Lý thuyết Tổ hợp (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 3: Tổ hợp

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.

QUẢNG CÁO

Ví dụ: Bạn Mai có 4 chiếc váy màu hồng, màu đỏ, màu trắng, màu tím. Mai muốn chọn 3 trong 4 chiếc váy để mang đi du lịch. Hãy viết các tổ hợp 3 của 4 chiếc áo váy đó.

Hướng dẫn giải

Các tổ hợp chập 3 của 4 chiếc váy là :

Hồng – đỏ – trắng ; Hồng – đỏ – tím ; Đỏ – trắng – tím ; Hồng – trắng – tím.

Vậy ta có 4 tổ hợp chập 3 của 4 chiếc váy là : Hồng – đỏ – trắng ; Hồng – đỏ – tím ; Đỏ – trắng – tím ; Hồng – trắng – tím.

2. Số các tổ hợp

Nhận xét : Một tổ hợp chập k của n phần tử nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n phần tử đó.

Kí hiệu là $C_{n}^{k}$ là số tổ hợp chập k của n phần tử với (1 ≤ k ≤ n). Ta có : $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$

Quy ước 0! = 1 ; $C_{n}^{0} = 1$ .

Với những quy ước trên, ta có công thức sau: $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!}$ (với 0 ≤ k ≤ n).

QUẢNG CÁO

Ví dụ: Một tổ có 8 người, bạn tổ trưởng muốn cử ra 4 bạn đi tập văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn 4 bạn trong 8 bạn đi trực nhật là một tổ hợp chập 4 của 8.

Ta có $C_{8}^{4} = \frac{8!}{(8 - 4)! 4!} = 70$ .

Vậy có 70 cách chọn 4 trong 8 bạn đi tập văn nghệ.

3. Tính chất của các số $C_{n}^{k}$

Ta có hai đẳng thức sau : $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ (0 ≤ k ≤ n) và $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = C_{n}^{k}$ (1 ≤ k < n).

Ví dụ: Ta có : $C_{10}^{6} = C_{10}^{10 - 6} = 210$ ; $C_{10 - 1}^{6 - 1} + C_{10 - 1}^{6} = C_{10}^{6} = 210$ .

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Một túi có 7 quả bóng xanh, 3 quả bóng vàng và 14 quả bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên ba quả bóng trong túi. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy 3 quả bóng từ trong túi sao cho 3 quả bóng cùng màu.

Hướng dẫn giải

Để lấy 3 quả bóng cùng màu thì ta thực hiện một trong ba hành động sau:

– Lấy 3 quả bóng màu xanh trong 7 quả bóng xanh, ta có $C_{7}^{3}$ = 35 cách lấy.

– Lấy 3 quả bóng màu vàng trong 3 quả bóng vàng, ta có $C_{3}^{3}$ = 1 cách lấy.

– Lấy 3 quả bóng màu đỏ trong 14 quả bóng đỏ, ta có $C_{14}^{3}$ = 364 cách lấy.

Theo quy tắc cộng, ta có 35 + 1 + 364 = 400 cách để lấy được 3 quả bóng cùng màu.

Vậy có 400 cách để lấy được 3 quả bóng cùng màu.

Bài 2. Tính $C_{30}^{19} + C_{30}^{20} - C_{31}^{20}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $C_{30}^{19} + C_{30}^{20} = C_{31}^{20}$ nên $C_{30}^{19} + C_{30}^{20} - C_{31}^{20}$ = $C_{31}^{20} - C_{31}^{20}$ = 0.

Bài 3. Bác Dũng có 8 người bạn. Bác Dũng muốn mời 4 trong 8 người bạn đó đi câu cá vào cuối tuần. Nhưng trong 8 người bạn đó, có 2 người bạn không thích câu cá nên không đi. Vậy số cách chọn nhóm 4 người để đi câu cùng bác Dũng là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Bác Dũng có 8 người bạn nhưng có hai người không đi nên số người có thể đi câu cùng bác Dũng là 8 – 2 = 6 người.

Khi đó, bác Dũng chọn 4 người trong 6 người để đi câu cùng thì số cách chọn là tổ hợp chập 4 của 6 người bạn.

Ta có $C_{6}^{4}$ = 15.

⇒ Bác Dũng có 15 cách để lựa chọn 4 người bạn trong 6 người bạn đi câu cá cùng.

Vậy bác Dũng có 15 cách để lựa chọn 4 người bạn đi câu cá cùng.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Từ 6 điểm phân biệt thuộc đường thẳng ∆ và một điểm không thuộc đường thẳng ∆ ta có thể tạo được tất cả bao nhiêu tam giác?

A. 210;

B. 30;

C. 15;

D. 35;

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta lấy 2 điểm trong 6 điểm trên đường thẳng ∆ kết hợp với 1 điểm không thuộc ∆ tạo ra một tam giác, có $C_{6}^{2} = 15$ cách lấy ra 2 điểm thuộc ∆

Vậy số tam giác được lập theo yêu cầu bài toán là: 15 tam giác.

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của n thỏa mãn $A_{n}^{2} - 3 C_{n}^{2} = 15 - 5 n$ .

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện n ≥ 2; n ∈ ℕ.

$A_{n}^{2} - 3 C_{n}^{2} = 15 - 5 n$ $\Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} - 3. \frac{n!}{(n - 2)! 2!} = 15 - 5 n$

$\Leftrightarrow (n - 1) n - \frac{3 (n - 1) n}{2} = 15 - 5 n$

⇔ – n² + 11n – 30 = 0

⇔ n = 5 hoặc n = 6.

Vậy có 2 giá trị của n thoả mãn.

Câu 3. Trong hộp có 5 quả cầu đỏ và 7 quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh.

A. 245;

B. 3 480;

C. 246;

D. 3 360.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì lấy quả cầu đỏ nhiều hơn quả cầu xanh nên ta có các trường hợp sau

Trường hợp 1. Lấy được 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu xanh: số cách lấy là $C_{5}^{3} . C_{7}^{2}$ = 210

Trường hợp 2. Lấy được 4 quả cầu đỏ, 1 quả cầu xanh: số cách lấy là $C_{5}^{4} . C_{7}^{1}$ = 35

Trường hợp 3. Lấy được 5 quả cầu đỏ, 0 quả cầu xanh: số cách lấy là $C_{5}^{5} . C_{7}^{0}$ = 1

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lấy là: 210 + 35 + 1 = 246.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Lý thuyết Bài 3: Tổ hợp

Lý thuyết Bài 4: Nhị thức Newton

Lý thuyết Bài 1: Số gần đúng. Sai số

Lý thuyết Bài 2: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy