tia đối của tia CO lấy điểm S, SA cắt đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến tại M với đường tròn (O) cắt CD tại E, BM cắt CO tại Fa, Chứng minh: EM.AM = MF.OAb, Chứng minh: ES = EM = EFc, Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng SB và (O). Chứng minh A, I, F thẳng hàngd, Cho EM = R, tính FA.SM theo Re, Kẻ MH$\perp$AB. Xác định vị trí điểm M để tam giác MHO có diện tích đạt giá trị lớn nhất

   Trả lời:

   a, Chứng minh ∆MEF:∆MOAb, ∆MEF:∆MOA mà AO=OM => ME=EFc, Chứng minh F là trực tâm của ∆SAB, AI là đường cao, chứng minh A,I,F thẳng hàngd, FA.SM = 2$R^2$e, $S_{MHO}=\frac{1}{2}$OH.MH ≤ $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}M{O}^2=\frac{1}{4}{R}^2$=> M ở chính giữa cung AC

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====