Cho a, b, c, d, A, B, C, D là các số thực dương thỏa mãn: aA=bB=cC=dDChứng minh rằng: aA+bB+cC+dD=a+b+c+dA+B+C+D

Câu hỏi:

Cho a, b, c, d, A, B, C, D là các số thực dương thỏa mãn: $\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}$Chứng minh rằng: $\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}$

Trả lời:

Đặt $t=\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}$, suy ra: $\left\{\begin{array}{l}a=At\\ b=Bt\\ c=Ct\\ d=Dt\end{array}\right.$Khi đó đẳng thức được viết lại dưới dạng:$\sqrt{A^{2}t}+\sqrt{B^{2}t}+\sqrt{C^{2}t}+\sqrt{D^{2}t}=\sqrt{\left(At+Bt+Ct+Dt\right)\left(A+B+C+D\right)}$$\iff \left(A+B+C+D\right)\sqrt{t}=(A+B+C+D)\sqrt{t}$ (luôn đúng)

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Thực hiện phép tính: 38−18−512+50
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thực hiện phép tính: $3\sqrt{8}-\sqrt{18}-5\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{50}$

   Trả lời:

   Ta biến đổi:$\begin{array}{l}3\sqrt{8}-\sqrt{18}-5\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{50}\\ =3.\sqrt{4.2}-\sqrt{9.2}-5\sqrt{\frac{2}{2^2}}+\sqrt{25.2}\\ =6\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\frac{5}{2}\sqrt{2}+5\sqrt{2}\\ =\left(6-3-\frac{5}{2}+5\right)\sqrt{2}\\ =\frac{11\sqrt{2}}{2}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Thực hiện phép tính: 22−13−2+23−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thực hiện phép tính: $\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}-1}$

   Trả lời:

   Ta biến đổi:$\begin{array}{l}\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}-1}\\ =\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\\ =\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}+\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\\ =\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)\\ =\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\\ =1\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Thực hiện phép tính: A=1535+53
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thực hiện phép tính: $A=15\left(\sqrt{\frac{3}{5}}+\sqrt{\frac{5}{3}}\right)$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}A=15\left(\sqrt{\frac{3}{5}}+\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\\ =15\left(\frac{1}{5}\sqrt{15}+\frac{1}{3}\sqrt{15}\right)\\ =15.\frac{8}{15}\sqrt{15}\\ =8\sqrt{15}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Thực hiện phép tính: B=7−67+6−7+67−6
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thực hiện phép tính: $B=\sqrt{\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}$

   Trả lời:

   Ta có thể làm theo hai cách:Cách 1: Sử dụng phương pháp quy đồng mẫu, ta có:$\begin{array}{l}B=\sqrt{\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\\ =\frac{\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}{\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}-\frac{\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}{\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\\ =\frac{{\left(\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\right)}^2-{\left(\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{6}}\right)}^2}{\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{6}}.\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\\ =-2\sqrt{6}\end{array}$Cách 2: Sử dụng phương pháp trục căn thức ở mẫu, ta có:$\begin{array}{l}B=\sqrt{\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\\ =\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)}^2}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)}}\\ =\sqrt{{\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)}^2}-\sqrt{{\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)}^2}\\ =\sqrt{7}-\sqrt{6}-\sqrt{7}-\sqrt{6}=-2\sqrt{6}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Rút gọn biểu thức sau: A=23x+27x−8x+50x+x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Rút gọn biểu thức sau: $A=2\sqrt{3x}+\sqrt{27x}-\sqrt{8x}+\sqrt{50x}+\sqrt{x}$

   Trả lời:

   Ta biến đổi:
   $\begin{array}{l}A=2\sqrt{3x}+\sqrt{27x}-\sqrt{8x}+\sqrt{50x}+\sqrt{x}\\ =\left(2+3\right)\sqrt{3x}+(-2+5)\sqrt{2x}+\sqrt{x}\\ =5\sqrt{3x}+3\sqrt{2x}+\sqrt{x}\\ =\left(5\sqrt{3}+3\sqrt{2}+1\right)\sqrt{x}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====