Giải SGK Toán 10 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Hàm số và đồ thị

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Hàm số và đồ thị

Video bài giảng Hàm số và đồ thị – Chân trời sáng tạo

Giải toán lớp 10 trang 41 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khởi động trang 41 Toán lớp 10: Nhiệt độ có mối liên hệ gì với thời gian?

Lời giải:

Mỗi thời điểm (giờ) chỉ có một nhiệt độ dự báo nhất định.

Nhiệt độ dự báo là một đại lượng phụ thuộc vào thời điểm (giờ).

Mối liên hệ giữa hai đại lượng này (nhiệt độ và thời gian) có đặc trưng của một hàm số.

1. Hàm số. Tập xác định và tập giá trị của hàm số

HĐ Khám phá 1 trang 41 Toán lớp 10: Bản tin dự báo thời tiết cho biết nhiệt độ ở một số thời điểm trong ngày 01/5/2021 tại thành phố Hồ Chí Minh đã được ghi lại thành bảng kèm với biểu đồ bên.

Sử dụng bảng hoặc biểu đồ, hãy:

a) Viết tập hợp các mốc đã có dự báo nhiệt độ.

b) Viết tập hợp các số đo nhiệt độ đã dự báo.

c) Cho biết nhiệt độ dự báo tại Thành phố Hồ Chí Minh vào lúc 7 giờ sáng ngày 01/5/2021.

Lời giải:

a) Tập hợp các mốc giờ đã có dự báo nhiệt độ là:

$A=\{1;4;7;10;13;16;19;22\}$

b) Tập hợp các số đo nhiệt độ đã dự báo là:

$B=\{28;27;32;31;29\}$

c) Dự báo tại Thành phố Hồ Chí Minh vào lúc 7 giờ sáng ngày 01/5/2021 nhiệt độ là ${28}^{o}C.$

Giải toán lớp 10 trang 43 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 43 Toán lớp 10: Một thiết bị đã ghi lại vận tốc v (mét/giây) ở thời điểm t (giây) của một vật chuyển động như trong bảng sau:

t (giây)	0,5	1	1,2	1,8	2,5
v (mét/giây)	1,5	3	0	5,4	7,5

Vì sao bảng này biểu thị một hàm số? Tìm tập xác định của hàm số này.

Phương pháp giải:

Ta gọi y là hàm số của biến số x nếu với mỗi giá trị x thuộc D, ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng y thuộc tập hợp số thực $\mathbb{R}$.

Tập D được gọi là tập xác định.

Lời giải:

Từ bảng giá trị vận tốc v (mét/giây) ở thời điểm t (giây) của vật chuyển động, ta thấy ứng với mỗi thời điểm t (giây) trong bảng đều có một giá trị vận tốc v duy nhất. Vì vậy, bảng này biểu thị một hàm số.

Hàm số đó có tập xác định $D=\{0,5;1;1,2;1,8;2,5\}$

Thực hành 2 trang 43 Toán lớp 10: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $f(x)=\sqrt{2x+7}$

b) $f(x)=\frac{x+4}{x^2-3x+2}$

Phương pháp giải:

Tập xác định của hàm số $y=f(x)$ là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức $f(x)$ có nghĩa.

a) $\sqrt{A}$ có nghĩa $\iff A\ge 0$

b) $\frac{A}{B}$ có nghĩa $\iff B\ne 0$

Lời giải:

a) Biểu thức $f(x)$ có nghĩa khi và chỉ khi $2x+7\ge 0,$tức là khi $x\ge \frac{-7}{2}.$

Vậy tập xác định của hàm số này là $D=[-\frac{7}{2};+\mathrm{\infty })$

b) Biểu thức $f(x)$ có nghĩa khi và chỉ khi $x^2-3x+2\ne 0,$tức là khi $x\ne 2,x\ne 1.$

Vậy tập xác định của hàm số này là $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1;2\right\}$

Vận dụng trang 43 Toán lớp 10: Ở góc của miếng đất hình chữ nhật, người ta làm một bồn hoa có dạng một phần tư hình tròn với bán kính r (Hình 2). Bán kính bồn hoa có kích thước từ 0,5 m đến 3 m.

a) Viết công thức của hàm số biểu thị diện tích bồn hoa theo bán kính r và tìm tập xác định của hàm số này.

b) Bán kính bồn hoa bằng bao nhiêu thì nó có diện tích là $0,5\pi m^2?$

Phương pháp giải:

a) Diện tích hình tròn $S=\pi r^2$

Gọi x là biến số thể hiện kích thước của bán kính, từ đó suy ra công thức hàm số tính diện tích bồn hoa (một phần tư hình tròn) theo x.

Tập xác định là tập hợp các kích thước của bán kính bồn hoa.

b) Cho $f(x)=0,5\pi (m^2)$, tìm x.

Lời giải:

a) Diện tích một phần tư hình tròn là: $\frac{1}{4}\pi r^2$

Gọi x là biến số thể hiện kích thước của bán kính.

Công thức hàm số tính diện tích bồn hoa là: $f(x)=\frac{1}{4}\pi x^2$

+) Vì bán kính bồn hoa có kích thước từ 0,5 m đến 3 m nên $0,5\le x\le 3$

Vậy tập xác định của hàm số này là $D=[0,5;3]$

b) Diện tích là $0,5\pi m^2$ tức là$f(x)=0,5\pi$

$\iff \frac{1}{4}\pi x^2=0,5\pi \iff x^2=2\Rightarrow x=\sqrt{2}$ (do $0,5\le x\le 3$)

Vậy bán kính bồn hoa bằng $\sqrt{2}m$.

2. Đồ thị hàm số

HĐ Khám phá 2 trang 43 Toán lớp 10: Xét hàm số $y=f(x)$ cho bởi bảng sau:

$x$	-2	-1	0	1	2	3	4
$f(x)$	8	3	0	-1	0	3	8

a) Tìm tập xác định D của hàm số trên.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ tất cả các điểm có tọa độ (x; y) với $x\in D$ và $y=f(x).$

Phương pháp giải:

a) Tập xác định D là tập hợp các giá trị của x

b) Vẽ các điểm A (-2; 8), B (-1; 3), O (0; 0), D (1; -1), E (2; 0), G (3; 3), H (4; 8) trên hệ trục tọa độ Oxy.

Lời giải:

a) Tập xác định $D=\{-2;-1;0;1;2;3;4\}$

b) Đồ thị gồm 7 điểm A (-2; 8), B (-1; 3), O (0; 0), D (1; -1), E (2; 0), G (3; 3), H (4; 8) như hình dưới

Giải toán lớp 10 trang 44 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 44 Toán lớp 10: Vẽ đồ thị hàm số $f(x)=3x+8$

Phương pháp giải:

$(C)=\{M(x;3x+8)|x\in \mathbb{R}\}$

Xác định ít nhất 2 điểm thuộc đồ thị.

Lời giải:

$(C)=\{M(x;3x+8)|x\in \mathbb{R}\}$ là đường thẳng $y=3x+8$

Với $x=0$ thì $f(0)=3.0+8=8$, do đó A (0;8) thuộc đồ thị hàm số.

Với $x=-2$ thì $f(0)=3.(-2)+8=2$ do đó B (-2;2) thuộc đồ thị hàm số.

Với $x=-3$ thì $f(0)=3.(-3)+8=-1$ do đó C (-3;-1) thuộc đồ thị hàm số.

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Giải toán lớp 10 trang 45 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 3 trang 45 Toán lớp 10: Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)=x^2$ rồi so sánh $f(x_1)$ và $f(x_2)$ (với $x_1<x_2$) trong từng trường hợp sau:

Phương pháp giải:

Trên tia Oy, giá trị nào gần gốc tọa độ hơn thì nhỏ hơn.

Lời giải:

a) $f(x_1)>f(x_2)$

b) $f(x_1)<f(x_2)$

Giải toán lớp 10 trang 47 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 4 trang 47 Toán lớp 10: a) Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số có đồ thị sau:

 

b) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f(x)=5x^2$ trên khoảng (2; 5).

Phương pháp giải:

a) Quan sát đồ thị trên các khoảng (-3; 1), (1;3), (3;7)

Khi hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải.

Khi hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.

b)

Bước 1: Lấy $x_1,x_2\in (2;5)$ là hai số tùy ý sao cho $x_1<x_2$.

Bước 2: So sánh $f(x_1)=5{x_1}^2$ và $f(x_2)=5{x_2}^2$

Bước 3: Kết luận tính đồng biến, nghịch biến

+ Nếu $f(x_1)<f(x_2)$ thì hàm số đồng biến trên khoảng (2; 5)

 + Nếu $f(x_1)>f(x_2)$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 5)

Lời giải:

a) Từ đồ thị ta thấy hàm số xác định trên [-3;7]

+) Trên khoảng (-3; 1): đồ thì có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (-3; 1).

+) Trên khoảng (1; 3): đồ thì có dạng đi xuống từ trái sang phải nên hàm số này nghịch biến trên khoảng (1; 3).

+) Trên khoảng (3; 7): đồ thì có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (3; 7).

b) Xét hàm số $y=5x^2$ trên khoảng (2; 5).

Lấy $x_1,x_2\in (2;5)$ là hai số tùy ý sao cho $x_1<x_2$.

Do $x_1,x_2\in (2;5)$ và $x_1<x_2$ nên $0<x_1<x_2$, suy ra ${x_1}^2<{x_2}^2$ hay $5{x_1}^2<5{x_2}^2$

Từ đây suy ra $f(x_1)<f(x_2)$

Vậy hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (2; 5).

Bài tập

Bài 1 trang 47 Toán lớp 10: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) f(x) = $\sqrt{–5x+3}$

b) $f(x)=2+\frac{1}{x+3}$

Phương pháp giải:

Tập xác định của hàm số $y=f(x)$ là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức $f(x)$ có nghĩa.

a) $\sqrt{A}$ có nghĩa $\iff A\ge 0$

b) $\frac{A}{B}$ có nghĩa $\iff B\ne 0$

Lời giải:

a) Biểu thức $f(x)$ có nghĩa khi và chỉ khi $-5x+3\ge 0,$tức là khi $x\le \frac{3}{5}.$

Vậy tập xác định của hàm số này là $D=(-\mathrm{\infty };\frac{3}{5}]$

b) Biểu thức $f(x)$ có nghĩa khi và chỉ khi $x+3\ne 0,$tức là khi $x\ne -3$

Vậy tập xác định của hàm số này là $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-3\right\}$

Bài 2 trang 47 Toán lớp 10: Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số có đồ thị như Hình 10.

Phương pháp giải:

+) Tập xác định là tập hợp các giá trị của biến số x.

+) Tập giá trị là tập hợp các giá trị y (tương ứng với x thuộc tập xác định)

Lời giải:

Từ đồ thị, ta có:

Đồ thị hàm số xác định (liền mạch) từ $x=-1$ đến $x=9$, do đó tập xác định của hàm số là $D=[-1;9].$

Tập giá trị $T=\{y|x\in [-1;9]\}$, vậy $T=[-2;6]$

Bài 3 trang 47 Toán lớp 10: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $f(x)=-5x+2$

b) $f\left(x\right)=–x^2$

Phương pháp giải:

Bước 1: Lấy $x_1,x_2\in D$ là hai số tùy ý sao cho $x_1<x_2$.

Bước 2: Tìm điều kiện để $f(x_1)<f(x_2)$ và $f(x_1)>f(x_2)$

a) $f(x_1)=-5x_1+2,f(x_2)=-5x_2+2$

b) $f(x_1)=-{x_1}^2,f(x_2)=-{x_2}^2$

Bước 3: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến

+ $f(x_1)<f(x_2)$ với $x\in T_1$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $T_1$

+ $f(x_1)>f(x_2)$ với $x\in T_2$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $T_2$

Lời giải:

a) Xét hàm số $y=-5x+2$ xác định trên $\mathbb{R}$

Lấy $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ là hai số tùy ý sao cho $x_1<x_2$.

Do  $x_1<x_2$ nên $-5x_1>-5x_2$, suy ra $-5x_1+2>-5x_2+2$

Từ đây ta có $f(x_1)>f(x_2)$

Vậy hàm số ngịch biến (giảm) trên $\mathbb{R}$

b) Xét hàm số $y=f(x)=-x^2$ xác định trên $\mathbb{R}$

+ Trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$ lấy $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ là hai số tùy ý sao cho $x_1<x_2$., ta có: $f(x_1)-f(x_2)=-{x_1}^2+{x_2}^2=\left(x_2-x_1\right)(x_2+x_1)$

Do  $x_1<x_2$ nên $x_2-x_1>0$ và do $x_1,x_2\in (0;+\mathrm{\infty })$ nên $x_1+x_2>0$.

Từ đây suy ra $f(x_1)-f(x_2)>0$ hay $f(x_1)>f(x_2)$

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$

+ Trên khoảng $(-\mathrm{\infty };0)$ lấy $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ là hai số tùy ý sao cho $x_1<x_2$., ta có: $f(x_1)-f(x_2)=-{x_1}^2+{x_2}^2=\left(x_2-x_1\right)(x_2+x_1)$

Do  $x_1<x_2$ nên $x_2-x_1>0$ và do $x_1,x_2\in (-\mathrm{\infty };0)$ nên $x_1+x_2<0$.

Từ đây suy ra $f(x_1)-f(x_2)<0$ hay $f(x_1)<f(x_2)$

Vậy hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng $(-\mathrm{\infty };0)$

Bài 4 trang 47 Toán lớp 10: Vẽ đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\left|x\right|$ biết rằng hàm số này còn được viết như sau:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x khi x\ge 0\\ –x khi x<0\end{array}\right.$

Phương pháp giải:

Vẽ đồ thị từng hàm trên mỗi khoảng cho trước
Lời giải:

Hàm số $f\left(x\right)=\left|x\right|$ xác định trên $D=\mathbb{R}$

Trên khoảng $(-\mathrm{\infty };0)$ ta vẽ đồ thị hàm số $y=-x$, đi qua 2 điểm $A(-1;1),B(-2;2)$

Trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$ ta vẽ đồ thị hàm số $y=x$, đi qua 2 điểm $A^{\prime }(1;1),B^{\prime }(2;2)$

Như vậy ta được đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\left|x\right|$.

Giải toán lớp 10 trang 48 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 48 Toán lớp 10: Tìm tập xác định, tập giá trị và vẽ đồ thị hàm số:

$f(x)=\{\begin{array}{l}-1x<0\\ 1x>0\end{array}$

Phương pháp giải:

+) Tập xác định là tập hợp các giá trị của x để f(x) có nghĩa.

+) Tập giá trị là tập hợp các giá trị của f(x) với x thuộc tập xác định.

+) Vẽ đồ thị từng hàm trên mỗi khoảng cho trước

Lời giải:

+) Dễ thấy: hàm số được xác định với mọi $x>0$ và $x<0$.

Do đó tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{0\}$

+) Với $x\in D$:

+ Nếu $x>0$ thì $f(x)=1$

+ Nếu $x<0$ thì $f(x)=-1$

Vậy tập giá trị của hàm số là $T=\{-1;1\}$

+) Vẽ đồ thị hàm số:

Với $x\in (-\mathrm{\infty };0)$ đồ thị hàm số là đường thẳng $y=-1$

Với $x\in (0;+\mathrm{\infty })$ đồ thị hàm số là đường thẳng $y=1$

Ta được đồ thị hàm số như hình trên.

Bài 6 trang 48 Toán lớp 10: Một hãng taxi có bảng giá như sau:

	Giá mở cửa (0,5 km)	Giá cước các kilomet tiếp theo	Giá cước từ kilomet thứ 31
Taxi 4 chỗ	11 000 đồng	14 500 đồng	11 600 đồng
Taxi 7 chỗ	11 000 đồng	15 500 đồng	13 600 đồng

a) Xem số tiền đi taxi là một hàm số phụ thuộc số kilomet di chuyển, hãy viết công thức của các hàm số dựa trên thông tin từ bảng giá đã cho theo từng yêu cầu:

i) Hàm số $f(x)$ để tính số tiền hành khách phải trả khi di chuyển $x$ km bằng xe taxi 4 chỗ.

ii) Hàm số $g(x)$ để tính số tiền hành khách phải trả khi di chuyển $x$ km bằng xe taxi 7 chỗ.

b) Nếu cần đặt xe taxi cho 30 hành khách, nên đặt toàn bộ xe 4 chỗ hay xe 7 chỗ thì có lợi hơn?

Phương pháp giải:

a) Viết công thức tính tiền trong mỗi trường hợp (theo số km), từ đó suy ra hàm số nhiều công thức tương ứng.

b) Tính số tiền phải trả trong mỗi trường hợp, từ đó đưa ra lời khuyên về chọn xe.

Lời giải:

a)

i)

Nếu $0,5\le x<31$ thì số tiền phải trả là $11000+14500.x$ đồng.

Nếu $31\le x$ thì số tiền phải trả là $11000+14500.30+11600.(x-30)$ đồng.

Vậy hàm số $f(x)=\{\begin{array}{l}11000+14500.x0,5\le x<31\\ 11000+14500.30+11600.(x-30)x\ge 31\end{array}$

 ii)

Nếu $0,5\le x<31$ thì số tiền phải trả là $11000+15500.x$ đồng.

Nếu $31\le x$ thì số tiền phải trả là $11000+15500.30+13600.(x-30)$ đồng.

Vậy hàm số $g(x)=\{\begin{array}{l}11000+15500.x0,5\le x<31\\ 11000+15500.30+13600.(x-30)x\ge 31\end{array}$

b)

Nếu đặt toàn bộ xe 4 chỗ cho 30 hành khách thì cần 8 xe.

Nếu đặt toàn bộ xe 7 chỗ cho 30 hành khách thì cần 5 xe.

So sánh số tiền dựa theo số kilomet di chuyển: Giả sử các hành khách cần di chuyển x kilomet

+) Nếu $0,5\le x<31:$

Số tiền trả cho 8 xe taxi 4 chỗ là: $8(11000+14500.x)=88000+116000.x$

Số tiền trả cho 5 xe taxi 7 chỗ là: $5(11000+15500.x)=55000+77500.x$

Vì $88000+116000.x>55000+77500.x$ nên chọn 5 xe taxi 7 chỗ sẽ lợi hơn.

+) Nếu $x\ge 31:$

Số tiền trả cho 8 xe taxi 4 chỗ là: $8(11000+14500.30+11600.(x-30))=784000+92800.x$

Số tiền trả cho 5 xe taxi 7 chỗ là: $5(11000+15500.30+13600.(x-30))=340000+68000x$

Vì $784000+92800.x>340000+68000.x$ nên chọn 5 xe taxi 7 chỗ sẽ lợi hơn.

Kết luận: Nên đặt toàn bộ xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Bài 7 trang 48 Toán lớp 10: Số 2 đã trải qua một hành trình thú vị và bị biến đổi sau khi đi qua chiếc hộp đen

Bác thợ máy đã giải mã hộp đen cho một số x bất kì như sau:

Bên trong HỘP ĐEN là một đoạn chương trình được cài đặt sẵn. Ta xem đoạn chương trình này như một hàm số f(x). Hãy viết iểu thức của f(x) để mô tả sự biến đổi đã tác động lên x.

Lời giải:

Sau khi vào hộp đen, x đi qua:

+) Đầu tiên, x đi qua hộp màu vàng (bình phương), ta được $x^2$

+) Tiếp tục,  đi qua hộp màu xanh lá (tăng gấp ba lần), ta được $3x^2$

+) Cuối cùng,  đi qua hộp màu xanh dương (bớt đi 5), ta được: $3x^2–5$

Như vậy sau khi đi qua HỘP ĐEN, số x đã biến đổi thành số $3x^2–5$

Kiểm tra lại với số 2: theo công thức thì sau khi qua hộp đen ta được số: $3.2^2–5=7$(đúng).

Vậy biểu thức f(x) mô tả sự biến đổi đã tác động lên x là: f(x) = 3×2 – 5.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 2: Hàm số bậc hai

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰