Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB.          1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn          2) Chứng minh: MN2 = NF.NA và MN = NH          3) Chứng minh: HB2HF2−EFMF=1.

Câu hỏi:

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB.          1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn          2) Chứng minh: MN² = NF.NA và MN = NH          3) Chứng minh: $\frac{H{B}^2}{H{F}^2}-\frac{EF}{MF}=1$.

Trả lời:

1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp một đường trònVẽ được các yếu tố để chứng minh phần (1).Ta có $\widehat{MBO}={90}^0, \widehat{MAO}={90}^0$ (theo t/c của tiếp tuyến và bán kính)Suy ra: $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}={180}^0$.Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.2) Chứng minh: MN² = NF. NA và MN = NHTa có $A\text{E}//MO\Rightarrow \widehat{A\mathit{\text{E}}M}=\widehat{EMN} \mathrm{mà} \widehat{AEM}=\widehat{MAF}\Rightarrow \widehat{EMN}=\widehat{MAF}$$\Delta NMF\mathit{ }và\mathit{ }\Delta NAM$ có: $\widehat{MNA}$ chung; $\widehat{EMN}=\widehat{MAF}$nên $\Delta NMF$ đồng dạng với $\Delta NAM$$\Rightarrow \frac{NM}{NF}=\frac{NA}{NM}\Rightarrow N{M}^2=NF.NA\left(1\right)$Mặt khác có: $\widehat{ABF}=\widehat{AEF}\Rightarrow \widehat{ABF}=\widehat{EMN }hay \widehat{HBF}=\widehat{FMH}$ => MFHB là tứ giác nội tiếp$\Rightarrow \widehat{FHM}=\widehat{FBM}=\widehat{FAB} hay \widehat{FHN}=\widehat{NAH}$Xét $\Delta NHF \& \Delta NAH có \widehat{ANH }chung; \widehat{NHF}=\widehat{NAH}$=> $\Delta NMF$ đồng dạng $\Delta NAH\Rightarrow \Rightarrow \frac{NH}{NF}=\frac{NA}{NH}\Rightarrow N{H}^2=NF.NA\left(2\right)$ Từ (1) và (2) ta có NH = HM3) Chứng minh: $\frac{H{B}^2}{H{F}^2}-\frac{\text{EF}}{MF}=1$.Xét $\Delta M\text{AF}$ và $\Delta ME\text{A}$ có: $\widehat{AME}$ chung, $\widehat{MAF}=\widehat{MEA}$suy ra $\Delta M\text{AF}$ đồng dạng với $\Delta ME\text{A}$$\Rightarrow \frac{ME}{MA}=\frac{MA}{MF}=\frac{AE}{AF}\Rightarrow \frac{M}{E}=\frac{A}{E^2}$     (3)Vì MFHB là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MFB}=\widehat{MHB}={90}^0\Rightarrow \widehat{BFE}={90}^0$ và $\widehat{AFH}=\widehat{AHN}={90}^0\Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{BFH}$$\Delta AEF$ và $\Delta HBF$ có: $\widehat{EFA}=\widehat{BFH} ; \widehat{FEA}=\widehat{FBA}$suy ra $\Delta AEF$ $~$ $\Delta HBF$ $\Rightarrow \frac{AE}{AF}=\frac{HB}{HF}\Rightarrow \frac{A{E}^2}{A{F}^2}=\frac{H{B}^2}{H{F}^2}$               (4) Từ (3) và (4) ta có $\frac{ME}{MF}=\frac{H{B}^2}{H{F}^2}\iff \frac{MF+FE}{MF}=\frac{H{B}^2}{H{F}^2}\iff 1+\frac{FE}{MF}=\frac{H{B}^2}{H{F}^2}\iff \frac{H{B}^2}{H{F}^2}-\frac{FE}{MF}=1$ 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Giải phương trình sau: (2x − 1)(x + 2) = 0
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình sau: $(2x-1)(x+2)=0$

   Trả lời:

   Ta có: $(2x-1)(x+2)=0\iff \left[\begin{array}{l}2x-1=0\\ x+2=0\end{array}\right.$Với $2x-1=0\iff x=\frac{1}{2}$Với $x+2=0\iff x=-2$Vậy phương trình có hai nghiệm $x=\frac{1}{2};x=-2$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hai đường thẳng (d): y=−x+m+2 và (d’): y=(m2−2)x+3. Tìm m để (d) và (d’) song song với nhau
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai đường thẳng (d): $y=-x+m+2$ và (d’): $y=(m^2-2)x+3$. Tìm m để (d) và (d’) song song với nhau

   Trả lời:

   Để hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau thì: $\left\{\begin{array}{l}-1=m^2-2\\ m+2\ne 3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2=1\\ m\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=\pm 1\\ m\ne 1\end{array}\right.\iff m=-1$Vậy m = -1 là giá trị cần tìm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Rút gọn biểu thức: P= x−x+2x−x−2−xx−2x:1−x2−x với x>0; x≠1; x≠4
   
   

   Câu hỏi:
   

   Rút gọn biểu thức: $\mathrm{P}= \left(\frac{x-\sqrt{x}+2}{x-\sqrt{x}-2}-\frac{x}{x-2\sqrt{x}}\right):\frac{1-\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}$ với $x>0; x\ne 1;x\ne 4$

   Trả lời:

   Ta có:$P=\left[\frac{x-\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}-\frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\right]:\frac{1-\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}=\frac{x-\sqrt{x}+2-\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}.\frac{2-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=\frac{2-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=\frac{2(1-\sqrt{x})}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=-\frac{2}{\sqrt{x}+1}$ 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tháng đầu hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai do cải tiến kỹ thuật nên tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1000 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tháng đầu hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai do cải tiến kỹ thuật nên tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1000 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

   Trả lời:

   Gọi tháng đầu tổ I sản xuất được x chi tiết máy, tổ II sản xuất được y chi tiết máy.ĐK: $x,y\in N*$.Theo giả thiết ta có: $x+y=900$       (1)Sau khi cải tiến kỹ thuật, trong tháng thứ hai:Tổ I sản xuất được 1,1x chi tiết máy, tổ II sản xuất được 1,12y chi tiết máyTheo giả thiết ta có: $1,1x+1,12y=1000$       (2)Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=900\\ 1,1x+1,12y=1000\end{array}\right.$Giải hệ phương trình được $\left\{\begin{array}{l}x=400\\ y=500\end{array}\right.$ (thỏa mãn)Vậy trong tháng đầu tổI sản xuất được 400 chi tiết, tổ II sản xuất được 500 chi tiết.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm m để phương trình: x2+5x+3m−1=0(x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn x13−x23+3x1x2=75.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm m để phương trình: $x^2+5x+3m-1=0$(x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn $x_1^3-x_2^3+3x_1{x}_2=75$.

   Trả lời:

   Để PT có hai nghiệm $x_1;x_2$ thì: $\Delta =25-12m+4\ge 0\iff 29-12m\ge 0\iff m\le \frac{29}{12}$Ta có: $x_1^3-x_2^3+3x_1{x}_2=75\iff (x_1-x_2)[{(x_1+x_2)}^2-x_1{x}_2]+3x_1{x}_2-75=0$    (*)Theo định lý Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-5\\ x_1{x}_2=3m-1\end{array}\right.$ thay vào (*) ta được$(x_1-x_2)(26-3m)+3(3m-26)=0\iff (x_1-x_2-3)(26-3m)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{26}{3}\\ x_1-x_2-3=0\end{array}\right.$Kết hợp với điều kiện thì m = 26/3 không thỏa mãn.Kết hợp $x_1-x_2-3=0$ với hệ thức Vi – et ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2-3=0\\ x_1+x_2=-5\\ x_1{x}_2=3m-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=-4\\ m=\frac{5}{3}(t/m)\end{array}\right.$.Vậy m = 5/3  là giá trị cần tìm. 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====