30 câu Trắc nghiệm Chương 1: Mệnh đề và tập hợp (Kết nối tri thức 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Chương 1: Mệnh đề và tập hợp

I. Nhận biết

Câu 1. Cho tập hợp B gồm các số tự nhiên bé hơn 20 và chia hết cho 4.

Viết tập hợp trên dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó.

A. B = {x ∈ ℤ | x ≤ 20 và x ⋮ 4};

B. B = {x ∈ ℤ | x < 20 và x ⋮ 4};

C. B = {x ∈ ℕ | x ≤ 20 và x ⋮ 4};

D. B = {x ∈ ℕ | x < 20 và x ⋮ 4}.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi x là phần tử bất kì thuộc tập hợp B

+ Tập hợp B gồm các số tự nhiên nên x ∈ ℕ.

+ Tập hợp B gồm các số tự nhiên bé hơn 20 và chia hết cho 4 nên x < 20 và x ⋮ 4.

 Do đó tập hợp trên được viết dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó như sau:

B = {x ∈ ℕ | x < 20 và x ⋮ 4}.

Câu 2. Phủ định của mệnh đề: “Có ít nhất một số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 11” là mệnh đề nào sau đây:

A. Mọi số tự nhiên có hai chữ số đều chia hết cho 11;

B. Có ít nhất một số tự nhiên có hai chữ số không chia hết cho 11;

C. Mọi số tự nhiên có hai chữ số đều không chia hết cho 11;

D. Có một số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 11.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

Phủ định của “có ít nhất” là “mọi”.

Phủ định của “chia hết” là “không chia hết”.

Vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là: “Mọi số tự nhiên có hai chữ số đều không chia hết cho 11”.

Câu 3. Cho các tập hợp:

A = {x ∈ ℤ | 1 < x < 4};

B = {x ∈ ℤ | 3 < x < 5}.

Xác định tập hợp X = A ∪ B.

A. X = {2; 3; 4};

B. X = {3; 4};

C. X = {2; 3};

D. X = {1; 2; 3}.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

+ Tập hợp A gồm các phần tử là 2; 3.

⟹ A = {2; 3}.

+ Tập hợp B gồm phần tử là 4.

⟹ B = {4}.

Hợp của hai tập hợp trên là các phần tử thuộc tập hợp này hoặc tập hợp kia nên ta có tập hợp A gồm có các phần tử là {2; 3; 4}.

⟹ X = {2; 3; 4}.

Câu 4. Cho mệnh đề: “x² – 1 chia hết cho 24 khi và chỉ khi x là một số nguyên tố lớn hơn 3”.

Mệnh đề trên không thể viết lại thành mệnh đề nào sau đây?

A. “x² – 1 chia hết cho 24 tương đương với x là một số nguyên tố lớn hơn 3”;

B. “x² – 1 chia hết cho 24 là điều kiện cần và đủ để x là một số nguyên tố lớn hơn 3”;

C. “x² – 1 chia hết cho 24 nếu và chỉ nếu x là một số nguyên tố lớn hơn 3”;

D. “x² – 1 chia hết cho 24 là điều kiện đủ để x là một số nguyên tố lớn hơn 3”

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Xét mệnh đề: “x² – 1 chia hết cho 24 khi và chỉ khi x là một số nguyên tố lớn hơn 3”.

Đặt:

P: “x² – 1 chia hết cho 24”.

Q: “x là một số nguyên tố lớn hơn 3”.

Ta viết lại các mệnh đề ở đáp án như sau:

A. P tương đương với Q.

B. P là điều kiện cần và đủ để có Q.

C. P nếu và chỉ nếu Q.

D. P là điều kiện đủ để có Q.

Đối với mệnh đề P ⟺ Q, ta có thể phát biểu theo một số cách sau:

+ P tương đương Q;

+ P là điều kiện cần và đủ để có Q;

+ P nếu và chỉ nếu Q;

+ P khi và chỉ khi Q.

Ta thấy cách phát biểu ở câu D không nằm trong mấy cách phát biểu ở lý thuyết nên mệnh đề tương đương ở câu D sai.

Câu 5. Cho các tập hợp : D = {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18} và E = {-1 ; 3 ; 5}. Phần tử nào dưới đây thuộc tập hợp E\D.

A. 2;

B. 9;

C. 3;

D. -1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Các phần tử thuộc tập hợp E nhưng không thuộc tập hợp D là : – 1; 5.

⇒ E\D = {– 1; 5}.

Ta thấy chỉ có – 1 ∈ E\D.

Câu 6. Cho mệnh đề: “Nếu tứ giác là một hình thoi thì trong tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề trên là:

A. “Tứ giác là một hình thoi khi và chỉ khi trong tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn”;

B. “Trong một tứ giác nội tiếp được một đường tròn khi và chỉ khi tứ giác đó là hình thoi”;

C. “Nếu trong một tứ giác nội tiếp được một đường tròn thì tứ giác đó là hình thoi”;

D. “Tứ giác là một hình thoi kéo theo trong tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn”.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Xét mệnh đề “Nếu tứ giác là một hình thoi thì trong tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn”, ta có:

P: “Tứ giác là một hình thoi”.

Q: “Trong tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu một tứ giác là hình vuông thì tứ giác đó cũng là hình thoi”.

Đối chiếu với các đáp án, ta thấy mệnh đề ở câu C là phù hợp nhất.

Câu 7. Cho tập hợp E = {x ∈ ℕ | x là ước chung của 20 và 40}.

Tập hợp E có bao nhiêu phần tử?

A. 4;

B. 5;

C. 3;

D. 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

+ Các ước là số tự nhiên của 20 là: 1; 2; 4; 5; 10; 20.

+ Các ước là số tự nhiên của 40 là: 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40.

Do đó các ước chung là số tự nhiên của 20 và 30 là 1; 2; 5; 10; 20.

⟹ E = {1; 2; 5; 10; 20}.

Vì vậy tập hợp E gồm có 5 phần tử.

⟹ n(E) = 5.

Câu 8. Cho các câu sau đây:

a) Không được vào đây!

b) Ngày mai bạn đi học không?

c) Chủ tịch Hồ Chí Minh sinh năm 1890.

d) 17 chia 3 dư 1.

e) 2003 không là số nguyên tố.

Có bao nhiêu câu là mệnh đề?

A. 2;

B. 1;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

a) Câu a) không phải là mệnh đề vì nó là câu cảm thán và không khẳng định tính đúng sai.

b) Câu b) không phải là mệnh đề vì nó là câu hỏi và không khẳng định tính đúng sai.

c) Câu c) là mệnh đề vì đó là câu khẳng định tính đúng sai.

d) Câu d) là mệnh đề vì đó là câu khẳng định tính đúng sai.

e) Câu e) là mệnh đề vì đó là câu khẳng định tính đúng sai.

Vậy có 3 câu là mệnh đề.

Câu 9. Tập hợp B = {0; a; b} có bao nhiêu tập con?

A. 5;

B. 6;

C. 7;

D. 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

+ Các tập con có 0 phần tử: ∅.

+ Các tập con có 1 phần tử: {0}, {a}, {b}.

+ Các tập con có 2 phần tử: {0; a}, {0; b}, {a; b}.

+ Các tập con có 3 phần tử: {0; a; b}.

⟹ Tập hợp A có 8 tập con.

Câu 10. Cho hai mệnh đề  P: “x là số chẵn” và Q: “x chia hết cho 2”.

Phát biểu mệnh đề P kéo theo Q.

A. Hoặc x là số chẵn hoặc x chia hết cho 2;

B. Nếu x là số chẵn thì x chia hết cho 2;

C. Nếu x chia hết cho 2 thì x là số chẵn;

D. x là số chẵn và x chia hết cho 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Vì mệnh đề kéo theo được phát biểu dưới dạng là “Nếu P thì Q”.

Nên mệnh đề P kéo theo Q là “Nếu x là số chẵn thì x chia hết cho 2”.

II. Thông hiểu

Câu 1. Câu nào sau đây không phải là mệnh đề chứa biến?

A. x² + x – 1 > 0;

B. 4 < 5;

C. x là số tự nhiên;

D. x + 6 = 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

A. Câu trên là mệnh đề chứa biến vì câu trên phụ thuộc vào biến x.

B. Câu B là mệnh đề vì đó là câu khẳng định tính đúng sai.

Nên câu trên không phải là mệnh đề chứa biến.

C. Câu trên là mệnh đề chứa biến vì câu trên phụ thuộc vào biến và ta có tập D của các biến x để câu trên đúng hoặc sai.

D. Câu trên là mệnh đề chứa biến vì câu trên phụ thuộc vào biến và ta có tập D của các biến x để câu trên đúng hoặc sai.

Câu 2. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào không phải là tập hợp rỗng?

A. A = {x ∈ ℕ | x² + x + 3 = 0};

B. B = {x ∈ ℕ | x² + 6x + 5 = 0};

C. C = {x ∈ ℕ* | x(x² – 5) = 0};

D. D = {x ∈ ℕ* | x² – 9x + 20 = 0}.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

A. Ta có:

Phương trình x² + x + 3 = 0 vô nghiệm.

⟹ Tập hợp A không có phần tử nào thỏa mãn.

⟹ C = ∅.

B. Ta có:

x² + 6x + 5 = 0 ⟺ .

Vì x ∈ ℕ* nên không có phần tử nào thỏa mãn tập hợp trên.

⟹ B = ∅.

C. Ta có:

x(x² – 5) = 0 ⟺  ⟺ .

Vì x ∈ ℕ nên không có phần tử nào thỏa mãn tập hợp trên.

⟹ C = ∅.

D. Ta có:

x² – 9x + 20 = 0 ⟺ .

Vì x ∈ ℕ*  nên hai nghiệm x = 4 và x = 5 đều thỏa mãn.

Do đó tập hợp D có hai phần tử.

⟹ D = {4; 5}.

Vậy chỉ có tập hợp D không phải là tập hợp rỗng.

Câu 3. Cho mệnh đề sau:

Cho tứ giác ABCD, ta có các mệnh đề sau:

P: “x là số nguyên dương”.

Q: “x² là số nguyên dương”.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. P ⟺ Q;

B. Q ⇒ P;

C. P ⇒ ;

D. P ⇒ Q.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

A. Xét mệnh đề P ⟹ Q: “Nếu x là số nguyên dương thì x² là số nguyên dương”.

Mệnh đề này đúng vì bình phương của một số nguyên dương là một số nguyên dương. (1)

Xét mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Nếu x² là số nguyên dương thì x là số nguyên dương”.

Mệnh đề này sai do nếu x² là số nguyên dương thì x có thể là số thực dương hoặc số thực âm. (2)

Từ (1) và (2) nên mệnh đề ở đây A sai.

B. Mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau: “Nếu x² là số nguyên dương thì x là số nguyên dương”.

Mệnh đề này sai do nếu x² là số nguyên dương thì x có thể là số thực dương hoặc số thực âm.

C. Ta có mệnh đề : “x² không phải là số nguyên dương”.

Mệnh đề P ⇒  được phát biểu như sau: “Nếu x là số nguyên dương thì x² không phải là số nguyên dương”.

Vì với x nguyên dương thì x² luôn luôn dương nên mệnh đề trên sai.

D. Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau: “Nếu x là số nguyên dương thì x² là số nguyên dương”.

Mệnh đề này đúng vì bình phương của một số nguyên dương là một số nguyên dương.

Câu 4. Lớp 10B1 có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hóa, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10B1 là: 

A. 9;

B. 10; 

C. 18;

D. 28.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Ta dùng biểu đồ Ven để giải: 

Nhìn vào biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất 1 trong 3 môn là: 1+ 2 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 = 10.

Câu 5. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. “Nếu (-3) > (-2) thì (-3)² > (-2)²”;

B. “Nếu 3 là số lẻ thì 3 chia hết cho 2”; 

C. “Nếu 15 chia hết cho 9 thì 18 chia hết cho 3”;

D. “Nếu 3 chia hết cho 1 và chính nó thì 3 là số nguyên tố”.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Mệnh đề kéo theo “ P suy ra Q” chỉ sai khi P đúng Q sai.

A. Xét mệnh đề “Nếu (-3) > (-2) thì (-3)² > (-2)²” có mệnh đề P : “(-3) > (-2)” là mệnh đề sai, mệnh đề Q : “(-3)² > (-2)²” là mệnh đề đúng. Do đó mệnh đề kéo theo P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

B. Xét mệnh đề “Nếu 3 là số lẻ thì 3 chia hết cho 2”; 

Mệnh đề “3 là số lẻ” là đúng, tuy nhiên mệnh đề “3 chia hết cho 2” sai.

Theo lý thuyết “Mệnh đề P ⇒ Q sai khi P đúng và Q sai”

Nên mệnh đề ở câu B sai.

C. Xét mệnh đề “Nếu 15 chia hết cho 9 thì 18 chia hết cho 3”

Mệnh đề P: “15 chia hết cho 9” là sai.

Mệnh đề Q: “18 chia hết cho 3” là mệnh đề đúng.

Do đó mệnh đề C là mệnh đề đúng.

D. Xét mệnh đề: “Nếu 3 chia hết cho 1 và chính nó thì 3 là số nguyên tố”.

Mệnh đề P: “3 chia hết cho 1 và chính nó” là mệnh đề đúng;

Mệnh đề Q: “3 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng.

Do đó mệnh đề P ⇒ Q đúng.

Câu 6. Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập hợp rỗng?

A. A = {x ∈ ℤ | x² – 9 = 0};

B. B = {x ∈ ℝ | x² – 6 = 0};

C. C = {x ∈ ℝ | x² + 1 = 0};

D. D = {x ∈ ℝ | x² – 4x + 3 = 0}.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

A. Ta có:

x² – 9 = 0 ⟺ x² = 9 ⟺ .

Vì x ∈ ℤ nên hai nghiệm trên đều thỏa mãn.

⟹ A = {-3; 3}.

B. Ta có:

x² – 6 = 0 ⟺ x² = 6 ⟺ .

Vì x ∈ ℝ nên hai nghiệm trên đều thỏa mãn.

⟹ B = {; }.

C. Ta có:

Phương trình x² + 1 = 0 vô nghiệm.

⟹ Tập hợp C không có phần tử nào thỏa mãn.

⟹ C = ∅.

D. Ta có:

x² – 4x + 3 = 0 ⟺ .

Vì x ∈ ℝ nên hai nghiệm trên đều thỏa mãn.

⟹ B = {1; 3}.

Vậy C là tập hợp rỗng.

Câu 7. Tập hợp X = {x ∈ ℤ | 2 < 2x – 4 < 10} bằng tập hợp nào sau đây?

A. ∅;

B. {2; 3; 4};

C. {3; 4; 5};

D. {4; 5; 6}.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

2 < 2x – 4 < 10

⟺ 2 + 4 < 2x < 10 + 4

⟺ 6 < 2x < 14

⟺ 3 < x < 7.

Vì x ∈ ℤ nên x nhận các giá trị là 4; 5; 6.

⟹ X = {4; 5; 6}.

Đối chiếu các đáp án trên ta thấy các phần tử trong tập hợp X cũng là các phần tử trong tập hợp D nên A = D.

Câu 8. Cho mệnh đề chứa biến P(x): x ∈ ℝ: x² + 2 > 12. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. P(2);

B. P(1);

C. P(3);

D. P(4).

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Xét bất phương trình (*): x² + 2 > 12.

A. Thay x = 2 vào phương trình (*) ta có: 2² + 2 = 6 > 12 (vô lý)

Suy ra mệnh đề trên sai.

B. Thay x = 1 vào phương trình (*) ta có: 1² + 2 = 3 > 12 (vô lý).

Suy ra mệnh đề trên sai.

C. Thay x = 3 vào phương trình (*) ta có: 3² + 2 = 11 > 12 (vô lý).

Suy ra mệnh đề trên sai.

D. Thay x = 4 vào phương trình (*) ta có: 4² + 2 = 18 > 12 (đúng).

Suy ra mệnh đề trên đúng.

Câu 9. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Có ít nhất một số thực x thỏa mãn điều kiện bình phương của nó là 1 số không dương” là:

A. ∀x ∈ ℝ: x² > 0;

B. ∃x ∈ ℝ: x² ≤ 0;

C. ∀x ∈ ℝ: x² ≤ 0;

D. ∃x ∈ ℝ: x² > 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Theo giả thiết, ta có mệnh đề P: “∃x ∈ ℝ: x² ≤ 0″.

Ta có:

– Phủ định của ∃ phải là ∀.

– Phủ định của quan hệ ≤ là quan hệ >.

Vậy mệnh đề phủ định  của mệnh đề P là: ∀x ∈ ℝ: x² > 0.

Câu 10. Cho tập hợp B = {x ∈ ℕ| 3 < 2x – 1 < m}.

Tìm giá trị của m để B là tập hợp rỗng?

A. m = 7;

B. m = 5;

C. m = 9;

D. m = 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Xét bất phương trình 3 < 2x – 1 < m (*).

A. Thay m = 7 vào bất phương trình (*) ta có:

3 < 2x – 1 < 7

⟺ 3 + 1 < 2x < 7 + 1

⟺ 4 < 2x < 8

⟺ 2 < x < 4.

Vì x ∈ ℕ nên ta nhận giá trị x = 3.

⟹ m = 7 thì A = {3}.

B. Thay m = 5 vào bất phương trình (*) ta có:

3 < 2x – 1 < 5

⟺ 3 + 1 < 2x < 5 + 1

⟺ 4 < 2x < 6

⟺ 2 < x < 3.

Vì x ∈ ℕ nên không có giá trị của x nào thỏa mãn.

⟹ m = 5 thì B = ∅.

C. Thay m = 9 vào bất phương trình (*) ta có:

3 < 2x – 1 < 9

⟺ 3 + 1 < 2x < 9 + 1

⟺ 4 < 2x < 10

⟺ 2 < x < 5.

Vì x ∈ ℕ nên ta nhận giá trị x = 3 và x = 4.

⟹ m = 7 thì A = {3; 4}.

D. Thay m = 8 vào bất phương trình (*) ta có:

3 < 2x – 1 < 8

⟺ 3 + 1 < 2x < 8 + 1

⟺ 4 < 2x < 9

⟺ 2 < x < .

Vì x ∈ ℕ nên ta nhận giá trị x = 3 và x = 4.

⟹ m = 7 thì A = {3; 4}.

Vậy m = 5 thì B là tập hợp rỗng.

Câu 11. Tập hợp C = {x ∈ ℤ | (x² – 5x + 4)(x² $–\frac{7}{2}$x + 3) = 0} có bao nhiêu phần tử?

A. n(C) = 2;

B. n(C) = 3;

C. n(C) = 4;

D. n(C) = 5;

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

(x² – 5x + 4)(x² $–\frac{7}{2}$x + 3) = 0

⟺  ⟺ .

Vì x ∈ ℤ nên ta loại nghiệm .

⟹ C = {1; 2; 4}.

⟹ n(C) = 3.

Câu 12. Cho ba tập hợp sau:

A = {m + 1; 2}

B = {1; n – 3}

C = {t; 2}

Hỏi m, n, t nhận giá trị nào sau đây thì A = B = C?

A. m = 1, n = 1, t = 1;

B. m = – 1, n = 5, t = 1;

C. m = 0, n = 5, t = 1;

D. m = 0, n = 5, t = – 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Ta thấy tập hợp A có 2 phần tử là m + 1 và 2.

Mà tập hợp B có 2 phần tử là 1 và n – 3.

Do đó để A = B thì .

Ta lại có tập hợp C có 2 phần tử là t và 2.

Do đó để B = C thì t = 1.

Vậy để A = B = C thì m = 0, n = 5, t = 1.

Câu 13. Kí hiệu X là tập hợp tất cả các bạn học sinh x trong lớp 10A1, P(x) là mệnh đề chứa biến “x đạt học sinh giỏi”. Mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” khẳng định rằng:

A. Tất cả các bạn học sinh trong lớp 10A1 đều đạt học sinh giỏi;

B. Bất cứ ai đạt học sinh giỏi đều học lớp 10A1;

C. Có một số bạn học lớp 10A1 đạt học sinh giỏi;

D. Tất cả các bạn học sinh trong lớp 10A1 đều không đạt học sinh giỏi.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” được phát biểu như sau:

“Có một số bạn học lớp 10A1 đạt học sinh giỏi”.

Đối chiếu các đáp án, ta thấy đáp án C là phù hợp nhất.

Câu 14. Cho mệnh đề sau: “Trong một mặt phẳng, nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau”.

Đáp án nào dưới đây là cách viết khác với mệnh đề đã cho?

A. Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 là điều kiện cần để hai đường thẳng đó song song với nhau;

B. Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 tương đương với để hai đường thẳng đó song song với nhau;

C. Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng song song với nhau là điều kiện đủ để hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3;

D. Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 là điều kiện đủ để hai đường thẳng đó song song với nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Xét mệnh đề “Trong một mặt phẳng, nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau” ta có:

P: “Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3”.

Q: “Hai đường thẳng đó song song với nhau”.

Ta thấy mệnh đề trên có dạng P ⇒ Q có thể được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ như sau:

+ P là điều kiện đủ để có Q.

+ Q là điều kiện cần để có P.

Do đó định lý đã cho được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ lần lượt là:

+ Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 là điều kiện đủ để hai đường thẳng đó song song với nhau.

+ Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng song song với nhau là điều kiện cần để hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3.

Đối chiếu với các đáp án trên, ta thấy mệnh đề ở đáp án D là một cách viết khác của mệnh đề đã cho.

Câu 15. Cho các tập hợp:

A = {x ∈ ℤ | -4 ≤ x ≤ 5};

B = {x ∈ ℤ | -2 ≤ x ≤ 6};

C = {x ∈ ℤ | 0 ≤ x ≤ 1}.

Xác định tập hợp X = (A ∩ B)\C. Câu nào sau đây đúng?

A. X = {-1; 2; 3; 4; 5};

B. X = {2; 3; 4; 5};

C. X = {-2; -1; 2; 3; 4; 5};

D. X = {-2; -1; 2; 3; 4}.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

+ Các phần tử của tập hợp A là -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.

⟹ A = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}.

+ Các phần tử của tập hợp B là -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

⟹ B = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.

+ Các phần tử của tập hợp C là 0; 1.

⟹ C = {0; 1}.

– Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp các phần tử thuộc tập hợp A cũng thuộc tập hợp B, do đó các phần tử thuộc tập hợp A ∩ B là -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.

⟹ A ∩ B = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}.

– Các phần tử thuộc tập hợp A ∩ B mà không thuộc tập hợp C là -2; -1; 2; 3; 4; 5.

⟹ X = (A ∩ B)\C = {-2; -1; 2; 3; 4; 5}.

III. Vận dụng

Câu 1. Cho A = {x ∈ ℝ | |x – m| ≤ 25}; B = {x ∈ ℝ | |x| ≥ 2020}.

Có bao nhiêu giá trị nguyên m thỏa mãn A ∩ B = ∅.

A. 3987;

B. 3988;

C. 3989;

D. 2020.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

A = {x ∈ ℝ | |x – m| ≤ 25} ⟹ A = [m – 25; m + 25]

B = {x ∈ ℝ | |x| ≥ 2020} ⟹ B = (-∞; -2020] ∪ [2020; +∞)

Để A ∩ B = ∅ thì -2020 < m – 25 và m + 25 < 2020 (1)

Khi đó (1) ⟺  ⟺  ⟹ -1995 < m < 1995.

Vậy có 3989 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Câu 2. Cho mệnh đề chứa biến P(x) = {x ∈ ℤ : |x² – 2x – 3| = x² + |2x + 3|}. Trong đoạn [-2020; 2021] có bao nhiêu giá trị của x để mệnh đề chứa biến P(x) là mệnh đề đúng?

A. 2020;

B. 2021;

C. 2022;

D. 2023.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Số giá trị nguyên để mệnh đề P(x) là mệnh đề đúng chính là số nghiệm nguyên của phương trình |x² – 2x – 3| = x² + |2x + 3| (1).

+ Nếu x ≥  thì ta có:

(1) ⟺ |x² – 2x – 3| = x² + |2x + 3| ⇔  ⇔ .Mà x ∈ ℤ  và x ∈ [-2020; 2021]  nên x = 0 thỏa mãn.

+ Nếu x <  thì ta có (1) ⟺ |x² – 2x – 3| = x² – 2x – 3. Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối, kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của (1) trong trường hợp này:

(1) ⇔  ⇔  ⇔ x < 

Mà x ∈ [-2020;2021] nên  x ∈ {-2; -3; …; -2020}.

Do đó tập nghiệm của phương trình là S = {0; -2; -3; …; -2020}.

Vậy có 2020 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3. Hội khỏe Phù Đổng của trường Trần Phú, lớp 10A có 45 học sinh, trong đó có 25 học sinh thi điền kinh, 20 học sinh thi nhảy xa, 15 học sinh thi nhảy cao, 7 em không tham gia môn nào, 5 em tham gia cả 3 môn. Hỏi số em tham gia chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu?

A. 20; 

B. 45; 

C. 38; 

D. 21. 

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

 

Gọi a, b, c theo thứ tự là số học sinh chỉ thi môn điền kinh, nhảy xa, nhảy cao.
x là số học sinh chỉ thi hai môn điền kinh và nhảy xa.
y là số học sinh chỉ thi hai môn nhảy xa và nhảy cao.
z là số học sinh chỉ thi hai môn điền kinh và nhảy cao.
Số em thi ít nhất một môn là: 45 –  7 = 38
Dựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình sau: 

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta có: a + b + c + 2(x + y + z) + 15 = 60 (5)

Từ (4) và (5) ta có: a + b + c + 2(38 – 5 – a – b – c) + 15 = 60

⟺ a + b + c = 21.

Vậy có 21 học sinh chỉ thi một trong ba nội dung trên.

Câu 4. Cho hai tập hợp P = [3m – 6; 4] và Q = (-2; m + 1), m ∈ ℝ. Tìm m để

P\Q = ∅.

A. 3 ≤ m < ;

B. 3 < m < ;

C. m ≥ 3;

D. < m ≤ 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Vì P, Q là hai tập hợp khác rỗng nên ta có điều kiện:

⟺ ⟺ -3 < m ≤ 

Để P\Q = ∅ ⟺ P ⊂ Q

⟺ ⇔ m ≥ 3

Kết hợp với điều kiện ta có 3 ≤ m ≤ .

Câu 5. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. “∀n ∈ ℕ, n(n + 1) là số chính phương”;

B. “∀n ∈ ℕ, n(n + 1) là số lẻ”;

C. “∃n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) là số lẻ”;

D. “∀n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6”.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

+ Với n = 1 ⇒ n(n + 1) = 2 không phải là số chính phương ⇒ A sai.

+ Với n = 1 ⇒ n(n + 1) = 2 là số chẵn ⇒ B sai.

Đặt P = n(n + 1)(n + 2)

TH1: n chẵn ⇒ P chẵn

TH2: n lẻ ⇒ (n + 1) chẵn ⇒ P chẵn

Vậy P chẵn ∀n ∈ ℕ ⇒ C sai.

Ta có một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi số đó chia hết cho cả 2 và 3.

⟹ P ⋮ 6 ⟺ 

(*) Ở trên ta đã chứng minh P luôn chẵn ⇒ P ⋮ 2

(**) P ⋮ 3

TH1: n ⋮ 3 ⇒ P ⋮ 3

TH2: n chia 3 dư 1 ⇒ (n + 2) ⋮ 3 ⇒ P ⋮ 3

TH3: n chia 3 dư 2 ⇒ (n + 1) ⋮ 3 ⇒ P ⋮ 3

Vậy P ⋮ 3, ∀n ∈ ℕ.

⇒ P ⋮ 6.

Do đó mệnh đề ở câu D đúng.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Bài 2: Tập hợp

Trắc nghiệm Ôn tập cuối chương 1

Trắc nghiệm Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trắc nghiệm Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trắc nghiệm Ôn tập cuối chương 2